2.4 Fullstendig kvadrat

En gammel teknikk i ny drakt

Du har allerede abc-formelen i verktøykassen din, og den løser enhver andregradslikning. Så hvorfor lære enda en metode? Fordi fullstendig kvadrat – eller «fullføre kvadratet» som det ofte kalles – gir deg noe abc-formelen ikke gir: en dyp forståelse av hvorfor formelen fungerer. Faktisk er det akkurat denne teknikken som brukes til å utlede abc-formelen i utgangspunktet. Dessuten er metoden uunnværlig når du senere skal finne toppunktet til en parabel eller omskrive uttrykk til en mer nyttig form. I dette kapittelet lærer vi først å gjenkjenne perfekte kvadrater, og deretter å «tvangsomforme» uttrykk som ikke er perfekte – slik at de blir det.

Gjenkjenne perfekte kvadrater

Grunnlaget for hele metoden er kvadratsetningene. Du husker dem kanskje fra algebra:

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

Mønsteret er alltid det samme: du har kvadratet av det første, pluss (eller minus) det dobbelte produktet, pluss kvadratet av det andre. Det midterste leddet – det dobbelte produktet – er nøkkelen til å gjenkjenne et fullstendig kvadrat.

Ta uttrykket $x^2 + 6x + 9$. Er dette et perfekt kvadrat? Vi sjekker: $a = x$ gir $a^2 = x^2$. Det midterste leddet er $6x = 2 \cdot x \cdot 3$, så $b = 3$. Da skal konstantleddet være $b^2 = 9$ – og det er det! Altså er $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$.

La oss prøve en til: $x^2 - 10x + 25$. Her er det midterste leddet $-10x = 2 \cdot x \cdot (-5)$, altså $b = 5$ (med minustegn i parentesen). Konstantleddet er $5^2 = 25$. Stemmer! Så $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$.

Hemmeligheten er enkel: ta koeffisienten foran $x$, del den på 2, og opphøy i andre. Hvis resultatet er lik konstantleddet, har du et perfekt kvadrat. For $x^2 + 6x + 9$: koeffisienten er 6, halvparten er 3, og $3^2 = 9$. Bingo.

Metoden: fullføre kvadratet steg for steg

Nå kommer det sentrale spørsmålet: hva gjør vi når uttrykket ikke er et perfekt kvadrat? Da gjør vi det til ett ved å legge til (og trekke fra) det som mangler.

La oss løse $x^2 + 6x - 7 = 0$ steg for steg.

Steg 1: Flytt konstantleddet. Vi vil ha $x$-leddene for seg selv: $x^2 + 6x = 7$.

Steg 2: Finn det magiske tallet. Ta halvparten av koeffisienten foran $x$, og opphøy i andre: $\displaystyle \left(\frac{6}{2}\right)^2 = 9$.

Steg 3: Legg til på begge sider. Vi legger til 9 på begge sider slik at likevekten bevares: $x^2 + 6x + 9 = 7 + 9 = 16$.

Steg 4: Skriv venstresiden som et kvadrat. Nå er venstresiden et perfekt kvadrat: $(x + 3)^2 = 16$.

Steg 5: Ta kvadratrot. $x + 3 = \pm 4$. Det gir $x = -3 + 4 = 1$ eller $x = -3 - 4 = -7$.

Metoden fungerer fordi vi «tvinger» venstresiden til å bli et fullstendig kvadrat. Det eneste vi gjør er å legge til et tall på begge sider – noe vi alltid har lov til i en likning. Deretter kan vi løse for $x$ ved å ta kvadratrot, noe som er mye enklere enn å bruke abc-formelen.

Når svaret inneholder røtter

Ikke alle andregradslikninger har «pene» heltallsløsninger. Noen ganger ender vi opp med kvadratrøtter i svaret – og det er helt greit. Metoden fungerer akkurat likt.

La oss løse $x^2 - 4x + 1 = 0$. Vi flytter konstantleddet: $x^2 - 4x = -1$. Halvparten av $-4$ er $-2$, og $(-2)^2 = 4$. Vi legger til 4 på begge sider: $x^2 - 4x + 4 = -1 + 4 = 3$. Venstresiden er nå $(x - 2)^2 = 3$.

Når vi tar kvadratrot, får vi $x - 2 = \pm\sqrt{3}$. Løsningene er altså $x = 2 + \sqrt{3}$ og $x = 2 - \sqrt{3}$. Disse er eksakte svar. Med kalkulator finner vi at $\sqrt{3} \approx 1{,}73$, altså $x \approx 3{,}73$ eller $x \approx 0{,}27$ – men i matematikken foretrekker vi de eksakte uttrykkene.

Et annet eksempel: $x^2 + 2x - 1 = 0$ gir oss $x^2 + 2x = 1$, så $x^2 + 2x + 1 = 2$, altså $(x + 1)^2 = 2$. Da er $x = -1 \pm \sqrt{2}$.

Poenget er at metoden alltid gir deg eksakte svar. Når høyresiden er et positivt tall som ikke er et perfekt kvadrat, blir svaret uttrykt med en kvadratrot. Når høyresiden er null, har vi bare én løsning. Og hvis høyresiden blir negativ, finnes det ingen reelle løsninger – akkurat som med diskriminanten i abc-formelen.

Når koeffisienten foran $x^2$ ikke er 1

Hittil har vi jobbet med likninger der koeffisienten foran $x^2$ er 1. Men hva gjør vi med $2x^2 + 8x - 10 = 0$? Her er $a = 2$, og metoden forutsetter at leddet med $x^2$ har koeffisient 1. Løsningen er enkel: del hele likningen på $a$ som første steg.

Vi deler på 2: $x^2 + 4x - 5 = 0$. Nå er vi tilbake på kjent grunn. Vi flytter konstantleddet: $x^2 + 4x = 5$. Vi legger til $\displaystyle \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 4$ på begge sider: $x^2 + 4x + 4 = 9$. Vi skriver venstresiden som et kvadrat: $(x + 2)^2 = 9$. Vi tar kvadratrot: $x + 2 = \pm 3$. Svarene er $x = 1$ eller $x = -5$.

La oss ta et eksempel til: $3x^2 + 12x - 15 = 0$. Vi deler på 3: $x^2 + 4x - 5 = 0$. Legg merke til at vi fikk samme likning som over! Når vi deler på $a$, forenkler vi likningen, og resten av prosessen er den samme.

Hva med negative koeffisienter? For $-x^2 + 6x - 5 = 0$ deler vi på $-1$ og får $x^2 - 6x + 5 = 0$. Pass på at fortegnene snur seg: alle ledd bytter fortegn. Deretter: $x^2 - 6x = -5$, legg til $9$: $(x - 3)^2 = 4$, ta kvadratrot: $x - 3 = \pm 2$, som gir $x = 5$ eller $x = 1$.

Huskeregelen er: se alltid på koeffisienten foran $x^2$ først. Er den noe annet enn 1, del hele likningen på den. Deretter følger du de fire stegene som vanlig.

Sammenhengen med abc-formelen

Nå som du mestrer metoden, er det verdt å stoppe opp og se det store bildet. Hva skjer hvis vi fullfører kvadratet på den generelle likningen $ax^2 + bx + c = 0$?

Vi deler på $a$: $\displaystyle x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$. Vi flytter konstantleddet: $\displaystyle x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$. Vi legger til $\displaystyle \left(\frac{b}{2a}\right)^2$ på begge sider: $\displaystyle \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$.

Tar vi kvadratrot, får vi $\displaystyle x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, og dermed $\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Det er abc-formelen! Hele andregradsformelen er altså bare resultatet av å fullføre kvadratet på den generelle andregradslikningen.

Denne innsikten er viktig av to grunner. For det første viser den at metodene henger sammen – du lærte ikke to uavhengige teknikker, men to sider av samme idé. For det andre gir metoden med fullstendig kvadrat deg ofte en mer intuitiv forståelse av hva som skjer i en likning. Når du skriver $(x + 3)^2 = 16$, ser du at løsningen handler om å finne tall som er 4 unna $-3$ på tallinjen.

Når bør du bruke fullstendig kvadrat i stedet for abc-formelen? Det er vanskelig å gi en fast regel, men metoden er spesielt nyttig når du skal finne toppunktet til en parabel, skrive om funksjonsuttrykk, eller når du trenger å vise utledninger i bevis. I praksis velger mange elever abc-formelen for raske utregninger og fullstendig kvadrat for dypere forståelse.

Oppsummering

Metoden fullstendig kvadrat lar deg løse andregradslikninger ved å omskrive dem til formen $(x + k)^2 = d$, som du deretter løser med kvadratrot.

Stegene er: skriv likningen på formen $x^2 + bx = -c$ (del på $a$ først hvis $a \neq 1$). Legg til $\displaystyle \left(\frac{b}{2}\right)^2$ på begge sider. Skriv venstresiden som $\displaystyle (x + \frac{b}{2})^2$. Ta kvadratrot og løs for $x$.

Kvadratsetningene $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ og $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ er fundamentet for hele metoden. Det dobbelte produktet – det midterste leddet – er nøkkelen til å gjenkjenne og konstruere perfekte kvadrater.

Når svaret inneholder irrasjonale tall (kvadratrøtter), gir vi eksakte svar som $x = 2 \pm \sqrt{3}$. Metoden fungerer likt uansett om løsningene er heltall, brøker eller irrasjonale tall.

Hvis koeffisienten foran $x^2$ ikke er 1, deler vi hele likningen på denne koeffisienten som aller første steg. Deretter følger vi prosedyren som vanlig.

Til slutt er det verdt å huske at fullstendig kvadrat og abc-formelen er to uttrykk for den samme ideen – abc-formelen er nettopp det du får når du fullfører kvadratet på den generelle andregradslikningen.