2.5 Rasjonale likninger | Matematikk 1T

Lær å løse likninger som inneholder brøker ved hjelp av ulike metoder.

60 min

11 oppgaver

BrøklikningerProduktregelenLikninger med brøk

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.3Algebra 1.5Faktorisering og kvadratsetningene

Brøklikninger

Nå skal vi lære å løse likninger som inneholder brøker. Hovedstrategien er ofte å multiplisere begge sider med nevneren for å bli kvitt brøken.

✏️Eksempel 1

Løs likningene:

a) $\displaystyle \frac{x}{3} = 2$

b) $\displaystyle \frac{2}{5} \cdot x = 6$

c) $\displaystyle \frac{6}{x} = 2$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{x}{3} = 2 \quad | \cdot 3$
$\displaystyle \frac{x}{3} \cdot 3 = 2 \cdot 3$
$x = 6$

b) $\displaystyle \frac{2}{5} \cdot x = 6$
$\displaystyle \frac{2x}{5} = 6 \quad | \cdot 5$
$2x = 30 \quad | : 2$
$x = 15$

c) $\displaystyle \frac{6}{x} = 2 \quad | \cdot x$
$6 = 2x \quad | : 2$
$x = 3$

Svar: a) $x = 6$ , b) $x = 15$ , c) $x = 3$

📝Oppgave 1

Løs likningene

\displaystyle \frac{x}{5} = 2

\displaystyle \frac{x}{4} = 8

\displaystyle \frac{2x}{3} = 2

\displaystyle 9 = \frac{3y}{4}

\displaystyle \frac{4}{x} = 2

\displaystyle \frac{28}{2x} = 7

Løs oppgaven

✏️Eksempel 2

Løs likningene:

a) $\displaystyle \frac{x}{5} = \frac{2}{5}$

b) $\displaystyle \frac{x}{3} = \frac{5}{4}$

c) $\displaystyle \frac{3}{7x} = 1$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{x}{5} = \frac{2}{5} \quad | \cdot 5$
$x = 2$

b) $\displaystyle \frac{x}{3} = \frac{5}{4} \quad | \cdot 3$
$\displaystyle x = \frac{5}{4} \cdot 3 = \frac{15}{4}$

Alternativ 2 (Gang med fellesnevner):
$\displaystyle \frac{x}{3} = \frac{5}{4} \quad | \cdot 12$
$4x = 3 \cdot 5$
$4x = 15 \quad | : 4$
$\displaystyle x = \frac{15}{4}$

c) $\displaystyle \frac{3}{7x} = 1 \quad | \cdot 7x$
$3 = 7x \quad | : 7$
$\displaystyle x = \frac{3}{7}$

Svar: a) $x = 2$ , b) $\displaystyle x = \frac{15}{4}$ , c) $\displaystyle x = \frac{3}{7}$

📝Oppgave 2

Løs likningene

\displaystyle \frac{x}{2} = \frac{3}{7}

\displaystyle \frac{1}{8}x = \frac{1}{4}

\displaystyle \frac{x}{2} = \frac{4}{3}

\displaystyle \frac{3x}{2} = 9

\displaystyle \frac{5}{4x} = 2

\displaystyle \frac{2}{2y} = \frac{1}{7}

Løs oppgaven

✏️Eksempel 3

Løs likningene:

a) $\displaystyle x + \frac{1}{2} = 2$

b) $\displaystyle \frac{1}{3}x - 1 = 3$

Løsning:

a) Alternativ 1:
$\displaystyle x + \frac{1}{2} = 2 \quad | - \frac{1}{2}$
$\displaystyle x = 2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Alternativ 2 (Gang med fellesnevner):
$\displaystyle x + \frac{1}{2} = 2 \quad | \cdot 2$
$2x + 1 = 4 \quad | - 1$
$2x = 3 \quad | : 2$
$\displaystyle x = \frac{3}{2}$

b) $\displaystyle \frac{1}{3}x - 1 = 3 \quad | + 1$
$\displaystyle \frac{x}{3} = 4 \quad | \cdot 3$
$x = 12$

Svar: a) $\displaystyle x = \frac{3}{2}$ , b) $x = 12$

📝Oppgave 3

Løs likningene

\displaystyle x + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

\displaystyle \frac{1}{2}x = 2

\displaystyle \frac{1}{3}x + \frac{x}{3} = 2

\displaystyle 2x - \frac{1}{3} = 2

\displaystyle \frac{x}{2} - 3x = -2

\displaystyle \frac{x}{11} = 2 + \frac{1}{2}

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Løs likningene

\displaystyle \frac{x}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}

\displaystyle \frac{x}{4} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3}

\displaystyle \frac{2}{5}x + \frac{x}{3} = 1

\displaystyle 3x - \frac{2}{5} = 0

\displaystyle \frac{x}{2} - \frac{3x}{5} = -2

\displaystyle \frac{x}{13} = 2 + \frac{1}{3}

Løs oppgaven

✏️Eksempel 4

Løs likningen:

$\displaystyle \frac{2x}{3} + \frac{x}{5} = -2$

Løsning:

$\displaystyle \frac{2x}{3} + \frac{x}{5} = -2$

$\displaystyle \frac{2x \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{x \cdot 3}{5 \cdot 3} = -2$

$\displaystyle \frac{10x}{15} + \frac{3x}{15} = -2$

$\displaystyle \frac{13x}{15} = -2 \quad | \cdot 15$

$13x = -30 \quad | : 13$

$\displaystyle x = -\frac{30}{13}$

Alternativ løsning:
$\displaystyle \frac{2x}{3} + \frac{x}{5} = -2 \quad | \cdot 15$
$5 \cdot 2x + 3x = -30$
$13x = -30$
$\displaystyle x = -\frac{30}{13}$

Svar: $\displaystyle x = -\frac{30}{13}$

✏️Eksempel 5

Løs likningen:

$\displaystyle -3x = \frac{6}{7}$

Løsning:

$\displaystyle -3x = \frac{6}{7} \quad | : (-3)$

$\displaystyle \frac{-3x}{-3} = \frac{6}{-3 \cdot 7}$

$\displaystyle x = -\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 7}$

$\displaystyle x = -\frac{2}{7}$

NB: Å dele med et tall er det samme som å gange nevneren med det tallet.
Eksempel: $\displaystyle \frac{3}{4} : 2 = \frac{3}{4 \cdot 2}$

Svar: $\displaystyle x = -\frac{2}{7}$

📝Oppgave 5

Løs likningene

\displaystyle 5x = \frac{2}{3}

\displaystyle \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x = -2

\displaystyle \frac{1}{5}x + \frac{x}{5} = 1

\displaystyle 2x - \frac{x}{3} = 0

\displaystyle \frac{x}{2} = -\frac{3}{4}

\displaystyle \frac{-x}{8} = 2x + \frac{1}{2}

Løs oppgaven

✏️Eksempel 6

Løs likningen:

$\displaystyle \frac{x + 2}{2} = 4$

Løsning:

$\displaystyle \frac{x + 2}{2} = 4 \quad | \cdot 2$

$\displaystyle \frac{x + 2}{2} \cdot 2 = 4 \cdot 2$

$x + 2 = 8 \quad | - 2$

$x = 6$

Svar: $x = 6$

📜Når er en brøk lik null?

En brøk er lik 0 når telleren er 0 og nevneren ikke er 0.

$\displaystyle \frac{0}{x} = 0$ for alle $x \neq 0$ .

✏️Eksempel 7

Løs likningen:

$\displaystyle \frac{x + 1}{2} = 0$

Løsning:

$\displaystyle \frac{x + 1}{2} = 0$

Vi ser her at $x + 1 = 0$ når $x = -1$ . Ettersom telleren i brøken da blir 0 så vil hele brøken da ha verdien 0 og likheten er oppfylt.

Løsningen er altså $x = -1$

Svar: $x = -1$

✏️Eksempel 8

Løs likningen:

$\displaystyle \frac{x^2 + 5x + 6}{x - 1} = 0$

Løsning:

Vi faktoriserer telleren i brøken (for eksempel ved nullpunktsfaktorisering eller ved sum og produktmetoden):

$\displaystyle \frac{(x + 2)(x + 3)}{x - 1} = 0$

Nullproduktregelen forteller oss at det over brøkstreken er 0 når minst én av faktorene er lik 0.

Vi ser her at $x + 2 = 0$ når $x = -2$ og at $x + 3 = 0$ når $x = -3$ .

Ettersom telleren i brøken i begge tilfeller blir 0 så vil hele brøken da ha verdien 0 og likheten er oppfylt.

Løsningene her er altså $x = -2$ og $x = -3$

NB: Det under brøkstreken er lik 0 når $x = 1$ , men dette vil ikke gi oss noe nullpunkt.

Svar: $x = -3$ eller $x = -2$

Når ingen verdier av x gir en løsning og når alle verdier av x gir en løsning

✏️Eksempel 9

Løs likningen:

$\displaystyle \frac{x - 3}{3} - \frac{x - 2}{3} = 0$

Løsning:

$\displaystyle \frac{x - 3}{3} - \frac{x - 2}{3} = 0 \quad | \cdot 3$

$\displaystyle \frac{3(x - 3)}{3} - \frac{3(x - 2)}{3} = 3 \cdot 0$

$x - 3 - (x - 2) = 0$

$x - 3 - x + 2 = 0$

$-1 = 0$

Men $-1$ er aldri lik $0$ , det spiller ingen rolle hva $x$ er her.

Svar: Ingen løsning

✏️Eksempel 10

Løs likningen:

$\displaystyle \frac{2x + 3}{5} = \frac{4x + 6}{10}$

Løsning:

$\displaystyle \frac{2x + 3}{5} = \frac{4x + 6}{10} \quad | \cdot 10$

$\displaystyle \frac{10(2x + 3)}{5} = \frac{10(4x + 6)}{10}$

$\displaystyle \frac{2 \cdot 5(2x + 3)}{5} = 4x + 6$

$4x + 6 = 4x + 6$

Uansett hva $x$ er så vil venstresiden og høyresiden i dette uttrykket være like hverandre.

Her kan vi altså si at løsningen er alle mulige verdier av x. Andre måter vi kan si dette på er "alle reelle tall" eller bare alle $x \in \mathbb{R}$ .

Svar: Alle $x$ er løsninger

✏️Eksempel 11

Å gange med flere ledd på begge sider samtidig.

$\displaystyle \frac{x - 3}{2x + 4} = -2$

Løsning:

Krav: $x \neq -2$

$\displaystyle \frac{x - 3}{2x + 4} = -2 \quad | \cdot (2x + 4)$

$\displaystyle \frac{x - 3}{2x + 4} \cdot (2x + 4) = -2 \cdot (2x + 4)$

$\displaystyle \frac{(x - 3)(2x + 4)}{(2x + 4)} = -2(2x + 4)$

$x - 3 = -4x - 8 \quad | + (4x + 3)$

$x + 4x - 3 + 3 = -4x + 4x - 8 + 3$

$5x = -5 \quad | : 5$

$x = -1$

Svar: $x = -1$

📜Krav til nevneren og falske løsninger

Står $x$ i en nevner, kan ikke $x$ ha en verdi som gjør nevneren lik 0.

- Skriv kravene først, for eksempel $x \neq 0$ og $x \neq 3$ .
- Gang hele likningen med fellesnevneren.
- Løs likningen du får.
- En løsning som bryter et krav, er en falsk løsning og forkastes.

Ganger vi med et uttrykk som kan være 0, kan vi få med slike falske løsninger. Derfor setter vi alltid løsningen inn i den opprinnelige likningen (kontroll).

✏️Eksempel 12

Løs likningen:

$\displaystyle \frac{x}{x-3} - \frac{2}{x} = \frac{6}{x(x-3)}$

Løsning:

Krav: $x \neq 0$ og $x \neq 3$

$\displaystyle \frac{x}{x-3} - \frac{2}{x} = \frac{6}{x(x-3)} \quad | \cdot x(x-3)$

$x \cdot x - 2(x-3) = 6$

$x^2 - 2x + 6 = 6$

$x^2 - 2x = 0$

$x(x - 2) = 0$

$x = 0 \quad \text{eller} \quad x = 2$

$x = 0$ bryter kravet $x \neq 0$ og er en falsk løsning.

Kontroll for $x = 2$ : venstresiden er $\displaystyle \frac{2}{-1} - \frac{2}{2} = -3$ , høyresiden er $\displaystyle \frac{6}{2 \cdot (-1)} = -3$ ✓

Svar: $x = 2$

📝Oppgave 6

Løs likningene

\displaystyle \frac{x - 5}{5} = 0

\displaystyle \frac{x + 2}{x} = 0

\displaystyle x + \frac{x - 1}{5} = 1

\displaystyle \frac{x - 3}{3} - \frac{x - 2}{3} = 0

\displaystyle \frac{x - 3}{2x + 4} = -2

\displaystyle 2x - 2 - \frac{x - 1}{3} = 0

Løs oppgaven

Oppsummering

- Løse $\displaystyle \frac{x}{a} = b$ : Gang begge sider med $a$ for å få $x = ab$
- Løse $\displaystyle \frac{a}{x} = b$ : Gang begge sider med $x$ for å få $a = bx$ , deretter $\displaystyle x = \frac{a}{b}$
- Flere brøker: Finn fellesnevner og gang hele likningen med denne for å fjerne alle brøkene
- Brøk lik null: En brøk er lik null når telleren er null (og nevneren ikke er null)
- Nullproduktregelen for brøker: $\displaystyle \frac{(x-a)(x-b)}{c} = 0 \Rightarrow x = a$ eller $x = b$
- Ingen eller uendelig mange løsninger: Noen likninger har ingen løsning ( $-1 = 0$ ), andre har alle reelle tall som løsning ( $x = x$ )
- Krav til nevneren: Skriv kravene ( $x \neq \ldots$ ) først, og forkast falske løsninger som gjør en nevner lik 0

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.