2.5 Rasjonale likninger

a) $\displaystyle \frac{x}{3} = 2 \quad | \cdot 3$
$\displaystyle \frac{x}{3} \cdot 3 = 2 \cdot 3$
$x = 6$

b) $\displaystyle \frac{2}{5} \cdot x = 6$
$\displaystyle \frac{2x}{5} = 6 \quad | \cdot 5$
$2x = 30 \quad | \div 2$
$x = 15$

c) $\displaystyle \frac{8}{2x} = 2 \quad | \cdot 2x$
$8 = 4x \quad | \div 4$
$2 = x$
$x = 2$

a) $\displaystyle \frac{x}{5} = \frac{2}{5} \quad | \cdot 5$
$x = 2$

b) $\displaystyle \frac{x}{3} = \frac{5}{4} \quad | \cdot 3$
$\displaystyle x = \frac{5}{4} \cdot 3 = \frac{15}{4}$

Alternativ 2 (Gang med fellesnevner):
$\displaystyle \frac{x}{3} = \frac{5}{4} \quad | \cdot 12$
$4x = 3 \cdot 5$
$4x = 15 \quad | \div 4$
$\displaystyle x = \frac{15}{4}$

c) $\displaystyle \frac{3}{7x} = 1 \quad | \cdot 7x$
$3 = 7x \quad | \div 7$
$\displaystyle x = \frac{3}{7}$

a) Alternativ 1:
$\displaystyle x + \frac{1}{2} = 2 \quad | - \frac{1}{2}$
$\displaystyle x = 2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Alternativ 2 (Gang med fellesnevner):
$\displaystyle x + \frac{1}{2} = 2 \quad | \cdot 2$
$2x + 1 = 4 \quad | - 1$
$2x = 3 \quad | \div 2$
$\displaystyle x = \frac{3}{2}$

b) Alternativ 1:
$\displaystyle \frac{1}{3}x - 1 = 3 \quad | + 1$
$\displaystyle \frac{x}{3} = 4 \quad | \cdot 3$
$x = 12$

$\displaystyle \frac{2x}{3} + \frac{x}{5} = -2$

$\displaystyle \frac{2x \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{x \cdot 3}{5 \cdot 3} = -2$

$\displaystyle \frac{10x}{15} + \frac{3x}{15} = -2$

$\displaystyle \frac{13x}{15} = -2 \quad | \cdot 15$

$13x = -30 \quad | \div 13$

$\displaystyle x = -\frac{30}{13}$

Alternativ løsning:
$\displaystyle \frac{2x}{3} + \frac{x}{5} = -2 \quad | \cdot 15$
$5 \cdot 2x + 3x = -30$
$13x = -30$
$\displaystyle x = -\frac{30}{13}$

$\displaystyle -3x = \frac{6}{7} \quad | \div (-3)$

$\displaystyle \frac{-3x}{-3} = \frac{6}{-3 \cdot 7}$

$\displaystyle x = -\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 7}$

$\displaystyle x = -\frac{2}{7}$

NB: Å dele med et tall er det samme som å gange nevneren med det tallet.
Eksempel: $\displaystyle \frac{3}{4} \div 2 = \frac{3}{4 \cdot 2}$

$\displaystyle \frac{x + 2}{2} = 4 \quad | \cdot 2$

$\displaystyle \frac{x + 2}{2} \cdot 2 = 4 \cdot 2$

$x + 2 = 8 \quad | - 2$

$x = 6$

$\displaystyle \frac{x + 1}{2} = 0$

Vi ser her at $x + 1 = 0$ når $x = -1$. Ettersom telleren i brøken da blir 0 så vil hele brøken da ha verdien 0 og likheten er oppfylt.

Løsningen er altså $x = -1$

Vi faktoriserer telleren i brøken (for eksempel ved nullpunktsfaktorisering eller ved sum og produktmetoden):

$\displaystyle \frac{(x + 2)(x + 3)}{x - 1} = 0$

Produktregelen forteller oss at det over brøkstreken er 0 når minst én av faktorene er lik 0.

Vi ser her at $x + 2 = 0$ når $x = -2$ og at $x + 3 = 0$ når $x = -3$.

Ettersom telleren i brøken i begge tilfeller blir 0 så vil hele brøken da ha verdien 0 og likheten er oppfylt.

Løsningene her er altså $x = -2$ og $x = -3$

NB: Det under brøkstreken er lik 0 når $x = 1$, men dette vil ikke gi oss noe nullpunkt.

$\displaystyle \frac{x - 3}{3} - \frac{x - 2}{3} = 0 \quad | \cdot 3$

$\displaystyle \frac{3(x - 3)}{3} - \frac{3(x - 2)}{3} = 3 \cdot 0$

$x - 3 - (x - 2) = 0$

$x - 3 - x + 2 = 0$

$-1 = 0$

Men $-1$ er aldri lik $0$, det spiller ingen rolle hva $x$ er her. Svaret blir altså ingen løsning.

$\displaystyle \frac{2x + 3}{5} = \frac{4x + 6}{10} \quad | \cdot 10$

$\displaystyle \frac{10(2x + 3)}{5} = \frac{10(4x + 6)}{10}$

$\displaystyle \frac{2 \cdot 5(2x + 3)}{5} = 4x + 6$

$4x + 6 = 4x + 6$

Uansett hva $x$ er så vil venstresiden og høyresiden i dette uttrykket være like hverandre.

Her kan vi altså si at løsningen er alle mulige verdier av x. Andre måter vi kan si dette på er "alle reelle tall" eller bare alle $x \in \mathbb{R}$.

$\displaystyle \frac{x - 3}{2x + 4} = -2 \quad | \cdot (2x + 4)$

$\displaystyle \frac{x - 3}{2x + 4} \cdot (2x + 4) = -2 \cdot (2x + 4)$

$\displaystyle \frac{(x - 3)(2x + 4)}{(2x + 4)} = -2(2x + 4)$

$x - 3 = -4x - 8 \quad | + (4x + 3)$

$x + 4x - 3 + 3 = -4x + 4x - 8 + 3$

$5x = -5 \quad | \div 5$

$x = -1$