2.5 Rasjonale likninger

Når den ukjente gjemmer seg i en brøk

Tenk deg at du deler en pizzaregning likt mellom vennene dine, men du vet ikke hvor mange som kom. Regningen var 600 kroner, og hver person betalte $\displaystyle \frac{600}{x}$ kroner. Hvis du vet at hver betalte 150 kroner, kan du sette opp likningen $\displaystyle \frac{600}{x} = 150$ og finne at dere var fire stykker. Gratulerer -- du har nettopp sett din første rasjonale likning, altså en likning der den ukjente opptrer i en brøk.

I dette kapittelet skal vi lære å håndtere slike likninger systematisk. Vi starter med enkle brøklikninger der vi ganger bort nevneren, går videre til likninger med flere brøkledd der vi trenger fellesnevner, og avslutter med den elegante produktregelen som lar oss finne nullpunkter uten å gange i det hele tatt. Underveis skal vi også se hva som skjer i de merkelige tilfellene der likningen ikke har noen løsning -- eller har uendelig mange.

Gang bort nevneren -- den enkleste strategien

Den grunnleggende ideen bak brøklikninger er overraskende enkel: vi vil bli kvitt brøken. Og måten vi gjør det på er å gange begge sider av likningen med nevneren.

La oss ta det helt fra starten. Hvis vi har $\displaystyle \frac{x}{3} = 2$, ganger vi begge sider med $3$. Da forsvinner nevneren på venstre side, og vi får $x = 6$. Enkelt og greit.

Men hva når $x$ selv står i nevneren? Ta likningen $\displaystyle \frac{6}{x} = 2$. Nå ganger vi begge sider med $x$, og vi får $6 = 2x$. Deler vi begge sider på $2$, finner vi $x = 3$. Legg merke til at vi her måtte gange med et uttrykk som inneholder den ukjente -- det fungerer fint så lenge vi husker at $x$ ikke kan være null (for da ville vi delt på null i den opprinnelige likningen).

Noen ganger har vi en brøk på begge sider. For eksempel $\displaystyle \frac{x}{3} = \frac{5}{4}$. Her kan vi gange med fellesnevneren $12$ på begge sider: $\displaystyle \frac{12x}{3} = \frac{12 \cdot 5}{4}$, som gir $4x = 15$ og dermed $\displaystyle x = \frac{15}{4}$. Alternativt kan vi gange med $3$ først for å få $\displaystyle x = \frac{5}{4} \cdot 3 = \frac{15}{4}$. Begge veier fører til samme svar -- bruk den metoden du synes er mest oversiktlig.

Når vi har et helt uttrykk i telleren, som $\displaystyle \frac{x + 2}{2} = 4$, ganger vi fortsatt begge sider med nevneren. Da får vi $x + 2 = 8$, og dermed $x = 6$. Hele telleren blir frigjort fra brøken i ett steg.

Flere brøkledd -- fellesnevner er nøkkelen

Hva gjør vi når likningen har flere brøkledd? Tenk på $\displaystyle \frac{2x}{3} + \frac{x}{5} = -2$. Her har vi to brøker med forskjellige nevnere, og det gjør det vanskelig å samle $x$-leddene. Løsningen er å finne fellesnevneren og gange hele likningen med den.

Fellesnevneren til $3$ og $5$ er $15$. Når vi ganger hvert ledd med $15$, skjer det magi: $\displaystyle \frac{15 \cdot 2x}{3} + \frac{15 \cdot x}{5} = 15 \cdot (-2)$, som blir $10x + 3x = -30$. Plutselig er alle brøkene borte! Vi forenkler til $13x = -30$, og får $\displaystyle x = -\frac{30}{13}$.

Den samme teknikken fungerer når vi har brøkledd blandet med vanlige ledd. Ta $\displaystyle x + \frac{1}{2} = 2$. Vi kan gange alt med $2$: $2x + 1 = 4$, som gir $2x = 3$ og $\displaystyle x = \frac{3}{2}$. Alternativt kan vi flytte $\displaystyle \frac{1}{2}$ til høyre side: $\displaystyle x = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. Begge metodene fungerer.

En viktig detalj oppstår når vi deler med negative tall. I likningen $\displaystyle -3x = \frac{6}{7}$ deler vi begge sider på $-3$. Å dele en brøk med et tall er det samme som å gange nevneren med det tallet: $\displaystyle x = \frac{6}{-3 \cdot 7} = -\frac{2}{7}$. Pass alltid på fortegnet når du deler -- det er en klassisk feilkilde.

Hva med likninger som $\displaystyle \frac{x}{2} - \frac{3x}{5} = -2$? Fellesnevneren er $10$. Gang alt med $10$: $5x - 6x = -20$, altså $-x = -20$, som gir $x = 20$. Det negative fortegnet på $x$ forsvinner når vi ganger med $-1$ på begge sider.

Produktregelen -- når brøken skal bli null

Nå skal vi se på en spesielt elegant metode. Tenk på dette: når er en brøk lik null? Jo, en brøk $\displaystyle \frac{a}{b}$ er lik null hvis og bare hvis telleren $a$ er lik null (forutsatt at nevneren $b$ ikke er null). Det spiller ingen rolle hva nevneren er -- $\displaystyle \frac{0}{5} = 0$, $\displaystyle \frac{0}{1000} = 0$, $\displaystyle \frac{0}{x+3} = 0$. Null delt på hva som helst er null.

Dette gir oss produktregelen for brøklikninger: for å løse $\displaystyle \frac{\text{noe}}{\text{noe annet}} = 0$, trenger vi bare å finne ut når telleren er null.

La oss prøve med $\displaystyle \frac{x + 1}{2} = 0$. Vi ser rett på telleren: $x + 1 = 0$ gir $x = -1$. Ferdig! Vi trenger ikke engang å bry oss om nevneren (bortsett fra å sjekke at den ikke også blir null for $x = -1$, men $2$ er aldri null, så det er greit).

Det blir enda kraftigere når telleren kan faktoriseres. Ta likningen $\displaystyle \frac{x^2 + 5x + 6}{x - 1} = 0$. Vi faktoriserer telleren: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$. Produktregelen sier at et produkt er null når minst en av faktorene er null. Altså er $x + 2 = 0$ eller $x + 3 = 0$, som gir $x = -2$ eller $x = -3$. Ingen av disse verdiene gjør nevneren $x - 1$ lik null, så begge er gyldige løsninger.

Men pass opp! Hvis en verdi som gjør telleren null også gjør nevneren null, er den verdien ikke en gyldig løsning. For eksempel i $\displaystyle \frac{x(x-1)}{x - 1} = 0$ er $x = 1$ ikke en løsning, fordi nevneren også blir null. Vi kan bare bruke $x = 0$.

Spesielle tilfeller -- ingen løsning eller uendelig mange

Noen ganger kan brøklikninger oppføre seg merkelig. La oss se på to tilfeller som er viktige å kjenne igjen.

Det første tilfellet er når likningen ikke har noen løsning. Se på $\displaystyle \frac{x - 3}{3} - \frac{x - 2}{3} = 0$. Vi ganger med $3$ for å fjerne nevnerne: $x - 3 - (x - 2) = 0$. Løser vi opp parentesen, får vi $x - 3 - x + 2 = 0$, altså $-1 = 0$. Men $-1$ er aldri lik $0$, uansett hva $x$ er! Likningen har altså ingen løsning. Det finnes rett og slett ingen verdi av $x$ som gjør at venstre og høyre side blir like.

Det andre tilfellet er det motsatte: likningen er alltid sann. Se på $\displaystyle \frac{2x + 3}{5} = \frac{4x + 6}{10}$. Ganger vi med $10$, får vi $2(2x + 3) = 4x + 6$, altså $4x + 6 = 4x + 6$. Dette er sant for alle verdier av $x$! Likningen har uendelig mange løsninger -- eller sagt på en annen måte, løsningsmengden er alle reelle tall, $x \in \mathbb{R}$. Grunnen er at brøkene på begge sider egentlig er nøyaktig det samme uttrykket.

Disse spesielle tilfellene oppstår fordi $x$-leddene kansellerer hverandre. Når du sitter igjen med et utsagn uten $x$, sjekk om det er sant eller usant: er det usant (som $-1 = 0$), finnes ingen løsning; er det sant (som $6 = 6$), er alle tall løsninger.

Gange med uttrykk -- når nevneren inneholder $x$

Den mest utfordrende typen brøklikning er når nevneren selv inneholder $x$. Da må vi gange begge sider med et uttrykk, ikke bare et tall. Metoden er den samme, men vi må være ekstra forsiktige.

Ta likningen $\displaystyle \frac{x - 3}{2x + 4} = -2$. For å fjerne brøken ganger vi begge sider med $(2x + 4)$: $x - 3 = -2(2x + 4)$. Nå løser vi opp høyre side: $x - 3 = -4x - 8$. Vi samler $x$-ledd: $x + 4x = -8 + 3$, altså $5x = -5$, og $x = -1$.

Her er et viktig poeng: vi bør sjekke at løsningen vår ikke gjør nevneren lik null. Setter vi $x = -1$ inn i $2x + 4$, får vi $2(-1) + 4 = 2 \neq 0$. Alt i orden -- løsningen er gyldig.

Noen likninger kombinerer vanlige ledd og brøker, som $\displaystyle 2x - 2 - \frac{x - 1}{3} = 0$. Her ganger vi hele likningen med $3$: $3(2x - 2) - (x - 1) = 0$, altså $6x - 6 - x + 1 = 0$, som gir $5x - 5 = 0$ og $x = 1$. Legg merke til at parentesen $(x - 1)$ ble ganget med $-1$ fordi den opprinnelig stod etter et minustegn.

Oppsummert er strategien for brøklikninger med $x$ i nevneren: gang med nevneruttrykket, løs den resulterende likningen, og sjekk til slutt at svaret ikke gjør noen nevner lik null.

Oppsummering

I dette kapittelet har vi lært tre hovedstrategier for å løse rasjonale likninger -- likninger som inneholder brøker med den ukjente.

Gang bort nevneren er den mest direkte metoden. Du ganger begge sider med nevneren for å fjerne brøken. Hvis likningen har flere brøkledd med ulike nevnere, finner du fellesnevneren og ganger hele likningen med den. Da forsvinner alle brøkene i ett steg, og du sitter igjen med en vanlig likning du kan løse som normalt.

Produktregelen er en elegant snarvei når brøken skal være lik null. En brøk $\displaystyle \frac{a}{b} = 0$ bare når telleren $a = 0$ (og nevneren $b \neq 0$). Hvis telleren kan faktoriseres, setter du hver faktor lik null for å finne alle løsningene.

Spesielle tilfeller oppstår når $x$-leddene kansellerer hverandre. Ender du opp med et usant utsagn (som $-1 = 0$), har likningen ingen løsning. Ender du med et alltid sant utsagn (som $6 = 6$), er alle reelle tall løsninger. Og husk: når du ganger med uttrykk som inneholder $x$, sjekk alltid at løsningen ikke gjør noen nevner lik null.