2.6 Likninger med røtter | Matematikk 1T

Løs likninger som inneholder kvadratrøtter.

30 min

10 oppgaver

RotlikningerKvadreringKontroll av løsninger

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.2Potenser med heltallseksponenter

Likninger med røtter

I dette kapitlet lærer du å løse likninger der den ukjente står under et rottegn, for eksempel $\sqrt{x + 3} = 5$ .

Viktig: Når vi kvadrerer begge sider av en likning, kan vi introdusere falske løsninger. Derfor må vi alltid kontrollere svarene!

Kvadratrot

\sqrt{a}

✏️Eksempel 1

Løs likningen $\sqrt{x} = 4$

Løsning:

Vi kvadrerer begge sider:
$(\sqrt{x})^2 = 4^2$
$x = 16$

Kontroll: $\sqrt{16} = 4$ ✓

Svar: $x = 16$

📝Oppgave 1

Løs likningene

\sqrt{x} = 5

\sqrt{x} = 7

\sqrt{x} = 10

\sqrt{x} = 0

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 2

Løs likningen $\sqrt{x + 5} = 3$

Løsning:

Vi kvadrerer begge sider:
$(\sqrt{x + 5})^2 = 3^2$
$x + 5 = 9$
$x = 4$

Kontroll: $\sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3$ ✓

Svar: $x = 4$

📝Oppgave 2

Løs likningene og kontroller svaret

\sqrt{x - 1} = 4

\sqrt{x + 7} = 5

\sqrt{2x + 1} = 3

\sqrt{3x - 5} = 4

Løs oppgaven Tren

Falske løsninger

Når vi kvadrerer en likning, kan vi få falske løsninger som ikke stemmer med den opprinnelige likningen. Dette skjer fordi kvadrering «glemmer» fortegnet.

Eksempel på hvorfor kontroll er viktig:
- Anta at $\sqrt{x} = -3$ (som ikke har løsning)
- Hvis vi kvadrerer: $x = 9$
- Men $\sqrt{9} = 3 \neq -3$

Derfor: Kontroller alltid svaret i den opprinnelige likningen!

✏️Eksempel 3

Løs likningen $\sqrt{x + 2} = x$

Løsning:

Vi kvadrerer begge sider:
$x + 2 = x^2$
$x^2 - x - 2 = 0$
$(x - 2)(x + 1) = 0$
$x = 2$ eller $x = -1$

Kontroll:
- $x = 2$ : $\sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$ ✓
- $x = -1$ : $\sqrt{-1 + 2} = \sqrt{1} = 1 \neq -1$ ✗

Svar: $x = 2$ (kun én løsning)

📝Oppgave 3

Løs likningene og forkast eventuelle falske løsninger

\sqrt{x - 3} = x - 5

\sqrt{x + 3} = x + 1

\sqrt{2x + 3} = x

\sqrt{x} + 1 = x - 1

Løs oppgaven Tren

Isoler roten først

Hvis rotuttrykket ikke står alene, må du isolere det før du kvadrerer.

✏️Eksempel 4

Løs likningen $\sqrt{x + 1} + 3 = 7$

Løsning:

Isoler roten:
$\sqrt{x + 1} = 7 - 3 = 4$

Kvadrer:
$x + 1 = 16$
$x = 15$

Kontroll: $\sqrt{15 + 1} + 3 = \sqrt{16} + 3 = 4 + 3 = 7$ ✓

Svar: $x = 15$

📝Oppgave 4

Løs likningene

\sqrt{x} - 2 = 3

2\sqrt{x} = 6

\sqrt{x - 4} + 1 = 6

3\sqrt{x + 2} = 12

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Løs likningene

\sqrt{x} = -2

\sqrt{x^2} = 4

\sqrt{x - 1} = \sqrt{2x - 5}

\sqrt{x + 5} - \sqrt{x} = 1

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

\sqrt{a} \geq 0

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Rotlikninger: Likninger der den ukjente står under et rottegn, løses ved å kvadrere begge sider
- Isoler roten først: Få rotuttrykket alene på én side før du kvadrerer
- Falske løsninger: Kvadrering kan gi løsninger som ikke passer i den opprinnelige likningen — sett alltid prøve!
- Umulige likninger: $\sqrt{x} = -3$ har ingen løsning, fordi en kvadratrot aldri er negativ

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Rotlikning	Likning med den ukjente under rottegn
Å kvadrere	Å opphøye begge sider i andre potens
Falsk løsning	Kandidat fra kvadreringen som ikke passer i originallikningen

Viktige formler

\sqrt{a} = b \;\Rightarrow\; a = b^2

(krever

b \geq 0

)
-

(\sqrt{a})^2 = a

for

a \geq 0

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.