2.6 Likninger med røtter

Å befri den ukjente fra rottegnet

Tenk deg at du vet arealet av et kvadrat og vil finne sidelengden. Arealet er $25$ kvadratmeter, og siden areal er side ganger side, trenger du å løse $x^2 = 25$. Du tar kvadratroten og finner $x = 5$ meter. Men hva om likningen er mer innviklet -- for eksempel $\sqrt{x + 3} = 5$? Da sitter den ukjente inne i et rottegn, og vi trenger en strategi for å få den ut.

Velkommen til rotlikninger. I dette kapittelet lærer du den grunnleggende teknikken: å kvadrere begge sider for å fjerne rottegnet. Det høres enkelt ut, og det er det som regel også. Men det finnes en fallgruve som gjør rotlikninger spesielle: når vi kvadrerer, kan vi innføre falske løsninger -- tall som ser ut som de passer, men som faktisk ikke gjør det. Derfor må vi alltid kontrollere svarene våre i den opprinnelige likningen. La oss dykke inn.

Kvadratroten -- alltid positiv

Før vi begynner å løse likninger, la oss bli enige om hva kvadratroten egentlig betyr. Symbolet $\sqrt{a}$ står for det positive tallet som opphøyd i andre gir $a$. For eksempel er $\sqrt{9} = 3$, ikke $-3$, selv om $(-3)^2$ også er $9$. Per definisjon er $\sqrt{a} \geq 0$ for alle $a \geq 0$.

Denne definisjonen har en viktig konsekvens: likningen $\sqrt{x} = -3$ har ingen løsning. Kvadratroten kan aldri gi et negativt resultat, så uansett hvilken verdi du prøver for $x$, vil $\sqrt{x}$ aldri bli $-3$. Hvis du likevel prøver å kvadrere begge sider, får du $x = 9$ -- men $\sqrt{9} = 3 \neq -3$. Du har fått en falsk løsning! Denne innsikten er grunnen til at kontroll er så viktig.

La oss starte med de enkleste rotlikningene. For $\sqrt{x} = 4$ kvadrerer vi begge sider: $(\sqrt{x})^2 = 4^2$, altså $x = 16$. Kontroll: $\sqrt{16} = 4$. Stemmer! For $\sqrt{x} = 0$ kvadrerer vi: $x = 0$. Kontroll: $\sqrt{0} = 0$. Stemmer også. Den eneste verdien der kvadratroten er null, er null selv.

Uttrykk under rottegnet

La oss øke vanskelighetsgraden litt. Hva om det ikke bare er $x$ under rottegnet, men et helt uttrykk? Ta likningen $\sqrt{x + 5} = 3$. Vi kvadrerer begge sider: $x + 5 = 9$. Trekker vi fra $5$, får vi $x = 4$. Kontroll: $\sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3$. Perfekt.

Teknikken er alltid den samme. For $\sqrt{x - 1} = 4$ kvadrerer vi: $x - 1 = 16$, altså $x = 17$. For $\sqrt{2x + 1} = 3$ kvadrerer vi: $2x + 1 = 9$, altså $2x = 8$ og $x = 4$. For $\sqrt{3x - 5} = 4$ kvadrerer vi: $3x - 5 = 16$, altså $3x = 21$ og $x = 7$.

Legg merke til mønsteret: kvadrering fjerner rottegnet, og det som var under roten havner rett på venstre side. Deretter løser vi en vanlig førstegradslikning. Men husk at vi alltid setter svaret tilbake i den opprinnelige likningen for å kontrollere. Så lenge høyre side er positiv (som $3$, $4$, $5$), vil kontrollen som regel gå bra. Det er når vi får mer kompliserte likninger at fallgruvene dukker opp -- og det er neste tema.

Falske løsninger -- hvorfor kontroll er livsviktig

Nå kommer vi til det som gjør rotlikninger virkelig interessante. Når $x$ dukker opp både under rottegnet og utenfor, kan kvadrering gi oss løsninger som ikke stemmer. La oss se hvorfor.

Ta likningen $\sqrt{x + 2} = x$. Vi kvadrerer begge sider: $x + 2 = x^2$. Flytter vi alt til én side, får vi $x^2 - x - 2 = 0$. Dette er en andregradslikning som vi kan faktorisere: $(x - 2)(x + 1) = 0$, altså $x = 2$ eller $x = -1$. Men stemmer begge?

Kontroll for $x = 2$: $\sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$. Ja, $2 = 2$ stemmer.

Kontroll for $x = -1$: $\sqrt{-1 + 2} = \sqrt{1} = 1$. Men høyre side er $x = -1$, og $1 \neq -1$. Denne løsningen er falsk! Den dukket opp fordi kvadrering «glemmer» fortegnet. Når vi kvadrerte $\sqrt{x + 2} = x$, behandlet vi det som om $|x|$ stod på høyre side. Verdien $x = -1$ tilfredsstiller egentlig $\sqrt{x + 2} = -x$ (altså $1 = 1$), men det er en annen likning.

Her er et annet eksempel: $\sqrt{x - 3} = x - 5$. Kvadrering gir $x - 3 = x^2 - 10x + 25$, altså $x^2 - 11x + 28 = 0$, som faktoriseres til $(x - 4)(x - 7) = 0$. Kontroll: for $x = 7$ får vi $\sqrt{4} = 2$ og $7 - 5 = 2$, stemmer. For $x = 4$ får vi $\sqrt{1} = 1$ og $4 - 5 = -1$, stemmer ikke. Kun $x = 7$ er gyldig.

Moralen er klar: kontroller alltid alle kandidatløsninger i den opprinnelige likningen.

Isoler roten først

Noen ganger står rotuttrykket ikke alene på én side av likhetstegnet. Da er det første steget å isolere roten -- flytte alt annet bort fra den -- før vi kvadrerer.

Ta likningen $\sqrt{x + 1} + 3 = 7$. Her trekker vi fra $3$ på begge sider først: $\sqrt{x + 1} = 4$. Nå kan vi kvadrere: $x + 1 = 16$, altså $x = 15$. Kontroll: $\sqrt{15 + 1} + 3 = \sqrt{16} + 3 = 4 + 3 = 7$. Stemmer!

Hva med $\sqrt{x} - 2 = 3$? Vi legger til $2$: $\sqrt{x} = 5$. Kvadrerer: $x = 25$. Hva med $2\sqrt{x} = 6$? Vi deler på $2$: $\sqrt{x} = 3$. Kvadrerer: $x = 9$. Og $3\sqrt{x + 2} = 12$? Deler på $3$: $\sqrt{x + 2} = 4$. Kvadrerer: $x + 2 = 16$, $x = 14$.

Poenget er at vi aldri skal kvadrere før rotuttrykket står alene på én side. Hvis vi prøver å kvadrere $\sqrt{x + 1} + 3 = 7$ direkte, får vi $(\sqrt{x + 1})^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{x + 1} + 9 = 49$, og roten er der fortsatt! Å isolere først gjør alt mye enklere.

Et viktig spesialtilfelle er $\sqrt{x^2} = 4$. Siden $\sqrt{x^2} = |x|$ (absoluttverdien av $x$), betyr dette at $|x| = 4$, altså $x = 4$ eller $x = -4$. Her får vi faktisk to løsninger, fordi det er absoluttverdien -- ikke bare $x$ -- som er involvert.

Avanserte tilfeller -- rot på begge sider

Til slutt skal vi se på noen likninger som krever litt ekstra tankearbeid. Hva gjør vi når det er røtter på begge sider av likhetstegnet?

Ta $\sqrt{x - 1} = \sqrt{2x - 5}$. Her er begge sider allerede isolerte røtter. Vi kvadrerer: $x - 1 = 2x - 5$. Trekker vi fra $x$ og legger til $5$: $4 = x$, altså $x = 4$. Kontroll: $\sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$ og $\sqrt{2 \cdot 4 - 5} = \sqrt{3}$. Stemmer!

Hva med $\sqrt{x + 5} - \sqrt{x} = 1$? Her har vi to rotuttrykk, og vi kan ikke kvadrere bort begge i ett steg. Trikset er å isolere én rot og kvadrere: $\sqrt{x + 5} = 1 + \sqrt{x}$. Nå kvadrerer vi: $x + 5 = 1 + 2\sqrt{x} + x$. Forenkler: $5 = 1 + 2\sqrt{x}$, altså $4 = 2\sqrt{x}$, som gir $\sqrt{x} = 2$ og dermed $x = 4$. Kontroll: $\sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1$. Stemmer!

Legg merke til at vi måtte kvadrere to ganger i det siste eksempelet -- første gang for å fjerne den ene roten, og andre gang for å fjerne den som var igjen. Slike likninger er mer arbeidskrevende, men metoden er den samme: isoler, kvadrer, forenkle, og gjenta ved behov.

Uansett hvor komplisert en rotlikning ser ut, er oppskriften: isoler roten, kvadrer, løs den resulterende likningen, og kontroller alltid svaret i den opprinnelige likningen. Den kontrollen er ikke et valgfritt ekstrasteg -- den er en helt nødvendig del av løsningen.

Oppsummering

I dette kapittelet har vi lært å løse likninger der den ukjente befinner seg under et rottegn.

Metoden er i fire steg: (1) isoler rotuttrykket på én side, (2) kvadrer begge sider for å fjerne roten, (3) løs den resulterende likningen, og (4) kontroller alltid svaret i den opprinnelige likningen. Denne firestegsmetoden fungerer for alle rotlikninger, fra de enkleste til de mest kompliserte.

Falske løsninger oppstår fordi kvadrering «glemmer» fortegnet. Når vi kvadrerer $a = b$, får vi $a^2 = b^2$, men dette er også sant for $a = -b$. Dermed kan vi få løsninger som tilfredsstiller den kvadrerte likningen, men ikke den opprinnelige. Kontroll i den opprinnelige likningen avslører slike bedragere.

Husk definisjonen: $\sqrt{a} \geq 0$ for alle $a \geq 0$. Kvadratroten er alltid positiv (eller null). Likningen $\sqrt{x} = \text{negativt tall}$ har derfor aldri noen løsning. Og $\sqrt{x^2} = |x|$, ikke bare $x$, noe som kan gi to løsninger.