1.2
Potenser med heltallseksponenter

1.2 Potenser med heltallseksponenter

Alle fag for VG1

Lær om potenser, potensregler og regneregler for heltallseksponenter.

25 min
20 oppgaver
PotenserHeltallseksponenterPotensregler
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 20 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Noen ganger ønsker vi å beskrive at et tall ganges med seg selv flere ganger på en enklere måte. I stedet for å skrive 2⋅2⋅2⋅22 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 så kan vi skrive 242^4 og i stedet for a⋅a⋅aa \cdot a \cdot a kan vi skrive a3a^3.

Potens
Når vi skriver xnx^n, betyr det at vi ganger xx med seg selv nn ganger:

xn=x⋅x⋅x⋅…⋅x(n faktorer)x^n = x \cdot x \cdot x \cdot \ldots \cdot x \quad (n \text{ faktorer})

Vi kaller xx for grunntallet og nn for eksponenten.

For eksempel: 23=2⋅2⋅2=82^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 (grunntall 2, eksponent 3) og a5=a⋅a⋅a⋅a⋅aa^5 = a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a.

✏️Eksempel 1

Regn ut:

a) 242^4
b) 4⋅324 \cdot 3^2

Løsning:

a) 24=2⋅2⋅2⋅2=162^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16

b) 4⋅32=4⋅3⋅3=4⋅9=364 \cdot 3^2 = 4 \cdot 3 \cdot 3 = 4 \cdot 9 = 36

📝Oppgave 1

Regn ut

a
232^3
b
929^2
c
22⋅522^2 \cdot 5^2
d
33⋅23^3 \cdot 2
e
72⋅227^2 \cdot 2^2
f
13⋅23⋅321^3 \cdot 2^3 \cdot 3^2
Løs oppgavenTren
Vi skal her lære oss å regne med potenser. Vi kan observere at:
x2⋅x3=(x⋅x)⋅(x⋅x⋅x)=x5x^2 \cdot x^3 = (x \cdot x) \cdot (x \cdot x \cdot x) = x^5

Generelt kan vi utlede regelen:
xa⋅xb=xa+bx^a \cdot x^b = x^{a+b}

📜Potensregel: Multiplikasjon
xa⋅xb=xa+bx^a \cdot x^b = x^{a+b}
✏️Eksempel 2

Regn ut og skriv svaret som potens:

a) 34⋅353^4 \cdot 3^5
b) 2a⋅2a42a \cdot 2a^4
c) a3⋅b2⋅a5⋅b3a^3 \cdot b^2 \cdot a^5 \cdot b^3

Løsning:

a) 34⋅35=34+5=393^4 \cdot 3^5 = 3^{4+5} = 3^9

b) 2a⋅2a4=2⋅2⋅a1⋅a4=22a1+4=22a52a \cdot 2a^4 = \color{blue}{2 \cdot 2 \cdot a^1 \cdot a^4} = 2^2 a^{1+4} = 2^2 a^5

c) a3⋅b2⋅a5⋅b3=a3⋅a5⋅b2⋅b3=a3+5⋅b2+3=a8b5a^3 \cdot b^2 \cdot a^5 \cdot b^3 = a^3 \cdot a^5 \cdot b^2 \cdot b^3 = a^{3+5} \cdot b^{2+3} = a^8 b^5

📝Oppgave 2

Regn ut og skriv svaret som potens

a
x2⋅x3x^2 \cdot x^3
b
25⋅2102^5 \cdot 2^{10}
c
a3⋅a5⋅b2a^3 \cdot a^5 \cdot b^2
d
x3y2⋅x2⋅y6x^3 y^2 \cdot x^2 \cdot y^6
e
3x2⋅4x3x^2 \cdot 4x
f
9x3y3⋅x29x^3 y^3 \cdot x^2
Løs oppgavenTren
Når vi arbeider med potenser i brøker så er det viktig å huske på at vi kan gange og dele med samme tall over og under brøkstreken. Det er også viktig å huske at vi derfor kan stryke like faktorer over og under brøkstreken imot hverandre.

Vi har for eksempel at:
4542=4⋅4⋅4⋅4⋅44⋅4=45−2=43\frac{4^5}{4^2} = \frac{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \color{red}{4 \cdot 4}}{\color{red}{4 \cdot 4}} = 4^{5-2} = 4^3

📜Potensregel: Divisjon
xaxb=xa−b\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}
✏️Eksempel 3

Regn ut og skriv svaret som en potens:

a) 9592\displaystyle \frac{9^5}{9^2}

b) x4y3x2y2\displaystyle \frac{x^4 y^3}{x^2 y^2}

Løsning:

a) Alternativ 1:
9592=95−2=93\frac{9^5}{9^2} = 9^{5-2} = 9^3

Alternativ 2: (Vi faktoriserer og stryker likt imot likt)
9592=93⋅9292=93\frac{9^5}{9^2} = \frac{9^3 \cdot \color{red}{9^2}}{\color{red}{9^2}} = 9^3

b) Alternativ 1:
x4y3x2y2=x4x2⋅y3y2=x4−2⋅y3−2=x2y\frac{x^4 y^3}{x^2 y^2} = \color{blue}{\frac{x^4}{x^2} \cdot \frac{y^3}{y^2}} = x^{4-2} \cdot y^{3-2} = x^2 y

Alternativ 2: (Vi faktoriserer og stryker likt imot likt)
x4y3x2y2=x2⋅x2⋅y2⋅yx2⋅y2=x2y\frac{x^4 y^3}{x^2 y^2} = \frac{\color{red}{x^2} \cdot x^2 \cdot \color{red}{y^2} \cdot y}{\color{red}{x^2} \cdot \color{red}{y^2}} = x^2 y

📝Oppgave 3

Regn ut og forenkle

a
7473\displaystyle \frac{7^4}{7^3}
b
a7a2\displaystyle \frac{a^7}{a^2}
c
a3b4ab2\displaystyle \frac{a^3 b^4}{ab^2}
d
24⋅5723⋅54\displaystyle \frac{2^4 \cdot 5^7}{2^3 \cdot 5^4}
e
x4y2⋅24⋅x222x3\displaystyle \frac{x^4 y^2 \cdot 2^4 \cdot x^2}{2^2 x^3}
f
54⋅23x322x2\displaystyle \frac{5^4 \cdot 2^3 x^3}{2^2 x^2}
Løs oppgavenTren
Negative eksponenter
x−1=1xx^{-1} = \frac{1}{x}

x−n=1xnx^{-n} = \frac{1}{x^n}

✏️Eksempel 4

Skriv uten negativ eksponent og regn ut:

a) 2a−12a^{-1}
b) 3−1x−23^{-1}x^{-2}
c) 3y⋅2−3⋅x−33y \cdot 2^{-3} \cdot x^{-3}

Løsning:

a) 2a−1=2⋅1a=21⋅1a=2a\displaystyle 2a^{-1} = 2 \cdot \frac{1}{a} = \color{blue}{\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{a}} = \frac{2}{a}

b) 3−1x−2=13⋅1x2=13x2\displaystyle 3^{-1}x^{-2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{3x^2}

c) 3y⋅2−3⋅x−3=3y⋅123⋅1x3=3y1⋅123x3=3y8x3\displaystyle 3y \cdot 2^{-3} \cdot x^{-3} = 3y \cdot \frac{1}{2^3} \cdot \frac{1}{x^3} = \color{blue}{\frac{3y}{1} \cdot \frac{1}{2^3 x^3}} = \frac{3y}{8x^3}

📝Oppgave 4

Gjør om uttrykket slik at det ikke lenger har en negativ eksponent og regn ut.

a
3x−13x^{-1}
b
4a−24a^{-2}
c
2−2x−32^{-2} x^{-3}
d
a3a−5a^3 a^{-5}
e
8x−3⋅2−2x58x^{-3} \cdot 2^{-2} x^5
f
3x3⋅x−5⋅2x4\displaystyle 3x^3 \cdot x^{-5} \cdot \frac{2}{x^4}
Løs oppgavenTren

Når vi har en negativ eksponent i en brøk så kan faktoren som er opphøyd i noe negativt flyttes til den andre siden av brøkstreken (fra teller til nevner eller fra nevner til teller) og bli opphøyd i det samme tallet med positivt fortegn.

📜Negative eksponenter i brøker
a−nb−m=bman\frac{a^{-n}}{b^{-m}} = \frac{b^m}{a^n}
✏️Eksempel 5

Flytt på potensuttrykkene slik at vi får positiv eksponent og regn ut:

a) 2−53−2\displaystyle \frac{2^{-5}}{3^{-2}}

b) 2x−2y3x2y−1\displaystyle \frac{2x^{-2}y^3}{x^2 y^{-1}}

Løsning:

a) 2−53−2=3225=932\displaystyle \frac{\color{red}{2^{-5}}}{\color{red}{3^{-2}}} = \frac{\color{red}{3^2}}{\color{red}{2^5}} = \frac{9}{32}

b) 2x−2y3x2y−1=2y1⋅y3x2⋅x2=2y4x4\displaystyle \frac{2\color{red}{x^{-2}}y^3}{x^2 \color{red}{y^{-1}}} = \frac{2\color{red}{y^1} \cdot y^3}{x^2 \cdot \color{red}{x^2}} = \frac{2y^4}{x^4}

📝Oppgave 5

Regn ut og skriv svaret uten negative eksponenter

a
2−23−1\displaystyle \frac{2^{-2}}{3^{-1}}
b
a−32−3\displaystyle \frac{a^{-3}}{2^{-3}}
c
7x−5x2\displaystyle \frac{7x^{-5}}{x^2}
d
2x−1y2x4y−4\displaystyle \frac{2x^{-1} y^2}{x^4 y^{-4}}
e
2−2y63−2y−4\displaystyle \frac{2^{-2} y^6}{3^{-2} y^{-4}}
f
4x−32x−4\displaystyle \frac{4x^{-3}}{2x^{-4}}
Løs oppgavenTren
📜Potens av produkt
(a⋅b)n=an⋅bn(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n
✏️Eksempel 6

Regn ut:

a) (xy)4(xy)^4
b) (2x)5(2x)^5

Løsning:

a) (xy)4=(x⋅y)4=x4⋅y4=x4y4(xy)^4 = (x \cdot y)^4 = x^4 \cdot y^4 = x^4 y^4

b) (2x)5=(2⋅x)5=25⋅x5=32⋅x5=32x5(2x)^5 = (2 \cdot x)^5 = 2^5 \cdot x^5 = 32 \cdot x^5 = 32x^5

📝Oppgave 6

Regn ut

a
(3x)2(3x)^2
b
(ab)2(ab)^2
c
3a4⋅(2a)33a^4 \cdot (2a)^3
Løs oppgavenTren
📜Potens av brøk
(ab)n=anbn\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}
✏️Eksempel 7

Regn ut:

a) (xy)4\displaystyle \left(\frac{x}{y}\right)^4

b) (23x)2\displaystyle \left(\frac{2}{3x}\right)^2

Løsning:

a) (xy)4=x4y4\displaystyle \left(\frac{x}{y}\right)^4 = \frac{x^4}{y^4}

b) (23x)2=22(3x)2=432x2=49x2\displaystyle \left(\frac{2}{3x}\right)^2 = \frac{2^2}{(3x)^2} = \frac{4}{3^2 x^2} = \frac{4}{9x^2}

📝Oppgave 7

Regn ut og skriv svaret som potens

a
(ab)8\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^8
b
(2a3)2\displaystyle \left(\frac{2a}{3}\right)^2
c
(x5y)2\displaystyle \left(\frac{x}{5y}\right)^2
d
(xy)4⋅(2xy2)\displaystyle \left(\frac{x}{y}\right)^4 \cdot \left(\frac{2x}{y^2}\right)
e
(a3)4⋅33a\displaystyle \left(\frac{a}{3}\right)^4 \cdot 3^3 a
f
(a2b)2⋅3a−2b−2\displaystyle \left(\frac{a}{2b}\right)^2 \cdot 3a^{-2} b^{-2}
Løs oppgavenTren
📜Potens av potens
(xa)b=xa⋅b(x^a)^b = x^{a \cdot b}
✏️Eksempel 8

Regn ut:

a) (x4)3(x^4)^3
b) (2a3)4(2a^3)^4
c) (y2x)3\displaystyle \left(\frac{y^2}{x}\right)^3

Løsning:

a) (x4)3=x4⋅3=x12(x^4)^3 = x^{4 \cdot 3} = x^{12}

b) (2a3)4=24⋅(a3)4=16a3⋅4=16a12(2a^3)^4 = 2^4 \cdot (a^3)^4 = 16a^{3 \cdot 4} = 16a^{12}

c) (y2x)3=(y2)3x3=y2⋅3x3=y6x3\displaystyle \left(\frac{y^2}{x}\right)^3 = \frac{(y^2)^3}{x^3} = \frac{y^{2 \cdot 3}}{x^3} = \frac{y^6}{x^3}

📝Oppgave 8

Regn ut

a
(x2)3(x^2)^3
b
(5a2)2(5a^2)^2
c
(a43)3\displaystyle \left(\frac{a^4}{3}\right)^3
d
(ab2)3(ab^2)^3
e
(2x3y2)3\displaystyle \left(\frac{2x^3}{y^2}\right)^3
f
x3⋅(x2y2)3\displaystyle x^3 \cdot \left(\frac{x^2}{y^2}\right)^3
g
(a−3b−2)4\displaystyle \left(\frac{a^{-3}}{b^{-2}}\right)^4
h
(2−1aa−2b2)2⋅(a2)−3\displaystyle \left(\frac{2^{-1}a}{a^{-2}b^2}\right)^2 \cdot (a^2)^{-3}
i
y3(4−2xx−2y2⋅2−3)3\displaystyle y^3 \left(\frac{4^{-2}x}{x^{-2}y^2 \cdot 2^{-3}}\right)^3
Løs oppgavenTren
🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig
Når vi har 0 som eksponent
a0=1, gitt at a≠0a^0 = 1, \text{ gitt at } a \neq 0

det vil si at alle tall (med unntak av 0) opphøyd i 0 vil bli 1.

✏️Eksempel 9

Regn ut:

a) 303^0
b) (−9000)0(-9000)^0
c) 2x02x^0 der x≠0x \neq 0

Løsning:

a) 30=13^0 = 1

b) (−9000)0=1(-9000)^0 = 1

c) 2x0=2⋅x0=2⋅1=22x^0 = 2 \cdot x^0 = 2 \cdot 1 = 2

📝Oppgave 9

Regn ut

a
909^0
b
x5x5\displaystyle \frac{x^5}{x^5}
c
3a03a^0 der a≠0a \neq 0
d
(−3x)0(-3x)^0 der x≠0x \neq 0
e
x−3⋅x2⋅2xx^{-3} \cdot x^2 \cdot 2x
f
x2x−2⋅y2x−4\displaystyle \frac{x^2}{x^{-2}} \cdot y^2 x^{-4}
Løs oppgavenTren
✏️Eksempel 10

Regn ut:

a) 3592\displaystyle \frac{3^5}{9^2}

b) 16⋅362124\displaystyle \frac{16 \cdot 36^2}{12^4}

Løsning:

a) 3592=35(32)2=3⋅3434=3\displaystyle \frac{3^5}{9^2} = \frac{3^5}{\color{blue}{(3^2)^2}} = \frac{3 \cdot \color{red}{3^4}}{\color{red}{3^4}} = 3

b) 16⋅362124=24⋅(62)2(2⋅6)4=24⋅64⋅124⋅64⋅1=1\displaystyle \frac{16 \cdot 36^2}{12^4} = \frac{\color{blue}{2^4 \cdot (6^2)^2}}{\color{blue}{(2 \cdot 6)^4}} = \frac{\color{red}{2^4 \cdot 6^4} \cdot 1}{\color{red}{2^4 \cdot 6^4} \cdot 1} = 1

📝Oppgave 10

Regn ut

a
2582\displaystyle \frac{2^5}{8^2}
b
55253\displaystyle \frac{5^5}{25^3}
c
(3x)23⋅27x\displaystyle \frac{(3x)^2}{3 \cdot 27x}
d
49⋅16142\displaystyle \frac{49 \cdot 16}{14^2}
e
142⋅6223⋅42\displaystyle \frac{14^2 \cdot 6^2}{2^3 \cdot 42}
f
92⋅(2y)3362y−2\displaystyle \frac{9^2 \cdot (2y)^3}{36^2 y^{-2}}
Løs oppgavenTren
🤖AI-tilbakemelding tilgjengelig

Røtter som potenser

Kvadratroten a\sqrt{a} (for a≥0a \geq 0) er det tallet som ikke er negativt, og som ganget med seg selv gir aa. Vi vil skrive a\sqrt{a} som en potens axa^x, og potensregelen (ax)2=a2x(a^x)^2 = a^{2x} skal fortsatt gjelde.

Skal axa^x være kvadratroten, må (ax)2=a=a1(a^x)^2 = a = a^1. Da er 2x=12x = 1, altså x=12\displaystyle x = \frac{1}{2}:

(a12)2=a12⋅2=a1=a\left(a^{\frac{1}{2}}\right)^2 = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a^1 = a

Tredjeroten a3\sqrt[3]{a} er tallet som opphøyd i tredje gir aa. På samme måte er (a13)3=a1=a\displaystyle \left(a^{\frac{1}{3}}\right)^3 = a^1 = a, så a3=a13\displaystyle \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}.

En brøk som eksponent kan deles opp med regelen for potens av potens:

amn=(a1n)m=(an)ma^{\frac{m}{n}} = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m

📜Røtter som potenser
For a>0a > 0 er

a=a12an=a1namn=(an)m\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \qquad \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \qquad a^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m

Alle potensreglene gjelder også for brøkeksponenter.

✏️Eksempel 11

Regn ut:

a) 2713\displaystyle 27^{\frac{1}{3}}

b) 823\displaystyle 8^{\frac{2}{3}}

c) 16−12\displaystyle 16^{-\frac{1}{2}}

d) 932\displaystyle 9^{\frac{3}{2}}

Løsning:

a) 2713=273=3\displaystyle 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3

b) 823=(83)2=22=4\displaystyle 8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4

c) 16−12=11612=116=14\displaystyle 16^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{16^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4}

d) 932=(9)3=33=27\displaystyle 9^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{9}\right)^3 = 3^3 = 27

Svar: a) 33, b) 44, c) 14\displaystyle \frac{1}{4}, d) 2727

✏️Eksempel 12

Skriv som én potens:

a) x⋅x2\sqrt{x} \cdot x^2

b) xx3\displaystyle \frac{x}{\sqrt[3]{x}}

c) a3⋅a4\sqrt{a^3} \cdot \sqrt[4]{a}

Løsning:

a) x⋅x2=x12⋅x2=x12+2=x52\displaystyle \sqrt{x} \cdot x^2 = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^2 = x^{\frac{1}{2} + 2} = x^{\frac{5}{2}}

b) xx3=x1x13=x1−13=x23\displaystyle \frac{x}{\sqrt[3]{x}} = \frac{x^1}{x^{\frac{1}{3}}} = x^{1 - \frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}}

c) a3⋅a4=a32⋅a14=a64+14=a74\displaystyle \sqrt{a^3} \cdot \sqrt[4]{a} = a^{\frac{3}{2}} \cdot a^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{6}{4} + \frac{1}{4}} = a^{\frac{7}{4}}

Svar: a) x52\displaystyle x^{\frac{5}{2}}, b) x23\displaystyle x^{\frac{2}{3}}, c) a74\displaystyle a^{\frac{7}{4}}

📝Oppgave 11

Regn ut

a
2512\displaystyle 25^{\frac{1}{2}}
b
813\displaystyle 8^{\frac{1}{3}}
c
8114\displaystyle 81^{\frac{1}{4}}
d
432\displaystyle 4^{\frac{3}{2}}
e
2723\displaystyle 27^{\frac{2}{3}}
f
32−15\displaystyle 32^{-\frac{1}{5}}
Løs oppgavenTren
📝Oppgave 12

Skriv som én potens av xx

a
x⋅x\sqrt{x} \cdot x
b
x2x\displaystyle \frac{x^2}{\sqrt{x}}
c
x3⋅x23\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x^2}
d
(x)6\left(\sqrt{x}\right)^6
e
x⋅x3x\displaystyle \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x}}{x}
f
xx\sqrt{x \sqrt{x}}
Løs oppgavenTren

Regning med kvadratrøtter

Med a=a12\displaystyle \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} gir regelen for potens av produkt en regel for kvadratrøtter (a,b≥0a, b \geq 0):

a⋅b=a12⋅b12=(a⋅b)12=a⋅b\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}} = (a \cdot b)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a \cdot b}

Vi bruker regelen til å forenkle en kvadratrot: vi skriver tallet under rottegnet som et kvadrattall ganger et annet tall, for eksempel 12=4⋅3=4⋅3=23\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}.

Røtter med samme tall under rottegnet er like ledd: 52+22=725\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 7\sqrt{2}, på samme måte som 5x+2x=7x5x + 2x = 7x.

📜Regler for kvadratrøtter
For a≥0a \geq 0 og b>0b > 0 er

a⋅b=a⋅bab=abb⋅b=b\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \qquad \sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = b

✏️Eksempel 13

Skriv så enkelt som mulig:

a) 12\sqrt{12}

b) 50+8\sqrt{50} + \sqrt{8}

c) 3⋅6\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}

d) 2(8−2)\sqrt{2}\left(\sqrt{8} - \sqrt{2}\right)

Løsning:

a) 12=4⋅3=4⋅3=23\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}

b) 50+8=25⋅2+4⋅2=52+22=72\sqrt{50} + \sqrt{8} = \sqrt{25 \cdot 2} + \sqrt{4 \cdot 2} = 5\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 7\sqrt{2}

c) 3⋅6=18=9⋅2=32\sqrt{3} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}

d) 2(8−2)=16−2⋅2=4−2=2\sqrt{2}\left(\sqrt{8} - \sqrt{2}\right) = \sqrt{16} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4 - 2 = 2

Svar: a) 232\sqrt{3}, b) 727\sqrt{2}, c) 323\sqrt{2}, d) 22

📝Oppgave 13

Skriv så enkelt som mulig

a
18\sqrt{18}
b
75\sqrt{75}
c
20+45\sqrt{20} + \sqrt{45}
d
2⋅10\sqrt{2} \cdot \sqrt{10}
e
48−27\sqrt{48} - \sqrt{27}
f
5(20+5)\sqrt{5}\left(\sqrt{20} + \sqrt{5}\right)
Løs oppgavenTren

Rasjonalisering av nevneren

Et svar skrives helst uten rot i nevneren. Vi utvider brøken med roten som står i nevneren. Fordi b⋅b=b\sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = b, forsvinner roten fra nevneren:

ab=a⋅bb⋅b=abb\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}

Dette kalles å rasjonalisere nevneren. Brøken har samme verdi som før, fordi vi ganger både teller og nevner med det samme tallet.

✏️Eksempel 14

Skriv uten rot i nevneren:

a) 12\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}

b) 35\displaystyle \frac{3}{\sqrt{5}}

c) 63\displaystyle \frac{6}{\sqrt{3}}

d) 3+13\displaystyle \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}

Løsning:

a) 12=1⋅22⋅2=22\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

b) 35=355⋅5=355\displaystyle \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}

c) 63=633=23\displaystyle \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}

d) 3+13=(3+1)33⋅3=3+33=1+33\displaystyle \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}} = \frac{\left(\sqrt{3} + 1\right)\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}

Svar: a) 22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}, b) 355\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{5}, c) 232\sqrt{3}, d) 1+33\displaystyle 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}

📝Oppgave 14

Skriv uten rot i nevneren, så enkelt som mulig

a
13\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}
b
42\displaystyle \frac{4}{\sqrt{2}}
c
105\displaystyle \frac{10}{\sqrt{5}}
d
26\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}
e
2+22\displaystyle \frac{\sqrt{2} + 2}{\sqrt{2}}
f
323\displaystyle \frac{3}{2\sqrt{3}}
Løs oppgavenTren
📜Oppsummering: Potensregler og rotregler
RegelFormel
Definisjonxn=x⋅x⋅…⋅xx^n = x \cdot x \cdot \ldots \cdot x (nn faktorer)
Multiplikasjonxa⋅xb=xa+bx^a \cdot x^b = x^{a+b}
Divisjonxaxb=xa−b\displaystyle \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}
Negativ eksponentx−n=1xn\displaystyle x^{-n} = \frac{1}{x^n}
Potens av produkt(a⋅b)n=an⋅bn(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n
Potens av brøk(ab)n=anbn\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}
Potens av potens(xa)b=xa⋅b(x^a)^b = x^{a \cdot b}
Null som eksponenta0=1a^0 = 1 (for a≠0a \neq 0)
Rot som potensan=a1n\displaystyle \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}, amn=(an)m\displaystyle a^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m
Kvadratrot av produkta⋅b=a⋅b\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}
Rasjonaliseringab=abb\displaystyle \frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 10 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.