1.3 Algebra | Matematikk 1T

Lær om bokstavregning, parentesregning og multiplikasjon av parenteser.

60 min

15 oppgaver

BokstavregningParentesregningDistributiv lovMultiplikasjon av parenteser

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 15 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.2Potenser med heltallseksponenter

Brukes videre i

1.4Brøkregning 2.5Rasjonale likninger

Bokstavregning

I algebra bruker vi bokstaver som representerer tall. Når vi regner med bokstaver, kan vi bare legge sammen eller trekke fra like ledd - det vil si ledd som inneholder de samme bokstavene med de samme eksponentene.

✏️Eksempel 1

Regn ut:

a) $3a + 5a + a$
b) $3a + 7a - 5b$
c) $2x^2 - 5x + 3x + 4x^2 + 2$

Løsning:

a) $3a + 5a + a = {\color{blue}8a + 1a} = 9a$

b) $3a + 7a - 5b = 10a - 5b$

c) $2x^2 - 5x + 3x + 4x^2 + 2 = {\color{blue}2x^2 + 4x^2 - 5x + 3x + 2} = 6x^2 - 2x + 2$

📝Oppgave 1

Regn ut

5x + 2x + x

7x + 8x - 2y

27x + 9y - 12x

9x^2 + 7x^2 + 3x

5x^2 + 7x + 9 - 2x^2

9x^3 + 8x - 2x^3 + 5

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 2

Regn ut:

a) $2xy + 3yx$
b) $2xy + 5yx + 3xz$
c) $3x^2y + 5xy^2 - 4yx^2$

Løsning:

a) $2xy + 3{\color{blue}yx} = 2xy + 3{\color{blue}xy} = 5xy$

b) $2xy + 5{\color{blue}yx} + 3xz = 2xy + 5{\color{blue}xy} + 3xz = 7xy + 3xz$

c) $3x^2y + 5xy^2 - 4{\color{blue}yx^2} = 3x^2y - 4{\color{blue}x^2y} + 5xy^2 = -x^2y + 5xy^2$

NB: Alfabetisk rekkefølge

Vi setter faktorene i alfabetisk rekkefølge:

$yx = y \cdot x = x \cdot y = xy$

📝Oppgave 2

Regn ut

3xz + 7zx

7xy + 8xy - 2y^2

2xz^2 + 9xz^2 - 12xz

Ab - 7Ab + 3bA

x^2y + 7x - 2x^2y

x^2 + y^2 - 2xy^2 + 3x^2

Løs oppgaven Tren

Parentesregning

Når vi multipliserer med parenteser, bruker vi distributiv lov.

📜Multiplikasjon med parenteser

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

$a \cdot (b + c + d) = a \cdot b + a \cdot c + a \cdot d$

✏️Eksempel 3

Regn ut:

a) $2(x + 4)$
b) $-3(2x - 2)$
c) $x(x^2 - 3y + 2)$

Løsning:

a) $2(x + 4) = {\color{blue}2 \cdot (x + 4) = 2 \cdot x + 2 \cdot 4} = 2x + 8$

b) $-3(2x - 2) = {\color{blue}-3 \cdot 2x - (-3) \cdot 2 = -6x - (-6)} = -6x + 6$

c) $x(x^2 - 3y + 2) = {\color{blue}x \cdot x^2 - x \cdot 3y + x \cdot 2} = x^3 - 3xy + 2x$

Potensregelen:

$x \cdot x^2 = x^1 \cdot x^2 = x^{1+2} = x^3$

Generelt: $x^n \cdot x^m = x^{n+m}$

📝Oppgave 3

Regn ut

2(x - 3)

-4(-y + 3)

x(x - 3) + x

-2(x^2 - 3x + 2) - x^2

-2 - 3(x^2 - 3) - 2x

-y(2y^3 + x)

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 4

Regn ut:

a) $2a + (2a - 3b)$
b) $3a - (5b - 4a)$
c) $-(-3x + 2) + 8x$

Løsning:

a) $2a + (2a - 3b) = 2a + 2a - 3b = 4a - 3b$

b) $3a - {\color{blue}1}(5b - 4a) = 3a - 5b + 4a = 7a - 5b$

c) $\color{blue}{-1}(-3x + 2) + 8x = 3x - 2 + 8x = 11x - 2$

📝Oppgave 4

Regn ut

2x + (5x - 2)

4y - (2y + 3)

-(2x - 3) + 2x

(2x^2 + 3) - (4x^2 + 5)

-10 + (x^2 - 3) - 2

-xy - (-3xy + 1)

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 5

Regn ut:

a) $xy(x^2 + y + 2)$
b) $a^2b(a^2 - 2b)$

Løsning:

a) $xy(x^2 + y + 2) = {\color{blue}xy \cdot x^2 + xy \cdot y + xy \cdot 2} = x^3y + xy^2 + 2xy$

b) $a^2b(a^2 - 2b) = {\color{blue}a^2b \cdot a^2 - a^2b \cdot 2b} = a^4b - 2a^2b^2$

📝Oppgave 5

Regn ut

2x(x - y)

-x(-y + 3)

xy(x - 2)

-a(b^2 - a + 4) - a^2

-3y(x^2 - 3x) - 2yx

-u(v^3 + u)

Løs oppgaven Tren

Multiplikasjon av parenteser

Når vi multipliserer to parenteser, må hvert ledd i den første parentesen multipliseres med hvert ledd i den andre.

📜Multiplikasjon av to parenteser

(a + b) \cdot (c + d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d

✏️Eksempel 6

Regn ut:

a) $(x + 2)(x + 3)$
b) $-2(x + 3)(x - 5)$
c) $(2x - 3)(3y - 5)$
d) $(2x + y)(3x - 2y)$

Løsning:

a) $({\color{red}x} + 2)({\color{green}x} + 3) = {\color{red}x} \cdot {\color{green}x} + {\color{red}x} \cdot 3 + 2 \cdot {\color{green}x} + 2 \cdot 3 = x^2 + 3x + 2x + 6$
$= x^2 + 5x + 6$

b) $-2(x + 3)(x - 5) = {\color{blue}-2(x \cdot x + x \cdot (-5) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-5))}$
$= -2(x^2 - 5x + 3x - 15) = -2(x^2 - 2x - 15)$
$= -2x^2 + 4x + 30$

c) $(2x - 3)(3y - 5) = {\color{blue}2x \cdot 3y + 2x \cdot (-5) - 3 \cdot 3y - 3 \cdot (-5)}$
$= 6xy - 10x - 9y + 15$

d) $(2x + y)(3x - 2y) = {\color{blue}2x \cdot 3x + 2x \cdot (-2y) + y \cdot 3x + y \cdot (-2y)}$
$= 6x^2 - 4xy + 3xy - 2y^2 = 6x^2 - xy - 2y^2$

📝Oppgave 6

Regn ut

(x + 3)(x + 4)

(x + 3)(x - 2)

(2x + 4)(x - y)

-2(2x - 2)(x - 5)

-(x + y)(x - 3)

3(2x + 3y)(2y + x)

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 7

Regn ut:

a) $x^2 - (x + 2)(x + 4)$
b) $x(x + 3)(x - 5)$
c) $(x - 2)(x - 3)(2x - 5)$

Løsning:

a) $x^2 - (x + 2)(x + 4) = x^2 - (x^2 + 4x + 2x + 8)$
$= x^2 - x^2 - 4x - 2x - 8 = -6x - 8$

b) $x(x + 3)(x - 5) = (x^2 + 3x)(x - 5) = x^3 - 5x^2 + 3x^2 - 15x$
$= x^3 - 2x^2 - 15x$

c) $(x - 2)(x - 3)(2x - 5) = (x - 2)(2x^2 - 5x - 6x + 15)$
$= (x - 2)(2x^2 - 11x + 15) = 2x^3 - 11x^2 + 15x - 4x^2 + 22x - 30$
$= 2x^3 - 15x^2 + 37x - 30$

📝Oppgave 7

Regn ut

x(x + 3)(x + 4)

x^2 - (x + 4)(x - 1)

(x + 4)(x - 2)(x - 5)

(x + 3)(x - 2)(-5)

-x^3 - (x + 5)(x - 3)x

x^3 - 2x - (x - 2)(x + 3)(2 + x)

Løs oppgaven Tren

Tallfølger og figurtall

En tallfølge er tall som står i en bestemt rekkefølge, for eksempel $4, 7, 10, 13, \ldots$ Tallene kalles ledd. Ledd nummer $n$ skriver vi $a_n$ , så $a_1 = 4$ og $a_3 = 10$ .

Mange tallfølger kommer fra figurmønstre: figur nummer $n$ består av $a_n$ prikker, fliser eller fyrstikker. Antallet i en slik figur kalles et figurtall.

Vi vil finne en eksplisitt formel: et uttrykk for $a_n$ som gir antallet i figur $n$ direkte, uten at vi må regne ut alle figurene før. Vi setter opp de første figurene i en tabell og ser på hvor mye antallet øker fra én figur til den neste.

Lineære mønstre

Øker antallet med det samme tallet $d$ fra hver figur til den neste, er mønsteret lineært. Figur $n$ har det figur 1 har, pluss $d$ for hver av de $n - 1$ økningene:

$a_n = a_1 + d(n - 1) = d \cdot n + (a_1 - d)$

📜Lineært mønster

Øker antallet med

d

fra figur til figur, er

$a_n = d \cdot n + b \qquad \text{der } b = a_1 - d$

✏️Eksempel 8

Figurene er laget av fyrstikker. Figur 1 er ett kvadrat, figur 2 er to kvadrater på rad, figur 3 er tre kvadrater på rad, og slik fortsetter mønsteret.

Tre figurer av fyrstikker: ett, to og tre kvadrater på rad.

a) Lag en tabell over antall fyrstikker i figur 1–5.
b) Finn en formel for antall fyrstikker $a_n$ i figur $n$ .
c) Hvor mange fyrstikker har figur 20?
d) Hvilken figur består av 100 fyrstikker?

Løsning:

$n$	1	2	3	4	5
$a_n$	4	7	10	13	16

b) Antallet øker med 3 hver gang:

d = 3

b = a_1 - d = 4 - 3 = 1

$a_n = 3n + 1$

Kontroll: $a_3 = 3 \cdot 3 + 1 = 10$ , som i tabellen.
Svar: $a_n = 3n + 1$

$a_{20} = 3 \cdot 20 + 1 = 61$

Svar: Figur 20 har 61 fyrstikker.
d)

$3n + 1 = 100$

$3n = 99$
$n = 33$
Svar: Figur 33 består av 100 fyrstikker.

📝Oppgave 8

Tallfølgene er lineære. Finn en formel for $a_n$ og regn ut $a_{10}$ .

5, 9, 13, 17, \ldots

7, 10, 13, 16, \ldots

20, 17, 14, 11, \ldots

2, 7, 12, 17, \ldots

Hvilket nummer har leddet 97?

Løs oppgaven Tren

Kvadrattall, rektangeltall og trekanttall

Kvadrattall: Figur $n$ er et kvadrat med $n$ prikker langs hver side. Det gir $1, 4, 9, 16, \ldots$

$a_n = n \cdot n = n^2$

Rektangeltall: Figur $n$ er et rektangel med $n$ rader og $n + 1$ prikker i hver rad. Det gir $2, 6, 12, 20, \ldots$

$a_n = n(n + 1)$

Trekanttall: Figur $n$ har 1 prikk i øverste rad, 2 i neste rad og $n$ i nederste rad. Det gir $1, 3, 6, 10, \ldots$ , og antallet er $1 + 2 + 3 + \ldots + n$ .

To like trekanter kan legges sammen til et rektangel med $n$ rader og $n + 1$ prikker i hver rad. Trekanten er derfor halve rektangeltallet:

$a_n = \frac{n(n + 1)}{2}$

✏️Eksempel 9

Trekanttallene er $1, 3, 6, 10, \ldots$

a) Hvor mange prikker har figur 10?
b) Hvilken figur har 120 prikker?

Løsning:

a)
$a_{10} = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55$

Svar: Figur 10 har 55 prikker.

b)
$\frac{n(n + 1)}{2} = 120$
$n(n + 1) = 240$
$15 \cdot 16 = 240$
$n = 15$

Alternativ med CAS: Løs(n(n+1)/2=120) gir $n = -16$ eller $n = 15$ . Figurnummeret er positivt.

Svar: Figur 15 har 120 prikker.

📝Oppgave 9

Figurtall

Hvor mange prikker har kvadrattall nummer 12?

Hvor mange prikker har trekanttall nummer 20?

Hvilken figur i rektangeltallene har 110 prikker?

Hvilken figur i trekanttallene har 78 prikker?

Løs oppgaven Tren

Når økningen ikke er konstant

Ofte øker økningen med 2 for hver figur, for eksempel er økningene $5, 7, 9, 11, \ldots$ Da inneholder formelen leddet $n^2$ , fordi kvadrattallene $1, 4, 9, 16, \ldots$ vokser på samme måte: økningene er $3, 5, 7, \ldots$

Vi trekker $n^2$ fra hvert ledd. Det som blir igjen, er et enklere mønster (konstant eller lineært), og det finner vi som før.

Øker økningen med $4$ for hver figur, trekker vi fra $2n^2$ . Øker den med $6$ , trekker vi fra $3n^2$ . Generelt: øker økningen med $2a$ , trekker vi fra $a \cdot n^2$ .

✏️Eksempel 10

Et flismønster består av rektangler. De fem første figurene har $3, 8, 15, 24$ og $35$ fliser.

Tre rektangler av fliser med 3, 8 og 15 fliser.

a) Finn en formel for antall fliser $a_n$ i figur $n$ .
b) Hvor mange fliser har figur 10?
c) Hvilken figur har 168 fliser?

Løsning:

a) Økningene er $5, 7, 9, 11$ . De øker med 2, så formelen har leddet $n^2$ .

$n$	1	2	3	4	5
$a_n$	3	8	15	24	35
$n^2$	1	4	9	16	25
$a_n - n^2$	2	4	6	8	10

a_n - n^2 = 2n

a_n = n^2 + 2n = n(n + 2)

Kontroll:

a_4 = 4 \cdot 6 = 24

, som i tabellen.
Svar:

a_n = n^2 + 2n

$a_{10} = 10 \cdot 12 = 120$

Svar: Figur 10 har 120 fliser.

$n(n + 2) = 168$
$12 \cdot 14 = 168$

$n = 12$

Alternativ med CAS: Løs(n^2+2n=168) gir $n = -14$ eller $n = 12$ .
Svar: Figur 12 har 168 fliser.

📝Oppgave 10

Finn en formel for $a_n$ og regn ut $a_{10}$ .

5, 8, 13, 20, 29, \ldots

0, 3, 8, 15, 24, \ldots

4, 9, 16, 25, 36, \ldots

3, 5, 9, 15, 23, \ldots

Løs oppgaven Tren

Summen av mange figurer

Skal vi vite hvor mange fyrstikker, klosser eller kuler som trengs til alle de første figurene til sammen, legger vi sammen figurtallene. Det gjør vi med en tabell, i et regneark (kolonne for $n$ , kolonne for $a_n$ , SUMMER) eller med et program.

✏️Eksempel 11

Vi bruker fyrstikkmønsteret fra eksempel 8, der figur $n$ har $3n + 1$ fyrstikker.

a) Hvor mange fyrstikker trengs til de 10 første figurene til sammen?
b) Vi har 1200 fyrstikker og lager figur 1, figur 2, figur 3 og så videre, helt til det ikke er nok fyrstikker til neste figur. Hvor mange figurer blir det, og hvor mange fyrstikker blir igjen?

Løsning:

totalt = 0
for n in range(1, 11):
    totalt = totalt + 3*n + 1
print(totalt)

Utskrift: 175

Alternativ uten program: $4 + 7 + 10 + \ldots + 31$ . Første og siste ledd er $4 + 31 = 35$ , og det er 5 slike par: $5 \cdot 35 = 175$ .

Svar: De 10 første figurene trenger 175 fyrstikker.

igjen = 1200
n = 1
while igjen >= 3*n + 1:
    igjen = igjen - (3*n + 1)
    n = n + 1
print(n - 1, igjen)

Utskrift: 27 39

Svar: Det blir 27 figurer, og 39 fyrstikker blir igjen.

📝Oppgave 11

I et mønster har figur $n$ til sammen $2n + 1$ kuler.

Hvor mange kuler trengs til de 30 første figurene til sammen?

Vi har 500 kuler og lager figur 1, 2, 3 og så videre så lenge kulene rekker. Hvor mange figurer blir det, og hvor mange kuler blir igjen?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Et kvadrat med $n \cdot n$ prikker kan deles i vinkler (L-former) med $1, 3, 5, \ldots$ prikker.

Et kvadrat på 5 ganger 5 prikker delt i vinkler med 1, 3, 5, 7 og 9 prikker.

Regn ut $1 + 3 + 5 + 7 + 9$ .

Forklar med figuren at summen av de $n$ første oddetallene er $n^2$ .

Regn ut $1 + 3 + 5 + \ldots + 99$ .

Løs oppgaven Tren

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 8 oppgaver

Oppsummering

- Like ledd: Kun ledd med samme bokstav(er) og samme eksponent kan legges sammen: $3x + 5x = 8x$ , men $3x + 5y$ kan ikke forenkles
- Alfabetisk rekkefølge: Vi skriver faktorene alfabetisk: $yx = xy$ og $ba = ab$
- Distributiv lov: $a(b + c) = ab + ac$ - vi ganger faktoren utenfor parentesen med hvert ledd inne i parentesen
- Minus foran parentes: $-(a - b) = -a + b$ - alle fortegn inne i parentesen endres
- Multiplikasjon av to parenteser: $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$ - hvert ledd i første parentes multipliseres med hvert ledd i andre parentes
- Potensregel: $x^n \cdot x^m = x^{n+m}$
- Tallfølger og figurtall: Lag tabell og se på økningen. Konstant økning $d$ gir $a_n = d \cdot n + b$ med $b = a_1 - d$
- Kjente figurtall: kvadrattall $n^2$ , rektangeltall $n(n + 1)$ , trekanttall $\displaystyle \frac{n(n + 1)}{2}$
- Økning som øker med 2: formelen har leddet $n^2$ ; trekk fra $n^2$ og finn resten

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.