3.5 Nullpunkter og fortegn | Matematikk 1T

Finn nullpunktene til andregradsfunksjoner og bestem fortegnet.

35 min

11 oppgaver

NullpunkterFortegnslinjeFaktorisert form

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.4Andregradsfunksjoner 2.3ABC-formelen

Brukes videre i

3.6Polynomfunksjoner

Nullpunktene til en funksjon er

x

-verdiene der

f(x) = 0

. For andregradsfunksjoner finner vi nullpunktene ved å løse andregradslikningen

ax^2 + bx + c = 0

I dette kapitlet lærer du:
- Å finne nullpunkter ved faktorisering
- Å bruke abc-formelen
- Å analysere fortegnet til en andregradsfunksjon

Faktorisering

Hvis vi kan faktorisere uttrykket, kan vi finne nullpunktene direkte.

Metode for $x^2 + bx + c$ : Finn to tall $p$ og $q$ der
- $p \cdot q = c$
- $p + q = b$

Da er $x^2 + bx + c = (x + p)(x + q)$ , og nullpunktene er $x = -p$ og $x = -q$ .

Er $a \neq 1$ , setter vi først $a$ utenfor parentes, eller vi bruker abc-formelen.

✏️Eksempel 1

Finn nullpunktene til $f(x) = x^2 - 5x + 6$ ved faktorisering.

Vi leter etter to tall som ganget gir 6 og addert gir

-5

$(-2) \cdot (-3) = 6$ og $(-2) + (-3) = -5$ ✓

$f(x) = (x - 2)(x - 3)$

Nullpunkter: $f(x) = 0$ når $(x-2)(x-3) = 0$

Svar: $x = 2$ og $x = 3$

📝Oppgave 1

Finn nullpunktene ved faktorisering:

f(x) = x^2 - 7x + 12

g(x) = x^2 + 2x - 15

h(x) = x^2 - 9

Løs oppgaven

📜Abc-formelen

Løsningene til

ax^2 + bx + c = 0

er:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Formelen utledes ved å fullføre kvadratet (se 2.4).

Diskriminanten $D = b^2 - 4ac$ bestemmer antall løsninger:
- $D > 0$ : To ulike nullpunkter
- $D = 0$ : Ett nullpunkt (dobbeltrot)
- $D < 0$ : Ingen nullpunkter

✏️Eksempel 2

Finn nullpunktene til $f(x) = 2x^2 + 4x - 6$ med abc-formelen.

a = 2

b = 4

c = -6

Diskriminanten:
$D = b^2 - 4ac = 16 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 16 + 48 = 64$

Nullpunktene:
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 2} = \frac{-4 \pm 8}{4}$

$\displaystyle x = \frac{-4 + 8}{4} = 1$ eller $\displaystyle x = \frac{-4 - 8}{4} = -3$

Svar: $x = 1$ og $x = -3$

📝Oppgave 2

Finn nullpunktene med abc-formelen:

f(x) = x^2 - 4x + 1

g(x) = 2x^2 - 6x + 3

Løs oppgaven

Faktorisert form

x_1

✏️Eksempel 3

Skriv $f(x) = 2x^2 - 8x + 6$ på faktorisert form.

a = 2

b = -8

c = 6

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{4} = \frac{8 \pm 4}{4}$

$x = 1 \quad \vee \quad x = 3$

$f(x) = 2(x - 1)(x - 3)$

Svar: $f(x) = 2(x - 1)(x - 3)$

Kontroll: $2(x-1)(x-3) = 2(x^2 - 4x + 3) = 2x^2 - 8x + 6$ ✓

📝Oppgave 3

Skriv funksjonene på faktorisert form:

f(x) = x^2 - 6x + 8

g(x) = -x^2 + 4x + 5

Løs oppgaven

Fortegnsanalyse

Når vi kjenner nullpunktene, kan vi bestemme fortegnet til $f(x)$ i ulike intervaller.

Metode:
1. Finn nullpunktene
2. Del tallinja i intervaller ved nullpunktene
3. Test en $x$ -verdi i hvert intervall
4. Tegn fortegnslinje

✏️Eksempel 4

Lag fortegnslinje for $f(x) = x^2 - 4$ .

Nullpunkter:

x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2

Intervaller: $\langle \leftarrow, -2 \rangle$ , $\langle -2, 2 \rangle$ , $\langle 2, \rightarrow \rangle$

Test:
- $x = -3$ : $f(-3) = 9 - 4 = 5 > 0$
- $x = 0$ : $f(0) = 0 - 4 = -4 < 0$
- $x = 3$ : $f(3) = 9 - 4 = 5 > 0$

Fortegnslinje:

$x$	$f(x)$
$x < -2$	$+$
$x = -2$	$0$
$-2 < x < 2$	$-$
$x = 2$	$0$
$x > 2$	$+$

Siden

a = 1 > 0

, er

f(x) > 0

utenfor nullpunktene og

f(x) < 0

mellom dem.

📝Oppgave 4

Lag fortegnslinje for funksjonene:

f(x) = x^2 - 9

g(x) = -x^2 + 4x - 3

Huskeregel for fortegn

For $f(x) = ax^2 + bx + c$ med to nullpunkter $x_1 < x_2$ :

- Hvis $a > 0$ : $f(x) > 0$ når $x < x_1$ eller $x > x_2$
- Hvis $a < 0$ : $f(x) > 0$ når $x_1 < x < x_2$

Parabelen er over x-aksen der $f(x) > 0$

✏️Eksempel 5

Løs ulikheten $x^2 - 3x - 10 > 0$ .

x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2)

Nullpunkter: $x = -2$ og $x = 5$

$x$	$-2$	$5$
$x + 2$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x - 5$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Svar:

x < -2

eller

x > 5

, altså

x \in \langle \leftarrow, -2 \rangle \cup \langle 5, \rightarrow \rangle

📝Oppgave 5

Løs ulikhetene:

x^2 - 4x - 5 > 0

x^2 - 6x + 8 \leq 0

-x^2 + 2x + 3 > 0

📝Oppgave 6

For hvilke verdier av $k$ har $f(x) = x^2 - 4x + k$ to ulike nullpunkter?

Oppsummering

- Nullpunkter: $x$ -verdiene der $f(x) = 0$ . Finn ved å løse andregradslikningen $ax^2 + bx + c = 0$
- Faktoriseringsmetoden: Finn to tall $p$ og $q$ som ganget gir $c$ og addert gir $b$ (når $a = 1$ ), og skriv $(x + p)(x + q)$
- abc-formelen: $\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ gir alltid nullpunktene (hvis de eksisterer)
- Diskriminanten: $D = b^2 - 4ac$ bestemmer antall nullpunkter: $D > 0$ (to), $D = 0$ (ett), $D < 0$ (ingen)
- Faktorisert form: $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ der $x_1$ og $x_2$ er nullpunktene
- Fortegnsanalyse: Bestem hvor $f(x)$ er positiv eller negativ ved å teste verdier mellom og utenfor nullpunktene
- Løse ulikheter: Bruk fortegnslinje for å finne hvor $f(x) > 0$ eller $f(x) < 0$

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.