3.4 Andregradsfunksjoner | Matematikk 1T

Parabeler, toppunkt/bunnpunkt og symmetrilinje.

40 min

11 oppgaver

ParabelToppunktBunnpunktSymmetrilinje

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.3Hva er en funksjon?

Brukes videre i

3.5Nullpunkter og fortegn

En andregradsfunksjon er en funksjon på formen $f(x) = ax^2 + bx + c$ der $a \neq 0$ .

Grafen til en andregradsfunksjon kalles en parabel.

I dette kapitlet lærer du:
- Hvordan parabeler ser ut
- Å finne toppunkt eller bunnpunkt
- Å finne symmetrilinje
- Å tegne parabeler

Andregradsfunksjon

f(x) = ax^2 + bx + c

Parabelens form

Fortegnet til $a$ bestemmer hvilken vei parabelen vender den hule sida:

- $a > 0$ : Parabelen vender den hule sida opp og har et bunnpunkt.
- $a < 0$ : Parabelen vender den hule sida ned og har et toppunkt.

Jo større $|a|$ er, desto smalere er parabelen.
Jo mindre $|a|$ er, desto bredere er parabelen.

✏️Eksempel 1

Beskriv grafen til $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$ .

Vi har $a = 2$ , $b = -4$ og $c = 1$ .

Form: Siden $a = 2 > 0$ , åpner parabelen oppover (har bunnpunkt).

Skjæring med y-aksen: $f(0) = 1$ , så grafen skjærer $y$ -aksen i $(0, 1)$ .

Parabelen er relativt smal fordi $|a| = 2 > 1$ .

Svar: Parabelen har bunnpunkt, skjærer $y$ -aksen i $(0, 1)$ og er smalere enn grafen til $y = x^2$ .

📝Oppgave 1

Avgjør om funksjonene har toppunkt eller bunnpunkt, og om parabelen er smal eller bred:

f(x) = x^2 + 2x - 3

g(x) = -3x^2 + 6x

\displaystyle h(x) = -\frac{1}{2}x^2 - 4x + 5

Hvor ligger symmetrilinja?

Parabelen er symmetrisk om en loddrett linje. To punkter på grafen med samme $y$ -verdi ligger like langt fra symmetrilinja, ett på hver side. Symmetrilinja ligger derfor midt mellom dem.

Har parabelen to nullpunkter $x_1$ og $x_2$ , er symmetrilinja

$x = \frac{x_1 + x_2}{2}$

$f(x) = x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$ har nullpunktene $1$ og $3$ , så symmetrilinja er $\displaystyle x = \frac{1 + 3}{2} = 2$ .

For en generell $f(x) = ax^2 + bx + c$ bruker vi de to punktene der $f(x) = c$ :

$ax^2 + bx + c = c$

$ax^2 + bx = 0$

$x(ax + b) = 0$

$x = 0 \quad \vee \quad x = -\frac{b}{a}$

Symmetrilinja ligger midt mellom $0$ og $\displaystyle -\frac{b}{a}$ :

$x = \frac{0 + \left(-\frac{b}{a}\right)}{2} = -\frac{b}{2a}$

📜Symmetrilinje og toppunkt/bunnpunkt

For andregradsfunksjonen $f(x) = ax^2 + bx + c$ gjelder:

Symmetrilinje: $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$

Toppunkt/bunnpunkt: $\displaystyle \left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$

Parabelen er symmetrisk om den vertikale linjen $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$ .

✏️Eksempel 2

Finn symmetrilinje og bunnpunkt for $f(x) = x^2 - 6x + 5$ .

Vi har

a = 1

b = -6

c = 5

Symmetrilinje:
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

Bunnpunktets x-koordinat: $x = 3$

Bunnpunktets y-koordinat:
$f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$

Bunnpunkt: $(3, -4)$

Siden $a = 1 > 0$ , har funksjonen bunnpunkt (ikke toppunkt).

Svar: Symmetrilinje $x = 3$ og bunnpunkt $(3, -4)$

📝Oppgave 2

Finn symmetrilinje og bunnpunkt for funksjonene:

f(x) = x^2 - 8x + 12

g(x) = x^2 + 4x + 1

✏️Eksempel 3

Finn toppunkt for $f(x) = -2x^2 + 8x - 3$ .

Vi har

a = -2

b = 8

c = -3

Siden $a = -2 < 0$ , har funksjonen et toppunkt.

Symmetrilinje:
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$

Toppunktets y-koordinat:
$f(2) = -2 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 - 3 = -8 + 16 - 3 = 5$

Svar: Toppunkt $(2, 5)$

📝Oppgave 3

Finn toppunkt eller bunnpunkt for funksjonene:

f(x) = -x^2 + 2x + 8

g(x) = 2x^2 - 8x + 5

h(x) = -3x^2 - 6x + 1

Fullstendig kvadrats metode

Vi kan skrive $f(x) = ax^2 + bx + c$ på toppunktform:

$f(x) = a(x - h)^2 + k$

der $(h, k)$ er toppunktet/bunnpunktet.

For å finne denne formen bruker vi fullstendig kvadrats metode.

✏️Eksempel 4

Skriv $f(x) = x^2 - 4x + 7$ på toppunktform.

f(x) = x^2 - 4x + 7

Halvparten av koeffisienten foran $x$ er $-2$ , og $(-2)^2 = 4$ :

$f(x) = x^2 - 4x + 4 - 4 + 7$

$f(x) = (x - 2)^2 + 3$

Svar: $f(x) = (x - 2)^2 + 3$ . Bunnpunktet er $(2, 3)$ .

📝Oppgave 4

Skriv funksjonene på toppunktform $f(x) = a(x - h)^2 + k$ :

f(x) = x^2 + 6x + 5

g(x) = x^2 - 2x - 8

Løs oppgaven

✏️Eksempel 5: Finn uttrykket fra grafen

Figuren viser grafen til andregradsfunksjonen $f$ . Les av nullpunktene og toppunktet, og bestem $f(x)$ .

Parabel som vender den hule sida ned, med nullpunkter i (−1, 0) og (3, 0), toppunkt i (1, 4) og skjæring med y-aksen i (0, 3).

a) Bruk nullpunktene.

b) Bruk toppunktet, og kontroller at du får samme funksjon.

Fra grafen: nullpunkter

x = -1

x = 3

, toppunkt

(1, 4)

$f(x) = a(x + 1)(x - 3)$

$f(1) = a \cdot 2 \cdot (-2) = -4a$

$-4a = 4$

$a = -1$

$f(x) = -(x + 1)(x - 3) = -x^2 + 2x + 3$

Svar: $f(x) = -x^2 + 2x + 3$

$f(x) = a(x - 1)^2 + 4$

$f(3) = a \cdot 2^2 + 4 = 4a + 4$

$4a + 4 = 0$

$a = -1$

$f(x) = -(x - 1)^2 + 4 = -x^2 + 2x + 3$

Svar: $f(x) = -(x - 1)^2 + 4$ , som er samme funksjon som i a).

Kontroll: $f(0) = 3$ , og grafen skjærer $y$ -aksen i $(0, 3)$ .

📝Oppgave 5

Figuren viser grafen til andregradsfunksjonen $g$ .

Parabel som vender den hule sida opp, med nullpunkter i (1, 0) og (5, 0) og skjæring med y-aksen i (0, 5).

Les av nullpunktene og skjæringspunktet med $y$ -aksen, og bestem $g(x)$ .

Finn bunnpunktet, og skriv $g(x)$ på toppunktform.

En annen parabel har toppunkt $(-2, 3)$ og går gjennom punktet $(0, 1)$ . Bestem funksjonsuttrykket.

Løs oppgaven

Å tegne en parabel

1. Finn fortegnet til $a$ (åpner opp eller ned?)
2. Finn skjæring med $y$ -aksen: $(0, c)$
3. Finn symmetrilinje: $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$
4. Finn toppunkt/bunnpunkt
5. Finn eventuelle nullpunkter (skjæring med $x$ -aksen)
6. Tegn en jevn kurve gjennom punktene

✏️Eksempel 6

En ball kastes opp fra bakken. Høyden etter $t$ sekunder er $h(t) = -5t^2 + 20t$ meter. Finn når ballen er på sitt høyeste og hvor høyt den når.

Vi har

a = -5

b = 20

c = 0

Siden $a < 0$ , har funksjonen et toppunkt (maksimum).

Tid for maksimal høyde:
$t = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} = -\frac{20}{-10} = 2$

Maksimal høyde:
$h(2) = -5 \cdot 2^2 + 20 \cdot 2 = -20 + 40 = 20$

Svar: Ballen når sin maksimale høyde på 20 meter etter 2 sekunder.

📝Oppgave 6

En rakett skytes opp. Høyden etter $t$ sekunder er $h(t) = -4t^2 + 32t + 5$ meter. Finn når raketten er på sitt høyeste og hvor høyt den når.

📝Oppgave 7

Finn den største verdien av $f(x) = -2x^2 + 12x - 10$ og ved hvilken $x$ -verdi den oppnås.

Oppsummering

- Andregradsfunksjon: $f(x) = ax^2 + bx + c$ der $a \neq 0$ . Grafen er en parabel
- Parabelens form: $a > 0$ gir bunnpunkt (åpner oppover), $a < 0$ gir toppunkt (åpner nedover). Jo større $|a|$ , desto smalere parabel
- Symmetrilinje: $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$ - den vertikale linjen som deler parabelen i to like deler
- Toppunkt/bunnpunkt: $\displaystyle \left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$ - det høyeste (toppunkt) eller laveste (bunnpunkt) punktet på grafen
- Toppunktform: $f(x) = a(x - h)^2 + k$ der $(h, k)$ er toppunktet/bunnpunktet
- Fra graf til uttrykk: nullpunkter gir $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ , toppunkt gir $f(x) = a(x - h)^2 + k$ ; et annet punkt bestemmer $a$
- Fullstendig kvadrats metode: Teknikk for å skrive funksjonen på toppunktform
- Skjæring med $y$ -aksen: Funksjonen skjærer $y$ -aksen i $(0, c)$

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.