3.3 Hva er en funksjon?

Matematikk som beskriver virkeligheten

Kari tjener 200 kroner for hver time hun jobber. Hvis hun jobber $x$ timer, tjener hun $200 \cdot x$ kroner. Denne lille formelen er et eksempel på en matematisk modell – et uttrykk som fanger en sammenheng fra virkeligheten ved hjelp av tall og bokstaver.

Mandag jobber Kari 6 timer. Vi erstatter $x$ med 6 og får $200 \cdot 6 = 1200$ kroner. På tirsdag jobber hun kanskje 4 timer: $200 \cdot 4 = 800$ kroner. Modellen fungerer uansett hva vi setter inn.

Det å erstatte en ukjent med et bestemt tall kalles å sette inn en verdi. Ta for eksempel uttrykket $x^2 + 4x$. Setter vi inn $x = 3$, får vi $3^2 + 4 \cdot 3 = 9 + 12 = 21$. Setter vi inn $x = -2$, må vi være ekstra forsiktige med fortegnene: $(-2)^2 + 4 \cdot (-2) = 4 - 8 = -4$. Parentesene rundt $-2$ er viktige – de sikrer at vi kvadrerer hele tallet, ikke bare 2.

I dette kapittelet skal vi gå fra enkle modeller til det kraftige begrepet funksjon, og lære å jobbe med notasjonen $f(x)$, verditabeller, graftegning, nullpunkter og skjæringspunkter.

Bygge egne modeller

Noen ganger får du en ferdig formel, men andre ganger må du bygge den selv fra en beskrivelse. La oss se på Axel som jogger i jevne 8 kilometer per time. Etter 2 timer har han kommet $8 \cdot 2 = 16$ km, og etter 5 timer $8 \cdot 5 = 40$ km. Mønsteret er tydelig: distansen er alltid $8 \cdot x$ km, der $x$ er antall timer. Vi har laget en matematisk modell: $8x$.

Et mer interessant eksempel er Per, som har 20 000 kroner på konto og sparer 1 000 kroner per arbeidsdag. Etter 15 dager har han $1000 \cdot 15 + 20000 = 35000$ kr. Etter 20 dager: $1000 \cdot 20 + 20000 = 40000$ kr. Modellen blir $1000x + 20000$, der $x$ er antall arbeidsdager.

Legg merke til at Pers modell har to deler: en del som vokser ($1000x$) og en fast del ($20000$). Den faste delen er pengene han hadde fra før, og den voksende delen er det han tjener. De fleste modeller fra virkeligheten har en slik struktur – noe fast og noe som endrer seg.

Når du skal sette opp en modell, still deg spørsmålet: «Hva er det som endrer seg, og hva er fast?» Det som endrer seg avhenger av $x$, og det som er fast blir et konstantledd.

$f(x)$ – funksjonens språk

Vi har brukt uttrykk som $200x$ og $1000x + 20000$ for å beskrive sammenhenger. Nå skal vi gi disse uttrykkene et skikkelig navn ved hjelp av funksjonsnotasjon.

Tenk tilbake på Kari som tjener 200 kroner per time. Vi kan skrive inntekten hennes som en funksjon: $I(t) = 200t$. Her er $I$ navnet på funksjonen (for Inntekt), $t$ er variabelen (for tid), og $200t$ er selve regelen. Når Kari jobber 5 timer, skriver vi $I(5) = 200 \cdot 5 = 1000$ kroner. Når hun jobber 7 timer: $I(7) = 200 \cdot 7 = 1400$ kroner.

Notasjonen $f(x)$ betyr «funksjonen $f$ evaluert ved verdien $x$». Det er en presis måte å si «sett inn $x$ i formelen og regn ut». Den vanligste bokstaven for funksjoner er $f$, men vi kan bruke hvilken bokstav vi vil – $g$, $h$, $I$, $P$ – gjerne en bokstav som minner om hva funksjonen beskriver.

En funksjon er formelt definert som en regel som til hver verdi av $x$ gir nøyaktig én verdi av $f(x)$. Det betyr at for ett bestemt tall du putter inn, får du alltid ett bestemt tall ut. La oss øve: når $f(x) = 3x + 1$, da er $f(3) = 3 \cdot 3 + 1 = 10$ og $f(-2) = 3 \cdot (-2) + 1 = -5$. Når $f(x) = x^2 - 3x$, da er $f(3) = 9 - 9 = 0$ og $f(-2) = 4 + 6 = 10$.

Verditabeller og graftegning

Når vi skal tegne grafen til en funksjon, er det første steget å lage en verditabell. Det er rett og slett en tabell der vi velger noen $x$-verdier, regner ut $f(x)$ for hver av dem, og noterer resultatene. Hvert par $(x, f(x))$ gir oss et punkt vi kan plotte i koordinatsystemet.

La oss ta funksjonen $f(x) = -2x^2 + 3$. Vi velger $x$-verdiene $-2$, $-1$, $0$, $1$ og $2$. For $x = -2$ får vi $f(-2) = -2 \cdot (-2)^2 + 3 = -2 \cdot 4 + 3 = -5$. For $x = -1$: $f(-1) = -2 \cdot 1 + 3 = 1$. For $x = 0$: $f(0) = 0 + 3 = 3$. For $x = 1$: $f(1) = -2 + 3 = 1$. For $x = 2$: $f(2) = -8 + 3 = -5$.

Nå plotter vi punktene $(-2, -5)$, $(-1, 1)$, $(0, 3)$, $(1, 1)$ og $(2, -5)$ i koordinatsystemet og tegner en jevn kurve gjennom dem. Legg merke til at denne grafen ikke er en rett linje – den er buet. Det er fordi funksjonen har et $x^2$-ledd. Slike kurver kalles parabler.

Når du skal tegne en graf, er det lurt å velge $x$-verdier som er spredt over hele området du er interessert i. Start gjerne med $x = 0$, ta med noen negative og noen positive verdier, og regn ut nøkternt. For lineære funksjoner (uten $x^2$) holder det med to eller tre punkter, men for andregradsfunksjoner trenger du gjerne fem eller flere for å få en fin kurve.

Nullpunkter – der grafen møter $x$-aksen

Et nullpunkt er en $x$-verdi der funksjonen har verdien null, altså der $f(x) = 0$. Grafisk betyr det at grafen krysser eller berører $x$-aksen i det punktet. Nullpunkter er viktige fordi de ofte representerer interessante situasjoner: når er overskuddet null, når går ballen i bakken, når er kontoen tom?

For å finne nullpunktene setter vi $f(x) = 0$ og løser likningen. La oss ta $f(x) = 3x - 12$. Vi setter opp $3x - 12 = 0$, legger til 12 på begge sider og får $3x = 12$, og deretter $x = 4$. Funksjonen har nullpunkt i $x = 4$, som betyr at grafen krysser $x$-aksen i punktet $(4, 0)$.

Når funksjonen har et $x^2$-ledd, blir det litt mer spennende. Ta $f(x) = 2x^2 - 4x$. Vi setter $2x^2 - 4x = 0$ og faktoriserer: $2x(x - 2) = 0$. Et produkt er null når minst én av faktorene er null, så enten er $2x = 0$ (som gir $x = 0$) eller $x - 2 = 0$ (som gir $x = 2$). Funksjonen har to nullpunkter: $x = 0$ og $x = 2$.

Andregradsfunksjoner kan ha null, ett eller to nullpunkter. For eksempel har $f(x) = x^2 - 9$ nullpunkter i $x = -3$ og $x = 3$ (fordi $x^2 = 9$ gir $x = \pm 3$). Funksjonen $f(x) = x^2 + 5x + 6$ kan faktoriseres som $(x + 2)(x + 3) = 0$, som gir $x = -2$ og $x = -3$.

Skjæringspunkter – der to grafer møter hverandre

Noen ganger har vi to forskjellige funksjoner og vil finne ut hvor grafene deres krysser hverandre. I et skjæringspunkt har de to funksjonene nøyaktig samme verdi for den samme $x$-verdien. Dermed setter vi funksjonene lik hverandre og løser likningen.

La oss se på $f(x) = x^2 - 1$ og $g(x) = x + 1$. Vi setter $f(x) = g(x)$: $x^2 - 1 = x + 1$. Vi flytter alt til venstre side: $x^2 - x - 2 = 0$. Faktorisering gir $(x - 2)(x + 1) = 0$, så $x = 2$ eller $x = -1$.

Nå kjenner vi $x$-koordinatene til skjæringspunktene, men vi trenger også $y$-koordinatene. Vi velger den enkleste funksjonen – her $g(x)$ – og setter inn: $g(2) = 2 + 1 = 3$ og $g(-1) = -1 + 1 = 0$. De to skjæringspunktene er altså $(2, 3)$ og $(-1, 0)$.

Et annet eksempel: $f(x) = -x^2 + 4$ og $g(x) = -5x + 10$. Vi setter dem like: $-x^2 + 4 = -5x + 10$. Vi samler alt på én side: $-x^2 + 5x - 6 = 0$, eller $x^2 - 5x + 6 = 0$ (ganget med $-1$). Faktorisering gir $(x - 2)(x - 3) = 0$, så $x = 2$ eller $x = 3$. Vi regner ut $y$-verdiene: $g(2) = 0$ og $g(3) = -5$. Skjæringspunktene er $(2, 0)$ og $(3, -5)$.

Teknikken er alltid den samme: sett funksjonene lik hverandre, løs likningen for $x$, og sett tilbake for å finne $y$. Skjæringspunkter dukker opp overalt i matematikk og økonomi – for eksempel der inntekt møter kostnad (nullpunktet for overskudd) eller der tilbud møter etterspørsel.

Oppsummering

I dette kapittelet har vi utforsket funksjonsbegrepet fra bunnen av.

Matematiske modeller er uttrykk som beskriver sammenhenger fra virkeligheten. Vi setter opp modeller ved å identifisere hva som er fast og hva som endrer seg, og lar $x$ representere den ukjente størrelsen.

Funksjonsnotasjonen $f(x)$ gir oss et presist språk for å snakke om slike sammenhenger. En funksjon er en regel som til hver $x$-verdi gir nøyaktig én $f(x)$-verdi. Vi evaluerer funksjoner ved å sette inn tall for $x$ og regne ut.

Verditabeller lages ved å velge noen $x$-verdier, regne ut $f(x)$ for hver, og notere resultatene. Hvert par $(x, f(x))$ gir et punkt i koordinatsystemet, og når vi forbinder punktene får vi grafen til funksjonen.

Nullpunkter er $x$-verdier der $f(x) = 0$, altså der grafen krysser $x$-aksen. Vi finner dem ved å sette $f(x) = 0$ og løse likningen. For førstegradsfunksjoner får vi ett nullpunkt, for andregradsfunksjoner kan vi få null, ett eller to.

Skjæringspunkter mellom to funksjoner finner vi ved å sette $f(x) = g(x)$ og løse for $x$. Vi bruker deretter den enkleste funksjonen til å finne $y$-koordinatene.