3.3 Hva er en funksjon?

Matematiske modeller, funksjonsnotasjon, verditabeller, graftegning, nullpunkter og skjæringspunkter.

60 min

17 oppgaver

Matematiske modellerf(x)-notasjonVerditabellerGraftegningNullpunkterSkjæringspunkter

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 17 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Koordinatsystemet 3.2Lineære funksjoner

Brukes videre i

3.4Andregradsfunksjoner 3.8Eksponentialfunksjoner

Å erstatte x med et tall (Matematiske modeller)

Noen ganger har vi matematiske uttrykk som inneholder en ukjent (for eksempel en $x$ ). Et enkelt eksempel kan være dersom vi ønsker å beskrive en inntekt. Kari tjener 200 kroner per time hun jobber. I løpet av en dag jobber hun $x$ (altså et ukjent antall) timer.

Hvor mye tjener hun? Hun vil altså tjene $200 \cdot x$ kroner der $x$ er antallet timer hun jobber.

Dersom vi finner ut at hun mandag jobber 6 timer så kan vi nå enkelt erstatte $x$ i formelen vår med 6. Vi får nå $200\text{ kr} \cdot 6 = 1200\text{ kr}$ .

Vi har nå brukt den matematiske modellen $200x$ (som beskriver inntekten til Kari) til å finne ut hvor mye Kari vil tjene etter 6 timer. Legg her spesielt merke til at matematiske modeller ofte er mer kompliserte og at det enkle eksempelet kun er for illustrasjonsformål.

✏️Eksempel 1

Vi har uttrykket $x^2 + 4x$

Hvilken verdi vil uttrykket få dersom:
a) $x = 3$
b) $x = -2$

Løsning:

a) Vi erstatter x-ene i uttrykket $x^2 + 4x$ med 3 og får dermed:
$3^2 + 4 \cdot 3 = 9 + 12 = 21$

b) Vi erstatter x-ene i uttrykket $x^2 + 4x$ med −2 og får dermed:
$(-2)^2 + 4 \cdot (-2) = 4 - 8 = -4$

📝Oppgave 1

Vi har uttrykket $x^2 - 2x + 3$ . Hvilken verdi vil uttrykket ha dersom:

x = 2

x = -1

x = 0

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Vi har uttrykket $2x^2 - 5x - 2$ . Hvilken verdi vil uttrykket ha dersom:

x = 4

x = -3

x = 0

Løs oppgaven Tren

Egne matematiske modeller

Noen ganger ønsker vi å kunne sette opp egne matematiske modeller for å beskrive ting som skjer i virkeligheten. Vi vil da la $x$ representere en tilfeldig variabel som for eksempel et antall enheter eller et antall minutter eller timer.

✏️Eksempel 2

Axel skal ut på en lang joggetur, han jogger i 8 km/time jevnt igjennom hele turen.

a) Hvor langt har han kommet etter:
1) 2 timer
2) 5 timer

b) Sett opp et uttrykk med $x$ som ukjent som beskriver hvor langt han har kommet etter $x$ timer. (En matematisk modell)

Løsning:

a) 1) Han har kommet $8 \text{ km/time} \cdot 2 \text{ time(r)} = 16 \text{ km}$
2) Han har kommet $8 \text{ km/time} \cdot 5 \text{ time(r)} = 40 \text{ km}$

b) Han har kommet $8 \text{ km/time} \cdot x \text{ time} = 8x \text{ km}$ eller bare $8x$ .

✏️Eksempel 3

Per har 20 000 kroner stående på konto og tjener og sparer 1 000 kroner hver arbeidsdag.

a) Hvor mye har han på konto etter 15 arbeidsdager? Etter 20?
b) Sett opp et uttrykk som beskriver hvor mye Per har på konto.

Løsning:

a) Etter 15 arbeidsdager har han:
$1000 \text{ kr} \cdot 15 + 20000 \text{ kr} = 15000 \text{ kr} + 20000 \text{ kr} = 35000 \text{ kr}$

Etter 20 arbeidsdager har han:
$1000 \text{ kr} \cdot 20 + 20000 \text{ kr} = 20000 \text{ kr} + 20000 \text{ kr} = 40000 \text{ kr}$

b) $1000 \text{ kr} \cdot x + 20000 \text{ kr}$ eller bare $1000x + 20000$

📝Oppgave 3

Line selger pølser på en fotballkamp til 30 kroner per stykk.

Hvor mye har Line i inntekt dersom hun selger:
1) 10 pølser
2) 20 pølser

Sett opp en matematisk modell som beskriver inntekten til Line.

Løs oppgaven Tren

$f(x)$ - Matematiske funksjoner

Vi har nå lært hvordan vi kan lage og bruke matematiske modeller (/uttrykk) som beskriver enkle hendelser. Vi hørte om Kari som tjente 200 kroner per time hun jobbet. Vi fant ut at da vil hun tjene $200 \cdot x$ kroner avhengig av $x$ altså antall timer hun jobber.

Vi ønsker nå å lage en funksjon ved hjelp av dette uttrykket. Det er egentlig ikke så vanskelig (men det kan se veldig komplisert ut om du ikke er vant med skrivemåten). Det vi prøver å beskrive er en inntekt som er avhengig av antall timer hun jobber, bokstavene vi bruker i funksjonen blir derfor $I$ (for inntekt) og $t$ (for tid).

Vi skriver funksjonsuttrykket $I(t)$ altså inntekten avhengig av antall timer $t$ hun har jobbet. Vi får da:
$I(t) = 200t$

Inntekten Kari får når hun jobber i 5 timer blir:
$I(5) = 200 \cdot 5 = 1000$

Om hun jobber i 7 timer vil hun få:
$I(7) = 200 \cdot 7 = 1400$

Funksjon

x

✏️Eksempel 4

Finn $f(3)$ og $f(-2)$ når:
a) $f(x) = 3x + 1$
b) $f(x) = x^2 - 3x$

Løsning:

a) $f(x) = 3x + 1$

Vi begynner med å finne $f(3)$ — vi erstatter altså $x$ i $f(x)$ med 3.
$f(3) = 3 \cdot 3 + 1 = 9 + 1 = 10$

Når vi skal finne $f(-2)$ erstatter vi $x$ i funksjonen ovenfor med −2:
$f(-2) = 3 \cdot (-2) + 1 = -6 + 1 = -5$

b) $f(x) = x^2 - 3x$

Vi finner først $f(3)$ :
$f(3) = 3^2 - 3 \cdot 3 = 9 - 9 = 0$

Så finner vi $f(-2)$ :
$f(-2) = (-2)^2 - 3 \cdot (-2) = 4 + 6 = 10$

📝Oppgave 4

Mohammed skal selge is. For hver is han selger har han tjent 10 kroner (etter å ha trukket fra utgifter ved innkjøp av isen). Han leier også en fryser til 200 kroner per dag.

Hvor mye får Mohammed i overskudd dersom han en dag selger:
1) 30 is
2) 100 is

Sett opp en matematisk modell (en formel) som beskriver inntekten til Mohammed.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Finn $f(-2)$ når:

f(x) = 4x + 1

f(x) = x^2 + x

f(x) = -3x^2

Løs oppgaven Tren

Verditabeller

En verditabell er en tabell som viser sammenhengen mellom $x$ -verdier og tilhørende funksjonsverdier $f(x)$ . Verditabeller er nyttige når vi skal tegne grafen til en funksjon.

✏️Eksempel 5

La $f(x) = -2x^2 + 3$ .

Finn $f(-2)$ , $f(-1)$ , $f(0)$ , $f(1)$ og $f(2)$ .

Bruk svarene til å sette opp en verditabell.

Løsning:

$f(x) = -2x^2 + 3$

$f(-2) = -2 \cdot (-2)^2 + 3 = -2 \cdot 4 + 3 = -8 + 3 = -5$
$f(-1) = -2 \cdot (-1)^2 + 3 = -2 \cdot 1 + 3 = -2 + 3 = 1$
$f(0) = -2 \cdot 0^2 + 3 = -2 \cdot 0 + 3 = 0 + 3 = 3$
$f(1) = -2 \cdot 1^2 + 3 = -2 \cdot 1 + 3 = -2 + 3 = 1$
$f(2) = -2 \cdot 2^2 + 3 = -2 \cdot 4 + 3 = -8 + 3 = -5$

Verditabell:

$x$	$f(x)$	Punkt $(x, f(x))$
−2	−5	(−2, −5)
−1	1	(−1, 1)
0	3	(0, 3)
1	1	(1, 1)
2	−5	(2, −5)

📝Oppgave 6

Regn ut $f(-2)$ , $f(-1)$ , $f(0)$ , $f(1)$ og $f(2)$ og sett opp en verditabell som i eksempelet over.

NB: Du skal bruke verditabellene du lager i denne oppgaven i en senere oppgave.

f(x) = 2x - 3

f(x) = x^2 - 4

f(x) = -2x^2 + 3x - 1

Å tegne egne grafer

I eksempelet under viser vi hvordan du kan tegne din egen graf ved å finne punkter og plotte dem i et koordinatsystem.

✏️Eksempel 6

Tegn grafen til funksjonen $f(x) = -2x^2 + 3$ .

Løsning:

Vi har verditabellen fra forrige eksempel:

$x$	$f(x)$	Punkt $(x, f(x))$
−2	−5	(−2, −5)
−1	1	(−1, 1)
0	3	(0, 3)
1	1	(1, 1)
2	−5	(2, −5)

Vi kan bruke punktene i denne verditabellen og tegne dem inn i et koordinatsystem. Vi tegner deretter en krummet linje igjennom punktene vi får.

📊Graf: $f(x) = -2x^2 + 3$

Grafen til funksjonen $f(x) = -2x^2 + 3$ med de beregnede punktene.

📝Oppgave 7

Bruk verditabellene fra forrige oppgave for å tegne grafene til funksjonene under (for hånd). Grafen skal tegnes for x-verdier fra −3 til 3. Om du mangler noen punkter for å få en fin graf, finn disse punktene ved regning.

f(x) = 2x - 3

f(x) = x^2 - 4

f(x) = -2x^2 + 3x - 1

✏️Eksempel 7

Tegn grafen til funksjonen $f(x) = 2x + 3$ og $g(x) = x^2 + x - 3$ i samme koordinatsystem. Tegn det for x-verdier mellom −5 og 5.

Løsning:

For en lineær funksjon så er det egentlig kun nødvendig å regne ut to punkter, det sagt om vi skal tegne den inn selv så er det kjekt å ha med et ekstra punkt for godt mål.

For $f(x) = 2x + 3$ :

$x$	$f(x)$	Punkt
−5	$2 \cdot (-5) + 3 = -7$	(−5, −7)
0	$2 \cdot 0 + 3 = 3$	(0, 3)
5	$2 \cdot 5 + 3 = 13$	(5, 13)

For $g(x) = x^2 + x - 3$ :

$x$	$g(x)$	Punkt
−5	$(-5)^2 + (-5) - 3 = 17$	(−5, 17)
−3	$(-3)^2 + (-3) - 3 = 3$	(−3, 3)
−1	$(-1)^2 + (-1) - 3 = -3$	(−1, −3)
0	$0^2 + 0 - 3 = -3$	(0, −3)
1	$1^2 + 1 - 3 = -1$	(1, −1)
3	$3^2 + 3 - 3 = 9$	(3, 9)
5	$5^2 + 5 - 3 = 27$	(5, 27)

📊To funksjoner i samme koordinatsystem

Grafene til $f(x) = 2x + 3$ og $g(x) = x^2 + x - 3$ .

Å velge egne x-verdier og y-verdier når du tegner koordinatsystem

x-verdier: Når du skal velge verdier for $x$ så er det ønskelig at du velger punkter som er representative for grafen:
1. I og nært $x = 0$
2. I og nært nullpunktene til funksjonen (der funksjonsverdien er lik 0)
3. I og nært funksjonens maksimums- og minimumsverdier
4. Der tekstoppgaver gir logiske antagelser (f.eks. kun positive verdier for antall solgte varer)

y-verdier: Regn først ut den høyeste og laveste verdien til funksjonen for x-verdiene du har med i din verditabell. Koordinatsystemet bør minst inkludere disse verdiene.

📝Oppgave 8

Tegn grafene til funksjonene under for x-verdier fra −4 til 4.

f(x) = -x + 3

f(x) = x^2 - x - 12

f(x) = x^2 + x - 6

Å finne nullpunktene til en funksjon

Nullpunktene til en funksjon har vi der grafen til funksjonen skjærer x-aksen. Når grafen skjærer x-aksen vet vi at funksjonsverdien er lik 0. Vi finner nullpunktene til en funksjon $f(x)$ ved å sette $f(x) = 0$ og løse likningen.

Nullpunkt

f

✏️Eksempel 9

La $f(x) = 3x - 12$ .

Finn nullpunktet til funksjonen.

Løsning:

Vi setter $f(x) = 0$ og løser likningen.

$f(x) = 0$
$3x - 12 = 0 \quad | + 12$
$3x = 12 \quad | \div 3$
$x = 4$

Funksjonen har altså nullpunkt i $(4, 0)$ .

Merk: Når vi finner nullpunkt oppgir vi ofte kun x-verdiene som svar. Altså $x = 4$ .

📊Nullpunkt for lineær funksjon

Grafen til $f(x) = 3x - 12$ med nullpunktet markert.

📝Oppgave 9

Per tjener 200 kroner per time han jobber. Han jobber x timer i løpet av en sommer. På forhånd har han 4000 kroner i banken.

Sett opp en funksjon $P(x)$ som forteller hvor mye penger Per har etter å ha jobbet i x timer.

Tegn grafen til funksjonen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Finn nullpunktene til funksjonene:

f(x) = 2x - 8

f(x) = x - 4

f(x) = 3x - 4

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 10

La $f(x) = 2x^2 - 4x$ .

Finn nullpunktene til funksjonen.

Løsning:

Vi setter $f(x) = 0$ og løser likningen.

$f(x) = 0$
$2x^2 - 4x = 0$
$2x \cdot (x - 2) = 0$

Vi bruker produktregelen og ser at:
$2x = 0 \quad \vee \quad x - 2 = 0$
$x = 0 \quad \vee \quad x = 2$

Funksjonen har altså nullpunkt der $x = 0$ og der $x = 2$ , altså i $(0, 0)$ og i $(2, 0)$ .

📊Nullpunkter for andregradsfunksjon

Grafen til $f(x) = 2x^2 - 4x$ med nullpunktene markert.

📝Oppgave 11

Finn nullpunktene til funksjonene:

f(x) = x^2 - 9

f(x) = x^2 + 5x + 6

f(x) = 2x^2 - 6x + 4

Løs oppgaven Tren

Å finne der to funksjoner skjærer hverandre

Når to grafer skjærer hverandre, har funksjonene samme funksjonsverdi for den x-verdien. For å finne skjæringspunktene setter vi funksjonene lik hverandre og løser for $x$ .

📊Skjæringspunkter mellom to funksjoner

Grafene til $f(x) = x^2 - 1$ og $g(x) = x + 1$ skjærer hverandre i punktene A og B.

Over ser vi grafene til funksjonene

f(x) = x^2 - 1

g(x) = x + 1

. Vi ser de skjærer hverandre i punktene

A = (-1, 0)

B = (2, 3)

. Vi skal nå gå igjennom hvordan vi kunne funnet disse skjæringspunktene for hånd.

Vi ønsker altså å finne ut hvilke x-verdier som gjør at y-verdiene til funksjonene er like. Vi kan løse denne problemstillingen ved å sette funksjonene lik hverandre og løse for $x$ .

$f(x) = g(x)$
$x^2 - 1 = x + 1$
$x^2 - x - 2 = 0$

Vi løser likningen over (for eksempel med abc-formelen eller sum og produktregelen):
$(x - 2)(x + 1) = 0$
$x_1 = 2 \quad \vee \quad x_2 = -1$

Ettersom funksjonene er like hverandre når $x = -1$ og når $x = 2$ så vil vi ha at grafene til funksjonene også skjærer hverandre når $x = -1$ og $x = 2$ .

Videre kan vi bli bedt om å finne koordinatene til de faktiske skjæringspunktene. Vi har allerede x-koordinatene. Når vi skal finne y-koordinatene i punktene så bruker vi x-koordinatene samt enten $f(x)$ eller $g(x)$ for å finne dem. Vi velger selvsagt den enkleste funksjonen:

$g(-1) = -1 + 1 = 0$
$g(2) = 2 + 1 = 3$

Vi får da punktene $(-1, 0)$ og $(2, 3)$ .

✏️Eksempel 11

La $f(x) = -x^2 + 4$ og $g(x) = -5x + 10$ .

Finn skjæringspunktene til $f$ og $g$ .
a) Ved å tegne grafene og lese av punktene.
b) Ved regning.

Løsning:

a) Grafisk løsning:
Se GeoGebra-applet under for å se grafene og skjæringspunktene.

b) Ved regning:
Vi setter $f(x) = g(x)$ :
$-x^2 + 4 = -5x + 10$
$-x^2 + 5x + 4 - 10 = 0$
$-x^2 + 5x - 6 = 0$
$x^2 - 5x + 6 = 0$
$(x - 2)(x - 3) = 0$
$x = 2 \quad \vee \quad x = 3$

Vi finner y-koordinatene ved å sette inn i $g(x)$ :
$g(2) = -5 \cdot 2 + 10 = 0$
$g(3) = -5 \cdot 3 + 10 = -5$

Skjæringspunktene er $(2, 0)$ og $(3, -5)$ .

📊Skjæringspunkter: $f(x) = -x^2 + 4$ og $g(x) = -5x + 10$

📝Oppgave 12

Finn x-verdiene der grafene skjærer hverandre, og bruk disse til å finne koordinatene til skjæringspunktene.

f(x) = x - 3

g(x) = -2x + 3

f(x) = x^2 - 4

g(x) = -5x - 8

f(x) = -x^2 + x - 1

g(x) = -2x^2 + 2x + 11

Oppsummering

- Funksjoner: En regel som gir nøyaktig én $y$ -verdi for hver $x$ -verdi. Skrives $f(x)$ eller $y = f(x)$
- Funksjonsnotasjon: $f(3)$ betyr "finn verdien av funksjonen når $x = 3$ "
- Verditabell: Tabell som viser $x$ -verdier og tilhørende funksjonsverdier $f(x)$
- Tegne grafer: Lag verditabell, plott punktene i koordinatsystem, tegn en jevn linje/kurve gjennom punktene
- Nullpunkter: Løsningene til $f(x) = 0$ . Grafisk: der grafen skjærer $x$ -aksen
- Skjæringspunkter: For å finne hvor to funksjoner $f$ og $g$ skjærer hverandre: løs $f(x) = g(x)$
- Matematiske modeller: Uttrykk som beskriver virkelige situasjoner, f.eks. $I(t) = 200t$ for inntekt

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Å erstatte x med et tall (Matematiske modeller)

Egne matematiske modeller

f(x)f(x)f(x) - Matematiske funksjoner

Verditabeller

Å tegne egne grafer

Å finne nullpunktene til en funksjon

Å finne der to funksjoner skjærer hverandre

Oppsummering

$f(x)$ - Matematiske funksjoner