3.2 Lineære funksjoner

Når tall får liv gjennom variabler

Forestill deg at du har uttrykket $4x + 1$. Bokstaven $x$ er en variabel – den kan være hvilket som helst tall. Velger du $x = 3$, får du $4 \cdot 3 + 1 = 13$. Velger du $x = 0$, får du $4 \cdot 0 + 1 = 1$. Hvert valg av $x$ gir et nytt svar, og det er denne ideen som er selve kjernen i funksjoner.

Å sette inn en verdi for $x$ betyr rett og slett å erstatte alle $x$-er i uttrykket med et bestemt tall, og så regne ut. Det er som å ha en oppskrift der én ingrediens er ukjent – når du endelig bestemmer deg for hva det skal være, kan du lage retten.

I dette kapittelet skal vi se hvordan slike uttrykk beskriver rette linjer i koordinatsystemet. Vi starter med enkel innsetting, går videre til å forstå hva som gjør en variabel avhengig av en annen, og ender opp med den berømte formelen $y = ax + b$ som beskriver alle rette linjer.

Avhengig og uavhengig variabel

Når vi skriver $y = 2x - 3$, sier vi at $y$ er avhengig av $x$. Du velger fritt hva $x$ skal være – kanskje $x = 4$ – og da gir formelen deg svaret: $y = 2 \cdot 4 - 3 = 5$. Velger du $x = 1$, får du $y = 2 \cdot 1 - 3 = -1$. Verdien av $y$ forandrer seg hver gang du endrer $x$.

Vi kaller $x$ den uavhengige variabelen fordi den kan velges fritt, og $y$ den avhengige variabelen fordi den bestemmes av formelen så fort vi kjenner $x$. Tenk på det som en maskin: du mater inn en $x$-verdi, maskinen gjør noe med den (ganger med 2, trekker fra 3), og ut kommer $y$-verdien.

Det fine er at denne sammenhengen kan visualiseres. Hvert par $(x, y)$ gir oss et punkt i koordinatsystemet. Når vi setter inn $x = -2$ i $y = -x + 4$, får vi $y = -(-2) + 4 = 2 + 4 = 6$. Vi har nå punktet $(-2, 6)$. Pass spesielt på fortegnene når du setter inn negative tall – det er en av de vanligste feilkildene. Uttrykket $-(-2)$ blir $+2$, ikke $-2$.

Fra regel til linje

Her kommer det magiske: når du har en regel som $y = 2x$, og du setter inn mange forskjellige $x$-verdier, får du mange punkter. Når $x = 1$ får du punktet $(1, 2)$. Når $x = 3$ får du $(3, 6)$. Når $x = -2$ får du $(-2, -4)$. Markerer du alle disse punktene i et koordinatsystem og trekker en linje gjennom dem, får du en perfekt rett linje.

For å tegne en slik linje trenger du egentlig bare to punkter, men det er lurt å bruke tre for å ha en sikkerhetssjekk. Velg gjerne en negativ $x$-verdi, $x = 0$, og en positiv $x$-verdi – da får du punkter som er pent fordelt i koordinatsystemet.

La oss tegne $y = 2x - 2$ som et eksempel. Vi velger $x = -3$: $y = 2 \cdot (-3) - 2 = -6 - 2 = -8$, som gir punktet $(-3, -8)$. For $x = 0$: $y = 2 \cdot 0 - 2 = -2$, som gir $(0, -2)$. For $x = 4$: $y = 2 \cdot 4 - 2 = 6$, som gir $(4, 6)$. Nå markerer vi disse tre punktene og trekker en rett linje gjennom dem. Vi har tegnet funksjonen!

Legg merke til noe viktig: punktet $(0, -2)$ er der linjen krysser $y$-aksen. Det er ikke tilfeldig – det er konstantleddet $b = -2$ i formelen $y = 2x - 2$. Dette skal vi forstå mye bedre snart.

Stigningstallet – linjens bratthetsmal

Nå skal vi forstå hva som gjør en linje bratt eller slak, og om den går oppover eller nedover. Alle rette linjer kan skrives på formen $y = ax + b$, og det er bokstaven $a$ som styrer bratthet og retning. Vi kaller $a$ for stigningstallet.

Stigningstallet forteller deg hvor mye $y$-verdien endrer seg når $x$-verdien øker med 1. Tenk på det slik: du står på et punkt på linjen og tar ett skritt til høyre. Stigningstallet forteller deg hvor mange skritt du må gå opp (eller ned) for å treffe linjen igjen.

I formelen $y = 2x + 1$ er stigningstallet $a = 2$. Det betyr at når $x$ øker med 1, så øker $y$ med 2. Vi kan sjekke: når $x = 0$ er $y = 1$, og når $x = 1$ er $y = 3$. Forskjellen i $y$ er $3 - 1 = 2$ – akkurat stigningstallet.

Hva når $a$ er negativ? I $y = -3x + 4$ er $a = -3$. Det betyr at for hvert skritt til høyre, går du 3 nedover. Linjen synker altså. Når $x = 0$ er $y = 4$, og når $x = 1$ er $y = -3 \cdot 1 + 4 = 1$. Forskjellen er $1 - 4 = -3$. Negativ stigning betyr at linjen går nedover mot høyre.

En nyttig huskeregel: hvis $a > 0$ stiger linjen, hvis $a < 0$ synker den, og hvis $a = 0$ er linjen helt flat (horisontal). Jo større verdien av $a$ er (om vi ser bort fra fortegnet), desto brattere er linjen.

Konstantleddet – der linjen møter $y$-aksen

Vi har allerede snakket om $a$ i $y = ax + b$, og nå er det $b$ sin tur. Konstantleddet $b$ forteller oss nøyaktig hvor linjen krysser $y$-aksen. Hvorfor? Fordi når $x = 0$, får vi $y = a \cdot 0 + b = b$. Skjæringspunktet med $y$-aksen er altså punktet $(0, b)$.

I formelen $y = 2x + 1$ er konstantleddet $b = 1$. Det betyr at linjen skjærer $y$-aksen i punktet $(0, 1)$. I $y = -3x + 4$ er $b = 4$, så linjen krysser $y$-aksen i $(0, 4)$.

Nå har du egentlig alt du trenger for å tegne en rett linje raskt. Her er metoden: Marker først konstantleddet på $y$-aksen – det er startpunktet ditt. Deretter bruker du stigningstallet: gå 1 enhet til høyre og $a$ enheter opp (eller ned om $a$ er negativ). Du har nå to punkter, og en rett linje gjennom dem er grafen din.

For $y = -3x + 4$ starter du i $(0, 4)$, går 1 til høyre og 3 ned (fordi $a = -3$), og havner i $(1, 1)$. Trekk en linje gjennom $(0, 4)$ og $(1, 1)$, og du har tegnet grafen.

Denne metoden er raskere enn å beregne tre punkter med innsetting, og den gir deg en dyp forståelse av hva grafen egentlig viser. Hver gang du ser $y = ax + b$, kan du umiddelbart si: «Linjen starter i $(0, b)$ og for hvert skritt til høyre endres $y$ med $a$.»

Finne formelen fra grafen

Hittil har vi gått fra formel til graf. Men hva om du får en graf og skal finne formelen? Det er det omvendte problemet, og det er minst like viktig.

Fremgangsmåten er: Først leser du av hvor linjen krysser $y$-aksen. Det gir deg konstantleddet $b$. Deretter finner du stigningstallet $a$ ved å se på to punkter på linjen. Velg et punkt, gå 1 enhet til høyre, og se hvor mye $y$-verdien har endret seg. Den endringen er $a$.

Tenk deg at en linje krysser $y$-aksen i $(0, -3)$ og at du kan se at når du går fra $x = 0$ til $x = 1$, så går linjen fra $y = -3$ til $y = -1$. Endringen i $y$ er $-1 - (-3) = 2$, så stigningstallet er $a = 2$. Formelen blir $y = 2x - 3$.

Det finnes også en mer generell måte å finne stigningstallet på, som fungerer mellom to vilkårlige punkter. Har du punktene $(2, 7)$ og $(4, 13)$, beregner du stigningstallet som endring i $y$ delt på endring i $x$: $\displaystyle a = \frac{13 - 7}{4 - 2} = \frac{6}{2} = 3$. Nå kjenner du $a = 3$, og du kan finne $b$ ved å sette inn ett av punktene: $7 = 3 \cdot 2 + b$, som gir $b = 1$. Formelen er $y = 3x + 1$.

Denne teknikken – å bestemme $a$ og $b$ fra kjente punkter – er noe du vil bruke utallige ganger i matematikken. Det er verdt å øve på den til den sitter.

Oppsummering

I dette kapittelet har vi lært å forstå og jobbe med lineære funksjoner – matematikkens rette linjer.

Innsetting betyr å erstatte variabelen $x$ med et bestemt tall og regne ut verdien. Når vi har $y = ax + b$, er $x$ den uavhengige variabelen (vi velger den fritt) og $y$ den avhengige variabelen (den bestemmes av formelen).

Stigningstallet $a$ forteller oss hvor mye $y$ endrer seg når $x$ øker med 1. Positivt stigningstall betyr at linjen stiger mot høyre, negativt betyr at den synker, og $a = 0$ gir en flat, horisontal linje. Jo større verdien av $a$ er, desto brattere er linjen.

Konstantleddet $b$ er $y$-verdien der linjen krysser $y$-aksen, altså punktet $(0, b)$. For å tegne en linje: marker $(0, b)$, gå 1 til høyre og $a$ opp eller ned, og trekk linjen. For å finne formelen fra en graf: les av $b$ fra $y$-aksen og beregn $a$ som endring i $y$ delt på endring i $x$ mellom to punkter.