3.1 Koordinatsystemet | Matematikk 1T

Introduksjon til koordinatsystemet, punkter, akser og å tolke grafer.

30 min

9 oppgaver

x-aksey-aksePunkterTolke grafer

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

3.2Lineære funksjoner 3.3Hva er en funksjon?4.1Likningssett

Koordinatsystemet

Et koordinatsystem er et system for å beskrive posisjoner i et plan ved hjelp av tall.

- Den vannrette aksen kalles $x$ -aksen eller førsteaksen
- Den loddrette aksen kalles $y$ -aksen eller andreaksen
- Punktet der aksene krysser hverandre kalles origo og har koordinatene $(0, 0)$

Et punkt i koordinatsystemet skrives som $(x, y)$ der $x$ er avstanden langs $x$ -aksen og $y$ er avstanden langs $y$ -aksen.

Gjør dette i GeoGebra

Koordinatsystemet

Et koordinatsystem med punktet

(-2, 4)

markert. Den blå stiplede linjen viser

x = -2

og den grønne viser

y = 4

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

A = (-2, 4)
l1: x = -2
l2: y = 4
SetColor(l1, "Blue")
SetColor(l2, "Green")
SetLineStyle(l1, 2)
SetLineStyle(l2, 2)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Loddrette og vannrette linjer

- Linjen $x = -2$ (blå i figuren over) markerer alle punkter der $x$ -verdien er $-2$
- Linjen $y = 4$ (grønn i figuren) markerer alle punkter der $y$ -verdien er $4$
- Punktet $(-2, 4)$ er skjæringspunktet mellom disse linjene

✏️Eksempel 1

a) Tegn et koordinatsystem med $x$ - og $y$ -verdier fra $-5$ til $5$ .

b) Marker punktene $(2, 5)$ , $(-1, 3)$ , $(-3, -1)$ og $(0, -2)$

c) Tegn linjen $x = 2$ (alle punkter som har $2$ som $x$ -verdi)

d) Tegn linjen $y = -1$ (alle punkter som har $-1$ som $y$ -verdi)

Løsning:

a) Vi tegner et koordinatsystem med $x$ -verdier fra $-5$ til $5$ og $y$ -verdier fra $-5$ til $5$ .

b) Vi markerer hvert punkt ved å gå langs $x$ -aksen til riktig $x$ -verdi, og deretter opp eller ned til riktig $y$ -verdi:
- $(2, 5)$ : Gå til $x = 2$ , deretter opp til $y = 5$
- $(-1, 3)$ : Gå til $x = -1$ , deretter opp til $y = 3$
- $(-3, -1)$ : Gå til $x = -3$ , deretter ned til $y = -1$
- $(0, -2)$ : Bli på $x = 0$ (y-aksen), gå ned til $y = -2$

c) Linjen $x = 2$ er en loddrett linje som går gjennom alle punkter der $x = 2$ .

d) Linjen $y = -1$ er en vannrett linje som går gjennom alle punkter der $y = -1$ .

Koordinatsystem fra minus 5 til 5 på begge akser med fire markerte punkter: 2, 5 og minus 1, 3 og minus 3, minus 1 og 0, minus 2. En rød loddrett linje x = 2 går gjennom punktet 2, 5, og en blå vannrett linje y = minus 1 går gjennom punktet minus 3, minus 1.

Gjør dette i GeoGebra

Eksempel 1: Punkter og linjer

Koordinatsystem med punktene og linjene fra eksempel 1.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

A = (2, 5)
B = (-1, 3)
C = (-3, -1)
D = (0, -2)
l1: x = 2
l2: y = -1

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 1

Tegn et koordinatsystem fra $-5$ til $5$ på $x$ - og $y$ -aksen.

Marker punktene $(1, 4)$ , $(2, -3)$ , $(-4, 1)$ og $(0, 5)$

Tegn linjen $x = -3$ og linjen $y = 1$ inn i koordinatsystemet.

Hvilket punkt skjærer linjene hverandre i?

📝Oppgave 2

Finn koordinatene til punktene A, B, C og D som er markert i koordinatsystemet.

Koordinatsystem fra minus 5 til 5 på begge akser med fire blå punkter merket bare med bokstavene A, B, C og D. Koordinatene står ikke på figuren — de skal leses av.

Gjør dette i GeoGebra

Start med å skrive inn dette, én linje om gangen:

A = (1, 4)
B = (-2, 3)
C = (2, -2)
D = (-1, 0)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Punkt A

Punkt B

Punkt C

Punkt D

Å tolke en graf

En graf gir oss visuell informasjon om sammenhengen mellom to størrelser. Ved å lese av grafen kan vi finne verdier og svare på spørsmål.

✏️Eksempel 2

Grafen under viser prisen for en taxitur avhengig av hvor lang taxituren er (i km).

Koordinatsystem med avstand i km fra 0 til 32 langs den vannrette aksen og pris i kroner fra 0 til 440 langs den loddrette. En blå rett linje starter på y-aksen og stiger jevnt mot høyre.

a) Bruk grafen til å finne ut hvor mye du må betale for en 12 km lang tur.

b) Du har 400 kroner å bruke på taxi. Bruk grafen til å finne ut hvor langt du maksimalt kan reise for disse pengene.

c) Hva er startprisen til taxiselskapet? (Hvor mye står taksameteret på like etter du har startet taxituren?)

Løsning:

a) Vi finner $x = 12$ km på $x$ -aksen og går rett opp til grafen. Vi leser av at prisen er 240 kroner.

b) Vi finner 400 kroner på $y$ -aksen og går rett bort til høyre til vi treffer grafen. Vi leser av at $x$ -verdien er 28. Du kan altså reise maksimalt 28 km for 400 kroner.

c) Startprisen finner vi der $x = 0$ (altså 0 km kjørt). Vi leser av at grafen starter på $y = 120$ . Startprisen er altså 120 kroner.

Taxigrafen med tre avlesninger. En stiplet linje går fra 12 på x-aksen opp til grafen og bort til 240 på y-aksen, markert 12, 240. En stiplet linje går fra 400 på y-aksen bort til grafen og ned til 28 på x-aksen, markert 28, 400. Der grafen starter på y-aksen er punktet 0, 120 markert med grønt.

Svar: a) 240 kr b) 28 km c) 120 kr

Gjør dette i GeoGebra

Taxitur: Pris avhengig av avstand

Grafen viser prisen for en taxitur basert på kjørt distanse.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = 10x + 120
P1 = (12, f(12))
P2 = (28, f(28))
P3 = (0, f(0))

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 3

Grafen under viser hvor mye penger Gry har igjen på konto etter å ha vært $x$ antall dager på ferie.

Koordinatsystem med dager fra 0 til 9 langs den vannrette aksen og kroner fra 0 til 9000 langs den loddrette. En blå rett linje starter høyt oppe på y-aksen og synker jevnt til den treffer x-aksen.

Gjør dette i GeoGebra

Start med å skrive inn dette, én linje om gangen:

g(x) = -1000x + 8000

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Hvor mye hadde hun igjen etter å ha vært 2 dager på ferie?

Hvor mange dager hadde hun vært på ferie da hun hadde 2000 kroner igjen?

Hvor mye hadde hun da hun dro på ferie?

Løs oppgaven

Tips for grafavlesning

- For å finne $y$ når du kjenner $x$ : Finn $x$ -verdien på $x$ -aksen, gå rett opp (eller ned) til du treffer grafen, les av $y$ -verdien.

- For å finne $x$ når du kjenner $y$ : Finn $y$ -verdien på $y$ -aksen, gå rett bort til du treffer grafen, les av $x$ -verdien.

- Startverdi: Der grafen krysser $y$ -aksen (altså når $x = 0$ ).

📝Oppgave 4

En graf viser temperaturen i grader Celsius utendørs i løpet av et døgn, der $x$ er antall timer etter midnatt.

Hva forteller punktet $(6, 2)$ oss?

Hva forteller punktet $(14, 18)$ oss?

Hvis vi vet at temperaturen ved midnatt var 5°C, hvilket punkt representerer dette?

Oppsummering

- Koordinatsystemet: To vinkelrette akser ( $x$ -aksen vannrett, $y$ -aksen loddrett) som krysser hverandre i origo $(0,0)$
- Punktnotasjon: Et punkt skrives som $(x, y)$ der $x$ er avstanden langs $x$ -aksen og $y$ er avstanden langs $y$ -aksen
- Loddrette linjer: $x = a$ er en loddrett linje gjennom alle punkter med $x$ -verdi lik $a$
- Vannrette linjer: $y = b$ er en vannrett linje gjennom alle punkter med $y$ -verdi lik $b$
- Lese av grafer: For å finne $y$ når du kjenner $x$ : finn $x$ på aksen, gå opp/ned til grafen, les av $y$
- Tolke grafer: Grafer viser sammenhenger mellom størrelser - lær å lese informasjon direkte fra dem

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.