4.1 Likningssett | Matematikk 1T

Lær å løse likningssett med to eller tre ukjente ved grafisk løsning, innsettingsmetoden og addisjonsmetoden.

90 min

18 oppgaver

Grafisk løsningInnsettingsmetodenAddisjonsmetodenTre ukjentePraktiske oppgaver

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.1Grunnleggende likninger 3.1Koordinatsystemet

Vi skal nå løse likningssett – et sett med flere likninger som skal være oppfylt samtidig.

I hver likning har vi to eller flere ukjente, og vi skal finne verdiene som gjør at alle likningene stemmer samtidig.

Forkunnskaper: Grunnleggende likninger og lineære funksjoner.

For å skille på likningene er det nyttig å nummerere dem med romertall. $I$ refererer til likning én og $II$ til likning to.

Grafisk løsning av likningssett

Den enkleste måten å forstå likningssett på er å tegne begge likningene som linjer i et koordinatsystem. Løsningen er punktet der linjene krysser hverandre.

✏️Eksempel 1: Grafisk løsning

Finn grafisk $x$ og $y$ slik at begge likningene er oppfylt samtidig:

$I$ : $y + 4 = 2x$

$II$ : $2y - 1 = x$

Vi omformer likningene til formen

y = ax + b

og tegner dem inn i et koordinatsystem.

Likning I:
$y + 4 = 2x \quad | -4$
$y = 2x - 4$

Likning II:
$2y - 1 = x \quad | +1$
$2y = x + 1 \quad | \div 2$
$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

Vi ser at linjene skjærer i punktet $(3, 2)$ , altså der $x = 3$ og $y = 2$ .

Prøve: Setter vi inn $x = 3$ og $y = 2$ i det originale likningssettet:
- $I$ : $2 + 4 = 2 \cdot 3$ → $6 = 6$ ✓
- $II$ : $2 \cdot 2 - 1 = 3$ → $3 = 3$ ✓

Løsning: $x = 3$ og $y = 2$

📊Utforsk grafisk løsning

Prøv å tegne inn andre likningssett og finn skjæringspunktet.

📝Oppgave 1

Finn grafisk $x$ og $y$ slik at begge likningene er oppfylt samtidig. Tegn begge grafene for hånd og finn skjæringspunktet.

I

y = x - 3

II

y = -2x + 3

y + 3 = -x + 4

2y = 4x + 2

2x - y = x + 3

5 - x + y = 2y

Ingen løsninger og uendelig mange løsninger

Ikke alle likningssett har én løsning:

- Ingen løsninger: Dersom to linjer er parallelle (og ikke sammenfallende), vil de aldri møte hverandre. Eksempelvis vil $y = 2x - 2$ og $y = 2x + 3$ alltid ha en avstand på 5 når de har samme $x$ -verdi.

- Uendelig mange løsninger: Dersom linjene er sammenfallende (beskriver samme linje), har de uendelig mange felles punkter.

Innsettingsmetoden

Innsetting betyr å erstatte en variabel med en verdi eller et uttrykk. Vi kan bruke dette til å løse likningssett.

✏️Eksempel 2: Innsetting av tall

La $x = -3$ . Bruk innsetting og løs likningene for $y$ .

a) $y + x = 2$

b) $2x - y = 8$

c) $x(y - 2) = 6$

y + x = 2

y + (-3) = 2

y - 3 = 2 \quad | +3

y = 5

b) $2x - y = 8$
$2 \cdot (-3) - y = 8$
$-6 - y = 8 \quad | +6$
$-y = 14 \quad | \cdot (-1)$
$y = -14$

c) $x(y - 2) = 6$
$-3(y - 2) = 6$
$-3y + 6 = 6 \quad | -6$
$-3y = 0 \quad | \div (-3)$
$y = 0$

📝Oppgave 2

La $x = -2$ . Bruk dette til å finne verdien av $y$ .

y = x - 3

y = -x + 3

y = 3x - 2

y - 4 = x

2y + 4x = 10

x(y + 3) = 6

Løs oppgaven Tren

Innsetting av variabler og uttrykk

Vi kan også erstatte variabler med hele uttrykk istedenfor kun tall. Dette er nøkkelen til å løse likningssett.

✏️Eksempel 3: Innsetting av uttrykk

Løs likningssettet ved hjelp av innsettingsmetoden:

$I$ : $x = 5y$

$II$ : $2x - 8y = 8$

Likning $I$ sier at $x = 5y$ . Vi kan derfor erstatte $x$ i likning $II$ med $5y$ .

$I \to II$ :
$2 \cdot 5y - 8y = 8$
$10y - 8y = 8$
$2y = 8 \quad | \div 2$
$y = 4$

Vi har nå funnet $y = 4$ . Dette setter vi inn i likning $I$ :

$x = 5 \cdot y$
$x = 5 \cdot 4$
$x = 20$

Løsning: $x = 20$ og $y = 4$

Notasjon:
-

I \to II

betyr at vi bruker informasjon fra likning

I

i likning

II

.
-

II^*

betyr den omformede likning

II

📝Oppgave 3

Løs likningssettene (finn verdien av $x$ og av $y$ ) ved hjelp av innsettingsmetoden.

x = 2y

3x + y = 14

x = y + 3

2x + 4y = 12

2x = 6y

x + 7y = 40

Likningssett løst ved hjelp av innsettingsmetoden

I vanlige likningssett med 2 ukjente bruker vi enten $I$ eller $II$ og løser for enten $x$ eller $y$ . Hvilken av likningene vi velger å bruke og hvilken variabel vi løser for kommer an på hva vi tenker blir enklest å gjennomføre.

✏️Eksempel 4: Innsettingsmetoden

Løs likningssettet ved hjelp av innsettingsmetoden:

$I$ : $x + 3y = 8$

$II$ : $2x - 2y = 8$

Steg 1: Vi løser likning

I

for

x

(enklest):

x + 3y = 8 \quad | -3y

x = -3y + 8

Steg 2: Setter dette inn i likning $II$ :
$2(-3y + 8) - 2y = 8$
$-6y + 16 - 2y = 8 \quad | -16$
$-8y = -8 \quad | \div (-8)$
$y = 1$

Steg 3: Setter $y = 1$ inn i uttrykket for $x$ :
$x = -3 \cdot 1 + 8 = -3 + 8 = 5$

Løsning: $x = 5$ og $y = 1$

Tips: Velg alltid å løse for den variabelen som gir det enkleste uttrykket. Hvis en variabel allerede har koeffisient 1 (som

x

i likning

I

over), er det som regel lurt å løse for denne.

✏️Eksempel 5: Innsettingsmetoden (fortsatt)

Løs likningssettet:

$I$ : $2x + 5y = 9$

$II$ : $3x - y = 5$

Her er det enklest å løse likning

II

for

y

(koeffisient

-1

$3x - y = 5 \quad | +y - 5$
$3x - 5 = y$

Setter inn i likning $I$ :
$2x + 5(3x - 5) = 9$
$2x + 15x - 25 = 9 \quad | +25$
$17x = 34 \quad | \div 17$
$x = 2$

Finner $y$ :
$y = 3 \cdot 2 - 5 = 6 - 5 = 1$

Løsning: $x = 2$ og $y = 1$

📝Oppgave 4

Løs likningssettene ved hjelp av innsettingsmetoden.

2x - y = 8

x - 3y = -1

3x - y = 0

6x + y = 9

x + 2y = 7

3x - y = 7

5x - 3y = 1

x - y = -1

x - 2y = 5

3x - 3y = 9

2a - 4b + 2 = 0

7a - b = 6

📝Oppgave 5

Løs likningssettene ved hjelp av innsettingsmetoden.

3x + 4y = 2

4x + 2y - 6 = 0

2x + 4y - 8 = 0

3x + 2y = 8

Addisjonsmetoden

I et likningssett vil alltid begge likningene gjelde samtidig. Det vil også si at dersom vi legger sammen venstresidene i $I$ og $II$ , så vil summen av disse være lik summen av høyresidene.

Dette kan vi bruke til å fjerne $x$ eller $y$ i en av likningene slik at vi kun står igjen med én ukjent.

✏️Eksempel 6: Addisjonsmetoden (enkel)

Løs likningssettet ved hjelp av addisjonsmetoden:

$I$ : $2x + 4y = 14$

$II$ : $-2x - 2y = -8$

Vi legger sammen likning

I

II

$I + II: \quad (2x + 4y) + (-2x - 2y) = 14 + (-8)$
$2x + 4y - 2x - 2y = 14 - 8$
$2y = 6$
$y = 3$

Setter $y = 3$ inn i likning $I$ :
$2x + 4 \cdot 3 = 14$
$2x + 12 = 14 \quad | -12$
$2x = 2 \quad | \div 2$
$x = 1$

Løsning: $x = 1$ og $y = 3$

📝Oppgave 6

Løs likningssettene ved å bruke addisjonsmetoden.

-x - y = 6

x + 2y = -9

2x - y = 6

-2x + 2y = -4

3x + y = 6

2x - y = -4

Som du kanskje har tenkt, er det ikke alltid slik at en av variablene forsvinner bare du legger sammen likning $I$ og $II$ .

For å løse dette multipliserer vi én eller begge likningene slik at de får en lik konstant (med motsatt fortegn) foran enten $x$ eller $y$ .

✏️Eksempel 7: Addisjonsmetoden med multiplikasjon

Løs likningssettet ved hjelp av addisjonsmetoden:

$I$ : $x + 3y = 8$

$II$ : $2x - 2y = 8$

For å fjerne

x

ganger vi likning

I

med

(-2)

$-2 \cdot I: \quad -2x - 6y = -16$

Nå legger vi sammen med $II$ :
$II + (-2 \cdot I): \quad 2x - 2y + (-2x - 6y) = 8 + (-16)$
$-8y = -8 \quad | \div (-8)$
$y = 1$

Setter $y = 1$ inn i likning $I$ :
$x + 3 \cdot 1 = 8$
$x = 8 - 3 = 5$

Løsning: $x = 5$ og $y = 1$

📝Oppgave 7

Løs likningssettene ved hjelp av addisjonsmetoden.

2x + 3y = 8

4x + 2y = 8

x + 3y = 8

3x - y = 4

-2x + 3y = 7

x - 5y = -14

x - 3y = -5

-2x + 3y = 7

✏️Eksempel 8: Addisjonsmetoden (begge multipliseres)

Løs likningssettet ved hjelp av addisjonsmetoden:

$I$ : $3x + 5y = 2$

$II$ : $2x - 2y = -4$

Vi ganger opp begge likningene slik at vi får like mange av enten

x

eller

y

. Vi velger å få

6x

i begge:

$2 \cdot I: \quad 6x + 10y = 4$
$3 \cdot II: \quad 6x - 6y = -12$

Nå trekker vi den ene fra den andre:
$2I - 3II: \quad 16y = 16 \quad | \div 16$
$y = 1$

Setter $y = 1$ inn i likning $II$ :
$2x - 2 \cdot 1 = -4 \quad | +2$
$2x = -2 \quad | \div 2$
$x = -1$

Løsning: $x = -1$ og $y = 1$

📝Oppgave 8

Løs likningssettene ved hjelp av addisjonsmetoden.

x + 3y = 5

4x + 2y = 10

2x + 3y = 5

3x - 2y = -12

-2x + 3y = -8

5x - 5y = 10

-3x - 4y = -14

-2x + 3y = 19

Likningssett med 3 ukjente

Metoden kan utvides til likningssett med tre ukjente ( $x$ , $y$ og $z$ ). Vi trenger da tre likninger.

Strategi:
1. Bruk én likning til å uttrykke én variabel
2. Sett dette uttrykket inn i de to andre likningene
3. Nå har du to likninger med to ukjente (som du kan løse som før)
4. Sett tilbake for å finne alle tre variablene

✏️Eksempel 9: Tre ukjente

Løs likningssettet ved hjelp av innsettingsmetoden:

$I$ : $x + 3y + z = 4$

$II$ : $2x - 2y - z = 1$

$III$ : $2x - y + 2z = -6$

Steg 1: Løs likning

I

for

x

x = 4 - 3y - z

Steg 2: Sett inn i likning $II$ :
$2(4 - 3y - z) - 2y - z = 1$
$8 - 6y - 2z - 2y - z = 1$
$-8y - 3z = -7 \quad (II^*)$

Steg 3: Sett inn i likning $III$ :
$2(4 - 3y - z) - y + 2z = -6$
$8 - 6y - 2z - y + 2z = -6$
$-7y = -14$
$y = 2 \quad (III^*)$

Steg 4: Sett $y = 2$ inn i $(II^*)$ :
$-8 \cdot 2 - 3z = -7$
$-16 - 3z = -7 \quad | +16$
$-3z = 9$
$z = -3$

Steg 5: Sett $y = 2$ og $z = -3$ inn i uttrykket for $x$ :
$x = 4 - 3 \cdot 2 - (-3) = 4 - 6 + 3 = 1$

Løsning: $x = 1$ , $y = 2$ og $z = -3$

📝Oppgave 9

Løs likningssettene ved hjelp av innsettingsmetoden.

2x - 3y - 3z = 8

x - 2y - 2z = 5

x - y + z = 7

x + 5y + 2z = -5

x - y - 2z = -3

4x - 3y + z = 21

📝Oppgave 10

Løs likningssettene ved hjelp av innsettingsmetoden.

x + 2y + z = 1

x - 2y + 3z = 15

3x - 3y + 2z = 18

x - 3y + 3z = -4

5x - y - 2z = -15

x - y + 2z = 1

2x + y + z = 0

x - 2y + 2z = 2

3x - 2y + 2z = -2

2x + 5y + z = 6

x - 3y - 2z = 6

x - 3y + z = 9

Å sette opp og løse likningssett fra reelle situasjoner

Likningssett er veldig nyttige for å løse praktiske problemer der vi har flere ukjente størrelser og flere betingelser som skal oppfylles.

✏️Eksempel 10: Praktisk oppgave

Mor sender Mari i butikken på to forskjellige anledninger. Prisene i butikken er den samme ved begge besøkene.

Ved første besøk kjøpte Mari 5 kg poteter og 2 kg gulrøtter og betalte 58 kroner.
Ved andre besøk kjøpte Mari 3 kg poteter og 5 kg gulrøtter og betalte 50 kroner.

a) Sett opp et likningssett som beskriver situasjonen.
b) Løs likningssettet og finn prisen per kg for poteter og gulrøtter.

x

være prisen per kg poteter og

y

være prisen per kg gulrøtter.

a) Likningssettet:
$I: \quad 5x + 2y = 58$
$II: \quad 3x + 5y = 50$

b) Løsning med addisjonsmetoden:

Multipliser $I$ med 5 og $II$ med $(-2)$ :
$5I: \quad 25x + 10y = 290$
$-2 \cdot II: \quad -6x - 10y = -100$

Legger sammen:
$19x = 190$
$x = 10$

Setter inn i $I$ :
$5 \cdot 10 + 2y = 58$
$50 + 2y = 58$
$2y = 8$
$y = 4$

Svar: Poteter koster 10 kr/kg og gulrøtter koster 4 kr/kg.

📝Oppgave 11

Et år har et taxiselskap en fast oppstartsgebyr i tillegg til en fastpris per km kjørt. Kåre har brukt taxiselskapet i januar og i februar.

I januar brukte han taxiselskapet 2 ganger og kjørte til sammen 30 km, han betalte sammenlagt 700 kroner.
I februar brukte han taxi 3 ganger og kjørte til sammen 60 km, i februar betalte han sammenlagt 1350 kroner.

Sett opp et likningssett og regn ut oppstartsgebyret og fastprisen per km til taxiselskapet.

📝Oppgave 12

På et offentlig arrangement er prisen 100 kroner for voksne og 50 kroner for barn. Dersom en familie ønsker mat inkludert koster det 30 kroner ekstra per barn og 50 kroner ekstra per voksen.

Familiene Storhaug og Kronsteen betaler til sammen 650 kroner for showet og 350 kroner for mat (til alle).

Hvor mange voksne og hvor mange barn var det til sammen i de to familiene?

Oppsummering: Metoder for å løse likningssett

Grafisk løsning: Tegn begge likningene som linjer og finn skjæringspunktet. Innsettingsmetoden: 1. Løs én likning for én variabel 2. Sett uttrykket inn i den andre likningen 3. Løs for den gjenværende variabelen 4. Sett tilbake for å finne den første Addisjonsmetoden: 1. Multipliser likningene slik at én variabel har like koeffisienter med motsatt fortegn 2. Legg sammen likningene for å eliminere variabelen 3. Løs for den gjenværende variabelen 4. Sett tilbake for å finne den første

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært å løse likningssett med to (og tre) ukjente:

- Grafisk løsning: Tegn begge linjene — løsningen er skjæringspunktet. Parallelle linjer gir ingen løsning, sammenfallende linjer gir uendelig mange
- Innsettingsmetoden: Løs den ene likningen for én variabel, og sett uttrykket inn i den andre likningen
- Addisjonsmetoden: Gang likningene med passende tall og legg dem sammen slik at én variabel forsvinner
- Tre ukjente: Kombiner likningene for å eliminere én og én variabel
- Praktiske oppgaver: Velg variabler, sett opp likningene fra teksten, og løs settet

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Likningssett	To eller flere likninger som skal gjelde samtidig
Innsettingsmetoden	Sett et uttrykk for én variabel inn i den andre likningen
Addisjonsmetoden	Legg sammen likninger slik at en variabel elimineres

Husk

- Løsningen av et likningssett er et tallpar

(x, y)

som passer i alle likningene
- Sett alltid prøve ved å sette løsningen inn i begge likningene

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.