2.1 Grunnleggende likninger | Matematikk 1T

Lær grunnleggende teknikker for å løse førstegradslikninger med addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon.

90 min

20 oppgaver

Lineære likningerLikningsløsningBrøklikningerParenteslikninger

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 20 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

2.8Praktisk bruk av likninger 4.1Likningssett 4.2Lineære ulikheter

Likninger med addisjon og subtraksjon

Før du begynner på dette kapitlet er det viktig at du har pluss og minus (med parenteser) ordentlig på plass.

Hovedprinsippet for å løse likninger er at vi alltid gjør det samme på begge sider av likhetstegnet. Når vi skriver $| - 5$ betyr det at vi trekker fra 5 på begge sider av likheten.

✏️Eksempel 1

Løs likningene:

a) $x + 5 = 4$

b) $x - 1 = 4$

Løsning:

a) $x + 5 = 4 \quad | - 5$
$x + 5 - 5 = 4 - 5$
$x = -1$

b) $x - 1 = 4 \quad | + 1$
$x - 1 + 1 = 4 + 1$
$x = 5$

📝Oppgave 1

Løs likningene

x + 3 = 5

x - 9 = 3

x - 20 = 0

x + 200 = -100

x + 22 = 10

x + 10 = -2

Løs oppgaven Tren

Likninger med variabler på begge sider

For å forstå denne delen er det viktig å forstå veldig enkel algebra.

Eksempler på det du må kunne er at:
- $2x + 3x = 5x$
- $7x - 6x = x$

Vi får heller ikke lov til å blande konstanter og variabler. $3x + 3 + 2x = 5x + 3$ - vi kan ikke legge sammen $5x$ og $3$ uten å vite hva $x$ er.

✏️Eksempel 2

Løs likningene:

a) $4 = x - 2$

b) $2x + 4 = x$

Løsning:

a) $4 = x - 2 \quad | + 2$
$6 = x$
$x = 6$ (Når $6 = x$ så er også $x = 6$ )

b) $2x + 4 = x \quad | - 4$
$2x = x - 4 \quad | - x$
$2x - x = x - 4 - x$
$x = -4$

📝Oppgave 2

Løs likningene

3 = x - 5

4 = x + 3

2x - 2 = x

3x + 31 = 2x

x + 22 = 2x

4x + 10 = 3x - 2

Løs oppgaven Tren

Likninger med multiplikasjon og divisjon

Når vi har likninger der $x$ er ganget med et tall, må vi dele begge sider på dette tallet for å finne $x$ .

✏️Eksempel 3

Løs likningene:

a) $3x = 12$

b) $4x - 3 = 17$

Løsning:

a) $3x = 12 \quad | \div 3$
$\displaystyle \frac{3x}{3} = \frac{12}{3}$
$x = 4$

b) $4x - 3 = 17 \quad | + 3$
$4x = 20 \quad | \div 4$
$x = 5$

📝Oppgave 3

Løs likningene

5x = 20

4x = -12

5x + 10 = 15

30x - 100 = 200

9x - 22 = -40

4x + 18 = 10

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 4

Løs likningene:

a) $8x + 15 = 3x$

b) $4x - 5 = 2x + 11$

c) $-4x = 20$

Løsning:

a) $8x + 15 = 3x \quad | - 3x$
$5x + 15 = 0 \quad | - 15$
$5x = -15 \quad | \div 5$
$x = -3$

b) $4x - 5 = 2x + 11 \quad | - 2x$
$2x - 5 = 11 \quad | + 5$
$2x = 16 \quad | \div 2$
$x = 8$

c) $-4x = 20 \quad | \div (-4)$
$\displaystyle \frac{-4x}{-4} = \frac{20}{-4}$
$x = -5$

📝Oppgave 4

Løs likningene

10x - 9 = 7x

4x + 10 = -x

5x + 10 = 4x + 5

-3x = 30

-7x = -10 + 3x

-4x + 8 = 2x + 44

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 5

Løs likningene:

a) $\displaystyle \frac{x}{2} = 5$

b) $\displaystyle \frac{x}{-3} + 2 = 6$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{x}{2} = 5 \quad | \cdot 2$
$\displaystyle \frac{x}{2} \cdot 2 = 5 \cdot 2$
$x = 10$

b) $\displaystyle \frac{x}{-3} + 2 = 6 \quad | - 2$
$\displaystyle \frac{x}{-3} = 4 \quad | \cdot (-3)$
$x = -12$

📝Oppgave 5

Løs likningene

\displaystyle \frac{x}{3} = 2

\displaystyle \frac{x}{-5} = -2

\displaystyle \frac{x}{2} + 10 = 12

\displaystyle \frac{x}{4} - 3 = -5

\displaystyle 110 = \frac{x}{8} + 10

\displaystyle 10 = 8 + \frac{x}{-3}

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 6

Løs likningene:

a) $\displaystyle \frac{2x}{3} = 6$

b) $\displaystyle \frac{5x}{2} - 4 = -9$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{2x}{3} = 6 \quad | \cdot 3$
$2x = 18 \quad | \div 2$
$x = 9$

b) $\displaystyle \frac{5x}{2} - 4 = -9 \quad | + 4$
$\displaystyle \frac{5x}{2} = -5 \quad | \cdot 2$
$5x = -10 \quad | \div 5$
$x = -2$

📝Oppgave 6

Løs likningene

\displaystyle \frac{3x}{5} = 6

\displaystyle \frac{2x}{3} = -8

\displaystyle \frac{3x}{2} - 2 = 7

\displaystyle -15 + \frac{5x}{4} = -5

\displaystyle 3 = \frac{3x}{8} + 6

\displaystyle \frac{10x}{-30} + 8 = -2

Løs oppgaven Tren

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 7 oppgaver

Grunnleggende likninger del 2

Likninger med brøker og parenteser

Før du begynner på del to av grunnleggende likninger er det viktig at du har brøkregning ordentlig på plass.

✏️Eksempel 7

Løs likningene:

a) $\displaystyle \frac{30}{2x} = 5$

b) $\displaystyle \frac{3}{x + 2} = 2$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{30}{2x} = 5 \quad | \cdot 2x$
$30 = 10x$
$10x = 30 \quad | \div 10$
$x = 3$

b) $\displaystyle \frac{3}{x + 2} = 2 \quad | \cdot (x + 2)$
$\displaystyle \frac{3(x + 2)}{x + 2} = 2(x + 2)$
$3 = 2(x + 2)$
$3 = 2x + 4$
$2x + 4 = 3 \quad | - 4$
$2x = -1 \quad | \div 2$
$\displaystyle x = -\frac{1}{2}$

📝Oppgave 7

Løs likningene

\displaystyle \frac{6}{x} = 2

\displaystyle \frac{2}{3x} = 2

\displaystyle \frac{2}{x} - 2 = 7

\displaystyle \frac{3}{x + 2} = 1

\displaystyle 3 = \frac{-2}{x - 3} + 6

\displaystyle \frac{2}{2x - 5} = -2

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 8

Løs likningene:

a) $\displaystyle \frac{x - 3}{2} = x + 1$

b) $\displaystyle \frac{3x + 1}{x + 3} = 2$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{x - 3}{2} = x + 1 \quad | \cdot 2$
$x - 3 = 2(x + 1)$
$x - 3 = 2x + 2 \quad | + 3$
$x = 2x + 5 \quad | - 2x$
$-x = 5 \quad | \cdot (-1)$
$x = -5$

b) $\displaystyle \frac{3x + 1}{x + 3} = 2 \quad | \cdot (x + 3)$
$3x + 1 = 2(x + 3)$
$3x + 1 = 2x + 6 \quad | - 1$
$3x = 2x + 5 \quad | - 2x$
$x = 5$

📝Oppgave 8

Løs likningene

\displaystyle \frac{4x - 6}{3} = x + 3

\displaystyle \frac{3x}{x + 1} = 2

\displaystyle \frac{13x + 2}{2x} = 7

\displaystyle \frac{x + 1}{4} - 15 = -5

\displaystyle 3 = \frac{x - 1}{8} + 6

\displaystyle \frac{3 - x}{x} + 8 = -2

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 9

Løs likningene:

a) $\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{2}{3} = 1$

b) $\displaystyle \frac{2x}{3} - \frac{2}{5} = 1$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{2}{3} = 1 \quad | - \frac{2}{3}$
$\displaystyle \frac{x}{2} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$
$\displaystyle \frac{x}{2} = \frac{1}{3} \quad | \cdot 2$
$\displaystyle x = \frac{2}{3}$

b) $\displaystyle \frac{2x}{3} - \frac{2}{5} = 1 \quad | + \frac{2}{5}$
$\displaystyle \frac{2x}{3} = \frac{5}{5} + \frac{2}{5}$
$\displaystyle \frac{2x}{3} = \frac{7}{5} \quad | \cdot 3$
$\displaystyle 2x = \frac{21}{5} \quad | \div 2$
$\displaystyle x = \frac{21}{10}$

📝Oppgave 9

Løs likningene

\displaystyle \frac{x}{4} + \frac{1}{3} = 1

\displaystyle \frac{2x}{3} - \frac{2}{2} = 1

\displaystyle \frac{3x}{2} = \frac{1}{3}

\displaystyle \frac{x}{10} + \frac{3}{2} = \frac{1}{5}

\displaystyle \frac{3x}{2} = \frac{1}{5} - 2

\displaystyle \frac{1}{4} = \frac{x}{2} - 3

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 10

Løs likningen:

$\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 1$

Løsning alternativ 1 (finn fellesnevner):

\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 1

\displaystyle \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{x \cdot 2}{3 \cdot 2} = 1

\displaystyle \frac{3x}{6} + \frac{2x}{6} = 1

\displaystyle \frac{3x + 2x}{6} = 1

\displaystyle \frac{5x}{6} = 1 \quad | \cdot 6

5x = 6 \quad | \div 5

\displaystyle x = \frac{6}{5}

Løsning alternativ 2 (gang med fellesnevner):
$\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 1 \quad | \cdot 6$
$\displaystyle \frac{6 \cdot x}{2} + \frac{6 \cdot x}{3} = 1 \cdot 6$
$3x + 2x = 6$
$5x = 6 \quad | \div 5$
$\displaystyle x = \frac{6}{5}$

📝Oppgave 10

Løs likningene

\displaystyle \frac{x}{4} + \frac{x}{3} = 1

\displaystyle \frac{2x}{3} - \frac{x}{2} = 1

\displaystyle \frac{3x}{2} = \frac{x}{4}

\displaystyle \frac{2x}{5} = -\frac{x}{2} + 10

\displaystyle 4 = \frac{3x}{7} + x

\displaystyle \frac{x}{2} - \frac{x}{6} = \frac{x}{4} - 1

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 11

Løs likningene:

a) $3(x - 2) = 4$

b) $4 - 2(x + 1) = 22$

Løsning:

a) $3(x - 2) = 4$
$3x - 6 = 4 \quad | + 6$
$3x = 10 \quad | \div 3$
$\displaystyle x = \frac{10}{3}$

b) $4 - 2(x + 1) = 22 \quad | - 4$
$-2(x + 1) = 18$
$-2x - 2 = 18 \quad | + 2$
$-2x = 20 \quad | \div (-2)$
$x = -10$

📝Oppgave 11

Løs likningene

2(x - 1) = 4

5(x - 2) = 3

2 + 3(x - 1) = 5

5(x + 1) = 2(x - 1)

6 - 3(x + 2) = x

-2(3x - 15) = 8x - (-x)

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 12

Løs likningene:

a) $\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{2x - 4}{2} = 5$

b) $\displaystyle \frac{2x}{x + 1} - \frac{3}{2} = 2$

Løsning:

a) $\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{2x - 4}{2} = 5 \quad | \cdot 2$
$1 - (2x - 4) = 10$
$1 - 2x + 4 = 10 \quad | - 1 - 4$
$-2x = 5 \quad | \div (-2)$
$\displaystyle x = -\frac{5}{2}$

b) Vi ser at fellesnevner blir $2(x + 1)$ . Gang med dette på begge sider:
$\displaystyle \frac{2x}{x + 1} - \frac{3}{2} = 2$
$\displaystyle \frac{2 \cdot 2x}{2(x + 1)} - \frac{3(x + 1)}{2(x + 1)} = 2$
$\displaystyle \frac{4x - 3(x + 1)}{2(x + 1)} = 2$
$\displaystyle \frac{4x - 3x - 3}{2(x + 1)} = 2$
$\displaystyle \frac{x - 3}{2x + 2} = 2 \quad | \cdot (2x + 2)$
$x - 3 = 4x + 4 \quad | - 4x + 3$
$-3x = 7 \quad | \div (-3)$
$\displaystyle x = -\frac{7}{3}$

📝Oppgave 12

Løs likningene

\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{x + 1}{2} = 4

\displaystyle \frac{1}{3} - \frac{x - 2}{2} = 2

\displaystyle \frac{x}{x + 2} - \frac{1}{2} = 1

\displaystyle \frac{2x - 1}{x + 5} = -\frac{3}{2}

\displaystyle \frac{5x - 1}{2x + 1} + \frac{1}{2} = -\frac{5}{2}

\displaystyle \frac{5x - 1}{-x + 1} = \frac{1}{2} - \frac{5}{3}

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 13

Løs likningen:

$\displaystyle \frac{3}{4}\left(\frac{1}{3} - x\right) + 2x = 5$

Løsning:

\displaystyle \frac{3}{4}\left(\frac{1}{3} - x\right) + 2x = 5

\displaystyle \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} - \frac{3}{4} \cdot x + 2x = 5

\displaystyle \frac{1}{4} - \frac{3x}{4} + 2x = 5 \quad | \cdot 4

1 - 3x + 8x = 20 \quad | - 1

5x = 19 \quad | \div 5

\displaystyle x = \frac{19}{5}

📝Oppgave 13

Løs likningene

\displaystyle \frac{1}{2}(1 - x) = 5

\displaystyle \frac{1}{4}\left(\frac{x}{3} - 1\right) = 1

\displaystyle \frac{3}{5}\left(5 - \frac{x}{3}\right) + 2x = 2

\displaystyle \frac{3}{7}\left(x - \frac{1}{2}\right) = 5 - x

\displaystyle \frac{5x}{4}\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right) = \frac{x}{2} - 1

\displaystyle \frac{x}{4} - 1 = x\left(\frac{1}{3} - 2\right)

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

- Løse likninger: Gjør samme operasjon på begge sider av likhetstegnet for å isolere $x$
- Addisjon/subtraksjon: $x + a = b \Rightarrow x = b - a$
- Multiplikasjon/divisjon: $\displaystyle ax = b \Rightarrow x = \frac{b}{a}$
- Brøklikninger: $\displaystyle \frac{x}{a} = b \Rightarrow x = ab$ (gang begge sider med nevneren)
- Likninger med brøker: $\displaystyle \frac{a}{x} = b \Rightarrow a = bx \Rightarrow x = \frac{a}{b}$
- Flere brøker: Finn fellesnevner og gang hele likningen med denne
- Parenteser: Multipliser ut før du løser likningen
- Husk å sjekke svaret ved å sette det inn i den opprinnelige likningen

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.