2.1 Grunnleggende likninger

Jakten på den ukjente

Forestill deg en gammel balanseveie som står på et bord. På venstre side ligger det noen lodd og en mystisk boks merket $x$. På høyre side ligger det andre lodd. Vekten er i perfekt balanse. Oppgaven din er å finne ut hvor mye den mystiske boksen veier, uten å åpne den.

Det er akkurat dette en likning er: et utsagn om at to ting er like. Likhetstegnet $=$ er selve vippepunktet på vekten. Alt vi gjør for å finne $x$ handler om én eneste grunnregel: det vi gjør på den ene siden, må vi også gjøre på den andre. Legger du til et lodd på venstre side, må du legge til det samme på høyre. Tar du bort noe fra den ene, tar du bort det samme fra den andre. Slik holder vi balansen hele veien.

I dette kapittelet skal vi begynne med de enkleste likningene og bygge oss opp steg for steg – fra addisjon og subtraksjon, gjennom multiplikasjon og divisjon, til brøker og parenteser.

Addisjon og subtraksjon – flytte ledd over likhetstegnet

La oss starte med den enkleste typen likning. Du har $x + 5 = 4$, og du vil finne ut hva $x$ er. Tenk på vekten igjen: boksen $x$ og et lodd på 5 ligger på venstre side, og et lodd på 4 ligger på høyre. For å få $x$ alene må vi fjerne femtallet. Vi trekker fra 5 på begge sider: $x + 5 - 5 = 4 - 5$, som gir $x = -1$. Vi skriver ofte dette kort som $x + 5 = 4 \quad | - 5$, der den loddrette streken betyr «gjør dette på begge sider».

Hva med $x - 1 = 4$? Her er det en $-1$ som plager oss, så vi legger til 1 på begge sider: $x - 1 + 1 = 4 + 1$, altså $x = 5$.

Noen ganger er det $x$ som står på høyre side i stedet, som i $4 = x - 2$. Det er ingen grunn til å bli forvirret – vi legger bare til 2 på begge sider og får $6 = x$. Og når $6 = x$, så er jo $x = 6$.

Det blir litt mer spennende når $x$ dukker opp på begge sider av likhetstegnet. Ta $2x + 4 = x$. Her må vi samle alle $x$-ene på én side. Vi trekker fra $x$ på begge sider: $2x + 4 - x = x - x$, som gir $x + 4 = 0$. Trekker vi fra 4 får vi $x = -4$. Huskeregelen er enkel: samle $x$-leddene på én side og tallene på den andre.

Ta et litt større eksempel: $4x + 10 = 3x - 2$. Vi trekker fra $3x$ på begge sider: $x + 10 = -2$. Deretter trekker vi fra 10: $x = -12$.

Multiplikasjon og divisjon – når $x$ er ganget med noe

Nå som vi mestrer addisjon og subtraksjon, legger vi til et nytt verktøy. Hva gjør du når $x$ er ganget med et tall, som i $3x = 12$? Du kan tenke på det slik: tre like bokser veier til sammen 12. Hva veier én boks? Du deler selvfølgelig på 3. Vi skriver $3x = 12 \quad | \div 3$, og får $x = 4$.

Ofte dukker både addisjon og multiplikasjon opp i samme likning. Ta $4x - 3 = 17$. Her gjør vi det i to steg: først fjerner vi $-3$ ved å legge til 3 på begge sider ($4x = 20$), og så deler vi på 4 ($x = 5$). Rekkefølgen er viktig: fjern addisjon og subtraksjon først, del eller gang etterpå.

Hva med $x$-ledd på begge sider og multiplikasjon? Ta $8x + 15 = 3x$. Vi trekker fra $3x$ på begge sider: $5x + 15 = 0$. Deretter trekker vi fra 15: $5x = -15$. Til slutt deler vi på 5: $x = -3$.

En situasjon som lurer mange er negative koeffisienter. Hva gjør du med $-4x = 20$? Du deler på $-4$, og minus delt på minus gir pluss, men her er det $20 \div (-4) = -5$. Altså $x = -5$. Husk: deler du et positivt tall med et negativt, blir svaret negativt.

Det finnes også likninger der $x$ er delt på et tall. For eksempel $\displaystyle \frac{x}{2} = 5$. Her ganger vi begge sider med 2: $x = 10$. Eller $\displaystyle \frac{x}{-3} + 2 = 6$. Først trekker vi fra 2: $\displaystyle \frac{x}{-3} = 4$. Deretter ganger vi med $-3$: $x = -12$.

Hva med uttrykk som $\displaystyle \frac{2x}{3} = 6$? Her ganger vi først med 3 for å fjerne nevneren: $2x = 18$. Deretter deler vi på 2: $x = 9$. Regelen er alltid den samme: gang med nevneren for å fjerne brøken, deretter del på koeffisienten foran $x$.

Brøklikninger – når $x$ gjemmer seg i nevneren

Nå tar vi et steg opp i vanskelighetsgrad. Hva gjør du når den ukjente $x$ befinner seg i nevneren til en brøk? For eksempel $\displaystyle \frac{30}{2x} = 5$. Trikset er å gange begge sider med hele nevneren, altså $2x$. Da forsvinner brøken på venstre side: $30 = 5 \cdot 2x = 10x$. Nå har vi en vanlig likning, og vi deler på 10: $x = 3$.

La oss prøve en litt vanskeligere variant: $\displaystyle \frac{3}{x + 2} = 2$. Her er nevneren hele uttrykket $x + 2$. Vi ganger begge sider med $(x + 2)$: $3 = 2(x + 2)$. Nå ganger vi ut parentesen: $3 = 2x + 4$. Vi trekker fra 4: $-1 = 2x$, og deler på 2: $\displaystyle x = -\frac{1}{2}$.

Hva med likninger der brøken inneholder $x$ i telleren? Ta $\displaystyle \frac{x - 3}{2} = x + 1$. Vi ganger begge sider med 2: $x - 3 = 2(x + 1) = 2x + 2$. Trekker vi fra $x$ på begge sider: $-3 = x + 2$. Trekker fra 2: $x = -5$.

Noen ganger møter du likninger med flere brøker, som $\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{2}{3} = 1$. Her kan du trekke fra $\displaystyle \frac{2}{3}$ på begge sider: $\displaystyle \frac{x}{2} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$. Deretter ganger du med 2: $\displaystyle x = \frac{2}{3}$.

Den kraftigste teknikken for flere brøker er å gange hele likningen med fellesnevneren. Ta $\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 1$. Fellesnevneren er 6. Vi ganger hvert ledd med 6: $\displaystyle \frac{6x}{2} + \frac{6x}{3} = 6$, altså $3x + 2x = 6$, som gir $5x = 6$ og $\displaystyle x = \frac{6}{5}$.

Parenteslikninger – gang ut, så løs

Hva gjør du når likningen inneholder parenteser? Du ganger dem ut, selvfølgelig. Ta likningen $3(x - 2) = 4$. Først bruker vi distributiv lov: $3x - 6 = 4$. Nå er det en vanlig likning. Vi legger til 6 på begge sider: $3x = 10$, og deler på 3: $\displaystyle x = \frac{10}{3}$.

La oss se på en likning med en litt mer krevende struktur: $4 - 2(x + 1) = 22$. Først trekker vi fra 4: $-2(x + 1) = 18$. Nå ganger vi ut: $-2x - 2 = 18$. Legger til 2: $-2x = 20$. Deler på $-2$: $x = -10$.

Hva med parenteser på begge sider? Ta $5(x + 1) = 2(x - 1)$. Vi ganger ut begge: $5x + 5 = 2x - 2$. Trekker fra $2x$: $3x + 5 = -2$. Trekker fra 5: $3x = -7$. Deler på 3: $\displaystyle x = -\frac{7}{3}$.

Det finnes også likninger som kombinerer brøker og parenteser. Ta $\displaystyle \frac{1}{2}(1 - x) = 5$. Vi ganger ut: $\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{x}{2} = 5$. Ganger hele likningen med 2: $1 - x = 10$. Trekker fra 1: $-x = 9$. Ganger med $-1$: $x = -9$.

En enda mer krevende variant: $\displaystyle \frac{3}{4}\left(\frac{1}{3} - x\right) + 2x = 5$. Her ganger vi $\displaystyle \frac{3}{4}$ med hvert ledd inne i parentesen: $\displaystyle \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} - \frac{3}{4} \cdot x + 2x = 5$, som gir $\displaystyle \frac{1}{4} - \frac{3x}{4} + 2x = 5$. Ganger vi hele likningen med 4: $1 - 3x + 8x = 20$, altså $1 + 5x = 20$. Trekker fra 1: $5x = 19$, og $\displaystyle x = \frac{19}{5}$.

Sammensatte brøklikninger – den store finalen

Nå er vi klare for de mest krevende likningene i dette kapittelet: likninger med flere brøker, uttrykk i nevneren og parenteser. Strategien er den samme som alltid, men vi trenger å kombinere alle teknikkene vi har lært.

Ta $\displaystyle \frac{1}{2} - \frac{2x - 4}{2} = 5$. Begge brøkene har nevner 2, så vi ganger hele likningen med 2: $1 - (2x - 4) = 10$. Husk parentesen! Vi løser opp: $1 - 2x + 4 = 10$, altså $5 - 2x = 10$. Trekker fra 5: $-2x = 5$. Deler på $-2$: $\displaystyle x = -\frac{5}{2}$.

Et annet eksempel: $\displaystyle \frac{2x}{x + 1} - \frac{3}{2} = 2$. Her er fellesnevneren $2(x + 1)$. Vi ganger alle ledd med denne: $\displaystyle \frac{2(x+1) \cdot 2x}{x+1} - \frac{2(x+1) \cdot 3}{2} = 2 \cdot 2(x+1)$, som forenkles til $4x - 3(x + 1) = 4(x + 1)$. Vi ganger ut: $4x - 3x - 3 = 4x + 4$, altså $x - 3 = 4x + 4$. Trekker fra $x$: $-3 = 3x + 4$. Trekker fra 4: $-7 = 3x$, og $\displaystyle x = -\frac{7}{3}$.

Nøkkelen til å mestre disse oppgavene er å ta det steg for steg. Først identifiserer du fellesnevneren. Deretter ganger du hele likningen med den for å fjerne alle brøkene. Så ganger du ut eventuelle parenteser, samler $x$-leddene på én side og tallene på den andre, og til slutt deler du på koeffisienten foran $x$. Gjør du dette systematisk, vil selv de mest innviklede brøklikningene falle på plass.

Oppsummering

I dette kapittelet har vi lært å løse lineære likninger ved å bruke fire hovedteknikker:

Addisjon og subtraksjon er det grunnleggende verktøyet. Hovedprinsippet er at vi gjør det samme på begge sider av likhetstegnet. Vi bruker dette til å flytte ledd over likhetstegnet: $x + 5 = 4$ blir $x = 4 - 5 = -1$. Når $x$ er på begge sider, samler vi $x$-leddene på én side og konstantene på den andre.

Multiplikasjon og divisjon brukes når $x$ er ganget med eller delt på et tall. Ved $3x = 12$ deler vi på 3. Ved $\displaystyle \frac{x}{2} = 5$ ganger vi med 2. Fjern alltid addisjon og subtraksjon først, deretter del eller gang.

Brøklikninger løser vi ved å gange med nevneren for å fjerne brøkene. Når $x$ er i nevneren, ganger vi med hele nevneruttrykket. Når vi har flere brøker, finner vi fellesnevneren og ganger hele likningen med den.

Parenteslikninger krever at vi først ganger ut parentesene med distributiv lov, og deretter løser likningen som vanlig. Pass spesielt på fortegnene ved minus foran parenteser.