4.2 Lineære ulikheter | Matematikk 1T

Ulikheter av første grad

Vi løser førstegradsulikheter på samme måte som vi løser førstegradslikninger. Unntaket er dersom vi må gange eller dele med et negativt tall i ulikheten.

> Viktig regel: Når vi ganger eller deler med et negativt tall på begge sider av en ulikhet, må vi snu ulikhetstegnet.

Ulikhetstegnene

<

betyr "mindre enn"
-

>

betyr "større enn"
-

\leq

betyr "mindre enn eller lik"
-

\geq

betyr "større enn eller lik"

Intervallnotasjon

Løsningen på en ulikhet kan skrives som et intervall:
-

x < 3

skrives som

x \in \langle \leftarrow, 3 \rangle

eller

x \in (-\infty, 3)

x \geq 5

skrives som

x \in [5, \rightarrow \rangle

eller

x \in [5, \infty)

Notasjon:
- Hakeparentes $[$ eller $]$ betyr at endepunktet er med
- Vinkelparentes $\langle$ eller $\rangle$ betyr at endepunktet er ikke med

✏️Eksempel 1

Løs ulikhetene:

a) $3x + 9 < 12$

b) $\dfrac{2x - 2}{3} \geq 4$

Løsning:

a) $3x + 9 < 12$

Vi løser som en vanlig likning (vi ganger/deler ikke med negative tall):
$3x + 9 < 12 \quad | -9$
$3x < 3 \quad | \div 3$
$x < 1$

Løsningsmengde: $L = \langle \leftarrow, 1 \rangle$

---

b) $\dfrac{2x - 2}{3} \geq 4$

$\frac{2x - 2}{3} \geq 4 \quad | \cdot 3$
$2x - 2 \geq 12 \quad | +2$
$2x \geq 14 \quad | \div 2$
$x \geq 7$

Løsningsmengde: $L = [7, \rightarrow \rangle$

📝Oppgave 1

Løs ulikhetene

2x < 8

3x - 6 > 18

\dfrac{x}{2} < 4

\dfrac{x}{5} + 3 > 7

\dfrac{2x}{3} - 6 \leq 2

\dfrac{3x - 2}{3} \geq 1

Ulikheter der vi må gange eller dele med negative tall

Når vi ganger eller deler med et negativt tall på begge sider av en ulikhet, må vi snu ulikhetstegnet.

Hvorfor? Tenk på tallinjen: Når vi ganger med $-1$ , bytter tallene side. For eksempel er $2 < 5$ , men $-2 > -5$ .

> Husk: $x$ kan være både positiv og negativ. Derfor er det ikke lov å gange med eller dele på $x$ på begge sider av en ulikhet (med mindre vi vet fortegnet til $x$ ).

✏️Eksempel 2

Løs ulikhetene:

a) $-5x > 20$

b) $-\dfrac{x - 2}{5} \geq 3$

Løsning:

a) $-5x > 20$

Vi må dele med $-5$ (negativt tall), så vi snur ulikhetstegnet:
$-5x > 20 \quad | \div (-5)$
$x < -4$

Løsningsmengde: $L = \langle \leftarrow, -4 \rangle$

---

b) $-\dfrac{x - 2}{5} \geq 3$

Vi ganger med $-1$ (negativt tall), så vi snur ulikhetstegnet:
$-\frac{x - 2}{5} \geq 3 \quad | \cdot (-1)$
$\frac{x - 2}{5} \leq -3 \quad | \cdot 5$
$x - 2 \leq -15 \quad | +2$
$x \leq -13$

Løsningsmengde: $L = \langle \leftarrow, -13]$

📝Oppgave 2

Løs ulikhetene

-10x < 50

-3x - 1 > 2x + 4

\dfrac{x}{3} + 1 < 4

\dfrac{x}{2} - 1 > \dfrac{x}{3} + 2

\dfrac{x}{2} - 5x \leq 18

\dfrac{-x - 2}{2} \geq \dfrac{x + 3}{4}

Oppsummering

- Lineære ulikheter løses på samme måte som likninger
- Viktig regel: Når vi ganger eller deler med et negativt tall, må vi snu ulikhetstegnet
- Ulikhetstegnene: $<$ (mindre enn), $>$ (større enn), $\leq$ (mindre enn eller lik), $\geq$ (større enn eller lik)
- Intervallnotasjon: Løsningen skrives som intervall, f.eks. $x \in \langle -\infty, 3 \rangle$ for $x < 3$
- Hakeparentes $[$ eller $]$ betyr at endepunktet er med, vinkelparentes $\langle$ eller $\rangle$ betyr at det ikke er med
- Det er ikke lov å gange eller dele med et uttrykk som inneholder $x$ i en ulikhet (fordi vi ikke vet fortegnet)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver