4.2 Lineære ulikheter

Fra likhetstegn til ulikhetstegn

Til nå har du jobbet med likninger – uttrykk der to sider er like. Men i matematikken, og i hverdagen, handler det ofte om at noe er større eller mindre enn noe annet. Du vil vite: når er funksjonen positiv? Hvor stor kan $x$ være uten at broen kollapser? Hvor mange timer må du jobbe for å tjene minst 5000 kroner?

Velkommen til ulikheter. I dette kapittelet skal vi lære å løse førstegradsulikheter – altså ulikheter der $x$ bare opptrer i førstepotens. Du vil oppdage at prosessen ligner veldig på å løse vanlige likninger, men med én viktig fallgruve som vi skal bli godt kjent med.

Ulikhetstegnene og intervallnotasjon

La oss starte med selve tegnene. Vi har fire stykker: $<$ betyr «mindre enn», $>$ betyr «større enn», $\leq$ betyr «mindre enn eller lik», og $\geq$ betyr «større enn eller lik». Forskjellen mellom $<$ og $\leq$ er om grenseverdien selv er inkludert eller ikke.

Når vi løser en ulikhet, finner vi ikke én bestemt verdi av $x$ – vi finner et helt sett med verdier som oppfyller kravet. Dette settet kaller vi løsningsmengden, og vi skriver den med intervallnotasjon. For eksempel betyr $x < 3$ at alle tall mindre enn 3 er gyldige. Vi skriver dette som $x \in \langle \leftarrow, 3 \rangle$, der vinkelparentesene $\langle \rangle$ betyr at endepunktet ikke er med.

Hva om $x \geq 5$? Da er 5 selv inkludert, og vi skriver $x \in [5, \rightarrow \rangle$. Hakeparentesen $[$ betyr at endepunktet er med. En enkel huskeregel: hakeparentes = lukket = inkludert, vinkelparentes = åpen = ikke inkludert. Pilen $\rightarrow$ betyr at intervallet fortsetter i det uendelige.

La oss ta et eksempel. Vi løser $3x + 9 < 12$. Vi trekker fra 9 på begge sider: $3x < 3$. Vi deler med 3: $x < 1$. Løsningsmengden er $L = \langle \leftarrow, 1 \rangle$. Her gikk alt akkurat som i en vanlig likning – men det er fordi vi ikke ganget eller delte med et negativt tall.

Den store regelen – snu tegnet ved negative tall

Her kommer den ene regelen som skiller ulikheter fra likninger, og den er helt avgjørende: når du ganger eller deler med et negativt tall på begge sider av en ulikhet, må du snu ulikhetstegnet.

Hvorfor? Tenk på tallinjen. Vi vet at $2 < 5$. Men hva skjer om vi ganger begge sider med $-1$? Da får vi $-2$ og $-5$. Og $-2$ er større enn $-5$, altså $-2 > -5$. Ganging med et negativt tall speiler tallene gjennom null, og da snur rekkefølgen seg.

La oss ta et konkret eksempel: $-5x > 20$. Vi må dele med $-5$ for å isolere $x$. Fordi vi deler med et negativt tall, snur vi ulikhetstegnet: $x < -4$. Løsningsmengden er $L = \langle \leftarrow, -4 \rangle$.

Et annet eksempel: $\displaystyle -\frac{x - 2}{5} \geq 3$. Vi ganger med $-1$ og snur tegnet: $\displaystyle \frac{x - 2}{5} \leq -3$. Så ganger vi med 5: $x - 2 \leq -15$. Og legger til 2: $x \leq -13$. Løsningsmengden er $L = \langle \leftarrow, -13]$.

Mange gjør feilen å glemme å snu tegnet. En god vane er å alltid spørre deg selv: «Ganger eller deler jeg med noe negativt?» Hvis ja – snu tegnet.

Ulikheter med $x$ på begge sider

Ofte dukker $x$ opp på begge sider av ulikheten, og da må vi samle alle $x$-leddene på én side og tallene på den andre – akkurat som med vanlige likninger.

Ta ulikheten $-3x - 1 > 2x + 4$. Vi samler $x$-ledd på venstre side ved å trekke fra $2x$ på begge sider: $-5x - 1 > 4$. Så legger vi til 1: $-5x > 5$. Vi deler med $-5$ og snur tegnet: $x < -1$. Løsningsmengden er $L = \langle \leftarrow, -1 \rangle$.

Et annet eksempel: $\displaystyle \frac{x}{2} - 1 > \frac{x}{3} + 2$. Når vi har brøker er det lurt å gange hele ulikheten med fellesnevneren for å bli kvitt dem. Fellesnevneren til 2 og 3 er 6. Vi ganger alt med 6: $3x - 6 > 2x + 12$. Deretter samler vi $x$-ledd: $x > 18$. Her gikk det greit – vi ganget med positivt tall (6), så tegnet ble stående.

Hva med $\displaystyle \frac{x}{2} - 5x \leq 18$? Vi finner fellesnevner: $\displaystyle \frac{x}{2} - \frac{10x}{2} = \frac{-9x}{2} \leq 18$. Vi ganger med 2: $-9x \leq 36$. Vi deler med $-9$ og snur tegnet: $x \geq -4$. Løsningsmengden er $L = [-4, \rightarrow \rangle$.

Prinsippet er det samme hver gang: isoler $x$, vær oppmerksom på fortegn, og skriv svaret som et intervall.

Ulikheter med brøker

Brøker i ulikheter kan se skremmende ut, men teknikken er den samme som vi allerede kan. Det viktigste er å gange med fellesnevner for å kvitte deg med brøkene, og å passe på fortegnet til det du ganger med.

Ta ulikheten $\displaystyle \frac{2x - 2}{3} \geq 4$. Vi ganger begge sider med 3 (positivt, så tegnet beholdes): $2x - 2 \geq 12$. Legger til 2: $2x \geq 14$. Deler med 2: $x \geq 7$. Løsningsmengden er $L = [7, \rightarrow \rangle$.

Hva med $\displaystyle \frac{-x - 2}{2} \geq \frac{x + 3}{4}$? Vi ganger med fellesnevneren 4 på begge sider: $2(-x - 2) \geq x + 3$. Vi løser opp: $-2x - 4 \geq x + 3$. Samler $x$-ledd: $-3x \geq 7$. Deler med $-3$ og snur tegnet: $\displaystyle x \leq -\frac{7}{3}$. Løsningsmengden er $\displaystyle L = \langle \leftarrow, -\frac{7}{3}]$.

Noe som er viktig å huske: $x$ kan være positiv, negativ eller null. Vi vet ikke fortegnet til $x$. Derfor er det ikke lov å gange med eller dele på et uttrykk som inneholder $x$ (med mindre vi vet at det er positivt eller negativt). Dette blir spesielt viktig i de kommende kapitlene om andregradsulikheter og rasjonale ulikheter.

Vanlige feil og hvordan du unngår dem

La oss avslutte med de klassiske feilene du bør være på vakt mot.

Den vanligste feilen er å glemme å snu ulikhetstegnet når du ganger eller deler med et negativt tall. Husk: hver gang du multipliserer eller dividerer med noe negativt, snu tegnet. Skriv det gjerne som en kommentar i regningen din – «deler med $-3$, snur tegnet» – så glemmer du det ikke.

En annen vanlig feil er å blande sammen hakeparentes og vinkelparentes i intervallnotasjonen. Huskeregelen: $<$ og $>$ gir vinkelparentes (åpen), mens $\leq$ og $\geq$ gir hakeparentes (lukket) ved det aktuelle endepunktet. Ved uendelig ($\rightarrow$ eller $\leftarrow$) bruker vi alltid vinkelparentes, fordi uendelig ikke er et tall du kan «nå».

En tredje feil er å tro at du kan gange begge sider av en ulikhet med $x$. Siden vi ikke vet om $x$ er positiv eller negativ, vet vi ikke om tegnet skal snus. Denne situasjonen løser vi med fortegnsskjema, som vi skal lære om i neste kapittel.

Til slutt: sjekk alltid svaret ditt ved å sette inn en verdi som ligger i løsningsmengden. Hvis du finner $x > 3$, prøv med $x = 5$ og se at den opprinnelige ulikheten stemmer.

Oppsummering

Førstegradsulikheter løses på nesten samme måte som likninger – du samler $x$-ledd på én side og tall på den andre, og isolerer $x$.

Den ene store forskjellen er regelen om negative tall: når du ganger eller deler med et negativt tall på begge sider, må du snu ulikhetstegnet. Dette er fordi multiplikasjon med et negativt tall speiler tallene på tallinjen, slik at rekkefølgen snur.

Svaret skriver du som et intervall. Bruk hakeparentes $[$ eller $]$ når endepunktet er med ($\leq$ eller $\geq$), og vinkelparentes $\langle$ eller $\rangle$ når det ikke er med ($<$ eller $>$). Ved uendelig bruker du alltid vinkelparentes.

Til slutt: husk at du ikke kan gange med et uttrykk som inneholder $x$ med mindre du vet fortegnet. Dette begrensningen er nettopp grunnen til at vi trenger fortegnsskjema – temaet for neste kapittel.