4.1 Likningssett

Når én likning ikke er nok

Tenk deg at du vet at summen av to tall er 10. Kan du finne tallene? Vel, det kan være 3 og 7, eller 4 og 6, eller 2,5 og 7,5 – det finnes uendelig mange muligheter. Men hva om du i tillegg vet at forskjellen mellom de to tallene er 4? Nå har du plutselig to betingelser som må oppfylles samtidig, og det finnes bare én løsning: tallene må være 7 og 3.

Dette er kjernen i et likningssett – et sett med flere likninger som alle skal stemme på samme tid. Når vi har to ukjente, trenger vi to likninger. Når vi har tre ukjente, trenger vi tre. For å holde orden nummererer vi likningene med romertall: $I$ for den første og $II$ for den andre. I dette kapittelet skal vi lære tre ulike metoder for å løse slike sett: vi kan tegne grafer, vi kan sette inn uttrykk, og vi kan legge sammen likningene på en smart måte.

Grafisk løsning – å se svaret med egne øyne

Den mest intuitive metoden er å tegne begge likningene som rette linjer i et koordinatsystem. Hver likning beskriver en linje, og løsningen er punktet der de to linjene krysser hverandre – skjæringspunktet.

La oss si at vi har likningssettet $I$: $y + 4 = 2x$ og $II$: $2y - 1 = x$. For å tegne disse omformer vi til $y = ax + b$-form. Likning $I$ gir $y = 2x - 4$, og likning $II$ gir $\displaystyle y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$. Nå tegner vi begge linjene. Den første stiger bratt med stigningstall 2, den andre stiger slakere med stigningstall $\displaystyle \frac{1}{2}$. Der de møtes, leser vi av punktet $(3, 2)$. Vi kan bekrefte: i likning $I$ gir $2 + 4 = 6$ og $2 \cdot 3 = 6$, som stemmer. I likning $II$ gir $2 \cdot 2 - 1 = 3$ og $x = 3$, som også stemmer.

Men hva om linjene aldri krysser? Dersom to linjer er parallelle – altså har samme stigningstall men ulik konstantledd – vil de aldri møtes. Da har likningssettet ingen løsning. Og hva om de to likningene egentlig beskriver samme linje? Da er de sammenfallende, og det finnes uendelig mange løsninger fordi alle punktene på linjen tilfredsstiller begge likningene.

Grafisk løsning er utmerket for å forstå hva som skjer, men den har en ulempe: det er vanskelig å lese av nøyaktige verdier fra en tegning, spesielt når svaret inneholder brøker. Derfor trenger vi algebraiske metoder.

Innsettingsmetoden – erstatt og løs

Innsettingsmetoden bygger på en enkel idé: hvis én likning forteller deg at $x$ er lik et uttrykk med $y$, kan du erstatte $x$ med det uttrykket i den andre likningen. Da får du en likning med bare én ukjent, som du kan løse direkte.

La oss ta likningssettet $I$: $x + 3y = 8$ og $II$: $2x - 2y = 8$. Vi starter med å løse likning $I$ for $x$ fordi $x$ har koeffisient 1, noe som gjør det enkelt: $x = -3y + 8$. Nå erstatter vi $x$ i likning $II$ med dette uttrykket: $2(-3y + 8) - 2y = 8$. Vi løser opp parentesen: $-6y + 16 - 2y = 8$, som gir $-8y = -8$, altså $y = 1$. Til slutt setter vi $y = 1$ tilbake i uttrykket for $x$: $x = -3 \cdot 1 + 8 = 5$.

Notasjonen $I \to II$ betyr at vi bruker informasjon fra likning $I$ i likning $II$. Noen ganger skriver vi $II^*$ for å vise at likning $II$ er omformet.

Et godt tips er å alltid velge den variabelen som er enklest å isolere – typisk den som allerede har koeffisient 1 eller $-1$. For eksempel i likningssettet $2x + 5y = 9$ og $3x - y = 5$ er det lurtest å løse den andre likningen for $y$ (koeffisient $-1$): $y = 3x - 5$. Deretter setter vi inn: $2x + 5(3x - 5) = 9$, som gir $17x = 34$ og $x = 2$, og deretter $y = 3 \cdot 2 - 5 = 1$.

Addisjonsmetoden – eliminér en ukjent

Addisjonsmetoden utnytter at vi kan legge sammen likningene. Siden begge sidene av en likning er like, kan vi trygt legge venstre side av $I$ sammen med venstre side av $II$ og sette det lik summen av høyresidene. Trikset er å sørge for at én av variablene forsvinner i prosessen.

Ta likningssettet $I$: $2x + 4y = 14$ og $II$: $-2x - 2y = -8$. Legg merke til at $I$ har $+2x$ og $II$ har $-2x$. Legger vi sammen, kansellerer $x$-leddene hverandre: $(2x + 4y) + (-2x - 2y) = 14 + (-8)$, som forenkles til $2y = 6$, altså $y = 3$. Så setter vi $y = 3$ inn i én av likningene for å finne $x$: $2x + 12 = 14$ gir $x = 1$.

Men hva gjør du når variablene ikke kansellerer av seg selv? Da multipliserer du én eller begge likningene med passende tall. For eksempel: $I$: $x + 3y = 8$ og $II$: $2x - 2y = 8$. Her ganger vi likning $I$ med $(-2)$ og får $-2x - 6y = -16$. Nå legger vi denne sammen med $II$: $(2x - 2y) + (-2x - 6y) = 8 + (-16)$, som gir $-8y = -8$ og $y = 1$. Da er $x = 5$.

Noen ganger må vi gange begge likningene. Har du $3x + 5y = 2$ og $2x - 2y = -4$, kan du gange den første med 2 og den andre med 3 for å få $6x$ i begge. Deretter trekker du den ene fra den andre: $2I - 3II$ gir $16y = 16$, altså $y = 1$ og $x = -1$.

Tre ukjente – samme prinsipp, flere steg

Metoden kan utvides til likningssett med tre ukjente – typisk $x$, $y$ og $z$. Vi trenger da tre likninger, og strategien er å redusere problemet steg for steg til noe vi allerede kan løse.

Tenk på det som å skrelle av lag. Først bruker vi én likning til å uttrykke én variabel ved hjelp av de to andre. Deretter setter vi dette uttrykket inn i de to gjenværende likningene. Nå har vi to likninger med to ukjente – og det vet vi jo allerede hvordan vi løser.

La oss ta et eksempel: $I$: $x + 3y + z = 4$, $II$: $2x - 2y - z = 1$, $III$: $2x - y + 2z = -6$. Vi løser likning $I$ for $x$: $x = 4 - 3y - z$. Så setter vi dette inn i likning $II$: $2(4 - 3y - z) - 2y - z = 1$, som forenkles til $-8y - 3z = -7$. Og inn i likning $III$: $2(4 - 3y - z) - y + 2z = -6$, som gir $-7y = -14$, altså $y = 2$. Med $y = 2$ i den forenklede likningen finner vi $z = -3$, og til slutt $x = 4 - 3 \cdot 2 - (-3) = 1$.

Det krever noen flere steg, men prinsippet er nøyaktig det samme som med to ukjente: reduser antall variabler ett steg om gangen til du kan regne ut svaret direkte.

Fra virkeligheten til likningssett

Likningssett blir virkelig nyttige når vi bruker dem på praktiske problemer. Nøkkelen er å oversette den hverdagslige situasjonen til matematiske likninger.

Tenk deg at Mari handler for moren sin to ganger. Første gang kjøper hun 5 kg poteter og 2 kg gulrøtter for 58 kroner. Andre gang kjøper hun 3 kg poteter og 5 kg gulrøtter for 50 kroner. Prisene er de samme begge gangene. Hva koster ett kilo av hver?

Vi lar $x$ være prisen per kilo poteter og $y$ prisen per kilo gulrøtter. Første handletur gir $I$: $5x + 2y = 58$. Andre handletur gir $II$: $3x + 5y = 50$. Vi bruker addisjonsmetoden: ganger $I$ med 5 og $II$ med $(-2)$ for å eliminere $y$-leddene. Da får vi $25x + 10y = 290$ og $-6x - 10y = -100$. Summen gir $19x = 190$, altså $x = 10$. Setter vi inn i likning $I$: $50 + 2y = 58$, som gir $y = 4$. Poteter koster 10 kr/kg og gulrøtter 4 kr/kg.

Et annet eksempel: en taxisjåfør tar et fast oppstartsgebyr pluss en pris per kilometer. Kåre brukte taxien 2 ganger i januar og kjørte 30 km totalt for 700 kroner, og 3 ganger i februar med 60 km for 1350 kroner. Med $x$ som oppstartsgebyr og $y$ som kilometerpris får vi $2x + 30y = 700$ og $3x + 60y = 1350$. Løser vi dette finner vi at oppstartsgebyret er 50 kroner og kilometerprisen er 20 kroner. Evnen til å oversette ord til likninger er en ferdighet du vil bruke igjen og igjen.

Oppsummering

I dette kapittelet har vi lært tre metoder for å løse likningssett, og alle har sin plass i verktøykassen din.

Grafisk løsning handler om å tegne begge likningene som linjer og finne skjæringspunktet. Metoden gir god visuell forståelse, men kan være upresis for verdier med desimaler eller brøker. Husk at parallelle linjer betyr ingen løsning, og sammenfallende linjer betyr uendelig mange løsninger.

Innsettingsmetoden går ut på å løse én likning for én variabel og sette uttrykket inn i den andre likningen. Velg alltid den variabelen som er enklest å isolere – gjerne den med koeffisient 1 eller $-1$.

Addisjonsmetoden går ut på å multiplisere likningene slik at én variabel får like koeffisienter med motsatt fortegn, for deretter å legge likningene sammen slik at variabelen forsvinner. Denne metoden er spesielt effektiv når ingen variabel er lett å isolere.

For likningssett med tre ukjente bruker vi de samme prinsippene, men vi reduserer først fra tre likninger og tre ukjente ned til to likninger og to ukjente. Og i praktiske oppgaver er nøkkelen å la ukjente størrelser være variabler og oversette betingelsene i teksten til matematiske likninger.