3.8 Eksponentialfunksjoner | Matematikk 1T

Funksjoner med variabel i eksponenten.

30 min

11 oppgaver

Eksponentiell vekstEksponentiell nedgangVekstfaktor

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.3Hva er en funksjon?

Brukes videre i

8.1Modellering med funksjoner

En eksponentialfunksjon har variabelen i eksponenten. Disse funksjonene modellerer vekst og nedgang i naturen, økonomi og andre områder.

I dette kapitlet lærer du:
- Eksponentiell vekst og nedgang
- Vekstfaktor
- Å tegne eksponentialfunksjoner
- Praktiske anvendelser
- Å løse eksponentiallikninger, blant annet for å finne doblingstid og halveringstid

Eksponentialfunksjon

f(x) = a \cdot b^x

Vekst og nedgang

Vekstfaktoren $b$ bestemmer om funksjonen vokser eller avtar:

- $b > 1$ : Eksponentiell vekst
- $0 < b < 1$ : Eksponentiell nedgang

Prosentvis vekst: Hvis noe øker med $p\%$ per enhet:
$b = 1 + \frac{p}{100}$

Prosentvis nedgang: Hvis noe avtar med $p\%$ per enhet:
$b = 1 - \frac{p}{100}$

✏️Eksempel 1

En bakteriekultur starter med 1000 bakterier og dobler seg hver time. Sett opp en funksjon for antall bakterier etter $t$ timer.

a = 1000 \qquad b = 2

N(t) = 1000 \cdot 2^t

Kontroll: $N(1) = 2000$ og $N(2) = 4000$ .

Svar: $N(t) = 1000 \cdot 2^t$

📝Oppgave 1

Finn vekstfaktoren:

5 % økning per år

20 % nedgang per time

Tredobling per uke

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

En populasjon på 500 individer vokser med 8 % per år. Sett opp en funksjon og finn populasjonen etter 10 år.

✏️Eksempel 2

En bil mister 15 % av verdien hvert år. Den koster 400 000 kr ny. Sett opp en funksjon for bilens verdi etter $t$ år.

b = 1 - 0{,}15 = 0{,}85

V(t) = 400\,000 \cdot 0{,}85^t

V(5) = 400\,000 \cdot 0{,}85^5 \approx 177\,482

Svar: $V(t) = 400\,000 \cdot 0{,}85^t$ . Etter 5 år er bilen verdt omtrent 177 500 kr.

📝Oppgave 3

En maskin koster 200 000 kr og mister 25 % av verdien hvert år. Sett opp en funksjon og finn verdien etter 4 år.

Grafens egenskaper

For $f(x) = a \cdot b^x$ med $a > 0$ :

Alltid:
- $f(0) = a$ ( $y$ -skjæring)
- $f(x) > 0$ for alle $x$ (aldri negativ)
- Ingen nullpunkter
- Vannrett asymptote $y = 0$

Hvis $b > 1$ :
- Grafen stiger
- Bratt vekst for store $x$

Hvis $0 < b < 1$ :
- Grafen synker
- Nærmer seg 0 for store $x$

✏️Eksempel 3

Sammenlign grafene til $f(x) = 2^x$ og $\displaystyle g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ .

$f(x) = 2^x$ :
- Vekst (

b = 2 > 1

)
- Stiger fra venstre mot høyre
-

f(0) = 1

$\displaystyle g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ :
- Nedgang ( $b = 0{,}5 < 1$ )
- Synker fra venstre mot høyre
- $g(0) = 1$

Svar: De to grafene er speilinger av hverandre om $y$ -aksen.

📝Oppgave 4

Avgjør om funksjonene viser vekst eller nedgang:

f(x) = 3 \cdot 1{,}5^x

g(x) = 100 \cdot 0{,}9^x

h(x) = 50 \cdot 2^{-x}

Doblingstid og halveringstid

Doblingstid: Tiden det tar før verdien er doblet.

Funksjonen $f(x) = a \cdot 2^{x/T}$ har doblingstid $T$ :

$f(x + T) = a \cdot 2^{\frac{x + T}{T}} = a \cdot 2^{\frac{x}{T}} \cdot 2^1 = 2 \cdot f(x)$

Hver gang $x$ øker med $T$ , dobles verdien.

Halveringstid: Tiden det tar før verdien er halvert. Den samme utregningen for $\displaystyle f(x) = a \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{x/T}$ gir $\displaystyle f(x + T) = \frac{1}{2} \cdot f(x)$ , så halveringstiden er $T$ .

Eksempel: Radioaktivt stoff med halveringstid 10 år: $N(t) = N_0 \cdot 0{,}5^{t/10}$

✏️Eksempel 4

Du setter 10 000 kr i banken med 3% årlig rente. Hvor mye har du etter 20 år?

b = 1 + 0{,}03 = 1{,}03

K(t) = 10\,000 \cdot 1{,}03^t

K(20) = 10\,000 \cdot 1{,}03^{20} \approx 18\,061

Svar: Etter 20 år har du omtrent 18 061 kr, altså omtrent 8061 kr i renter.

📝Oppgave 5

Grafen til $f(x) = a \cdot b^x$ går gjennom punktene $(0, 4)$ og $(2, 36)$ . Finn $a$ og $b$ .

📝Oppgave 6

Et radioaktivt stoff har halveringstid 5 år. Du starter med 200 gram. Sett opp en funksjon og finn hvor mye som er igjen etter 15 år.

Eksponentiallikninger

En likning der den ukjente står i eksponenten, kalles en eksponentiallikning. Et eksempel er

$500 \cdot 1{,}08^x = 1000$

Vi løser slike likninger på tre måter.

Grafisk: Vi tegner $f(x) = a \cdot b^x$ og den vannrette linja $y = c$ i samme koordinatsystem. $x$ -koordinaten til skjæringspunktet er løsningen.

f(x) = 500*1.08^x
Skjæring(f, y = 1000)

Med CAS: NLøs gir løsningen som desimaltall.

NLøs(500*1.08^x = 1000)

Ved systematisk prøving: Vi regner ut funksjonsverdier for hele tall til vi passerer $c$ , og prøver deretter med desimaler mellom de to hele tallene. Det er også en god kontroll av svaret fra GeoGebra.

Doblingstid og halveringstid finner vi på samme måte: Verdien er doblet når $a \cdot b^x = 2a$ , og halvert når $\displaystyle a \cdot b^x = \frac{a}{2}$ .

✏️Eksempel 5 – Doblingstid

En populasjon er gitt ved $P(x) = 500 \cdot 1{,}08^x$ , der $x$ er antall år. Finn doblingstiden grafisk og med CAS.

Populasjonen er doblet når

P(x) = 2 \cdot 500 = 1000

$500 \cdot 1{,}08^x = 1000$

Grafisk:

P(x) = 500*1.08^x
Skjæring(P, y = 1000)

Skjæringspunktet har $x \approx 9{,}0$ .

Grafen til P(x) = 500 · 1,08^x stiger fra 500 og skjærer den vannrette linja y = 1000 ved x omtrent lik 9,0.

Med CAS:

NLøs(500*1.08^x = 1000)

$x \approx 9{,}0$

Kontroll: $500 \cdot 1{,}08^9 \approx 999{,}5$ og $500 \cdot 1{,}08^{10} \approx 1079{,}5$ , så løsningen ligger like over 9.

Svar: Doblingstiden er omtrent 9,0 år.

Doblingstiden avhenger bare av vekstfaktoren. Vi kunne like gjerne ha løst $1{,}08^x = 2$ .

✏️Eksempel 6 – Halveringstid

Verdien av en bil er $V(t) = 200\,000 \cdot 0{,}75^t$ kroner, der $t$ er antall år etter kjøpet. Når er verdien halvert?

Verdien er halvert når

V(t) = 100\,000

$200\,000 \cdot 0{,}75^t = 100\,000$

Grafisk:

V(t) = 200000*0.75^t
Skjæring(V, y = 100000)

Skjæringspunktet har $t \approx 2{,}4$ .

Grafen til V(t) = 200 000 · 0,75^t synker fra 200 000 og skjærer den vannrette linja y = 100 000 ved t omtrent lik 2,4.

Med CAS:

NLøs(200000*0.75^t = 100000)

$t \approx 2{,}41$

Kontroll: $V(2) = 112\,500$ og $V(3) = 84\,375$ , så løsningen ligger mellom 2 og 3.

Svar: Verdien er halvert etter omtrent 2,4 år.

✏️Eksempel 7 – Modell gjennom to punkter

Folketallet i en kommune var 12 000 i 2018 og 14 000 i 2023. Vi antar at folketallet vokser eksponentielt.

a) Finn en modell $N(t) = a \cdot b^t$ , der $t$ er antall år etter 2018.

b) Hva gir modellen for 2030?

a) Startverdien er

a = 12\,000

. Fra 2018 til 2023 går det 5 år.

$12\,000 \cdot b^5 = 14\,000$
$b^5 = \frac{14\,000}{12\,000}$
$b = \sqrt[5]{\frac{14\,000}{12\,000}}$
$b \approx 1{,}0313$

Med CAS: NLøs(12000*b^5 = 14000, b) gir det samme.

Svar: $N(t) = 12\,000 \cdot 1{,}0313^t$ . Folketallet vokser med omtrent 3,1 % per år.

b) År 2030 svarer til $t = 12$ .

$N(12) = 12\,000 \cdot 1{,}0313^{12}$
$N(12) \approx 17\,370$

Svar: Modellen gir omtrent 17 400 innbyggere i 2030.

📝Oppgave 7

Løs likningene ved systematisk prøving. Kontroller svaret med CAS.

2^x = 32

3 \cdot 2^x = 48

1000 \cdot 0{,}5^x = 125

📝Oppgave 8

Du setter 20 000 kr på en konto med 4 % rente per år.

Sett opp en funksjon $K(x)$ for beløpet etter $x$ år.

Løs likningen $K(x) = 30\,000$ grafisk eller med CAS.

Etter hvor mange hele år er beløpet for første gang over 30 000 kr?

📝Oppgave 9

En pasient får 400 mg av et legemiddel. Mengden i kroppen avtar med 20 % per time.

Sett opp en funksjon $M(t)$ for mengden etter $t$ timer.

Finn halveringstiden.

Når er det 100 mg igjen? Forklar hvorfor svaret er omtrent dobbelt så stort som i b).

📝Oppgave 10

En fiskebestand var 8000 i 2020 og 5832 i 2023. Vi antar at bestanden avtar eksponentielt.

Finn vekstfaktoren. Hvor mange prosent avtar bestanden med per år?

Sett opp en modell $N(t)$ , der $t$ er antall år etter 2020.

Når er bestanden halvert? Løs grafisk eller med CAS, og kontroller ved prøving.

Oppsummering

- En eksponentialfunksjon har formen $f(x) = a \cdot b^x$ der $a$ er startverdien og $b$ er vekstfaktoren
- Vekst: $b > 1$ gir eksponentiell vekst
- Nedgang: $0 < b < 1$ gir eksponentiell nedgang
- Prosentvis vekst: Økning med $p\%$ gir $\displaystyle b = 1 + \frac{p}{100}$
- Prosentvis nedgang: Nedgang med $p\%$ gir $\displaystyle b = 1 - \frac{p}{100}$
- Grafen går gjennom punktet $(0, a)$ og har vannrett asymptote $y = 0$
- Doblingstid $T$ : tiden det tar før verdien er doblet, $f(x) = a \cdot 2^{x/T}$
- Halveringstid $T$ : tiden det tar før verdien er halvert, $f(x) = a \cdot 0{,}5^{x/T}$
- En eksponentiallikning $a \cdot b^x = c$ løses grafisk (skjæring mellom grafen og linja $y = c$ ), med CAS (NLøs) eller ved systematisk prøving
- Eksponentialfunksjoner brukes til å modellere prosentvis vekst og nedgang i mange sammenhenger

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.