3.7 Rasjonale funksjoner

Brøker som lever sitt eget liv

Tenk deg at du deler en pizza mellom venner. Deler du den på fire, får hver person et greit stykke. Deler du på to, får alle mer. Men hva skjer om du prøver å dele på null? Det gir ingen mening – det er rett og slett umulig. Akkurat dette prinsippet ligger i hjertet av det vi skal utforske nå.

En rasjonal funksjon er en funksjon skrevet som en brøk der både teller og nevner er polynomer. Den generelle formen er $\displaystyle f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$, der $P(x)$ og $Q(x)$ er polynomer og $Q(x) \neq 0$. Du har allerede jobbet mye med polynomfunksjoner – rasjonale funksjoner tar oss et steg videre ved å la polynomer dele på hverandre. Og nettopp fordi vi deler, oppstår det dramatiske ting i grafen: usynlige linjer grafen nærmer seg, og hull der funksjonen plutselig forsvinner.

I dette kapittelet skal vi lære om tre sentrale begreper: definisjonsmengde, loddrette asymptoter og vannrette asymptoter. Sammen gir de oss verktøyene vi trenger for å forstå og skissere rasjonale funksjoner.

Definisjonsmengde – hvor funksjonen finnes

Det første vi alltid må gjøre med en rasjonal funksjon er å finne definisjonsmengden. Det høres kanskje litt tungt ut, men spørsmålet er egentlig ganske enkelt: for hvilke $x$-verdier er funksjonen definert? Siden vi har en brøk, er det bare én ting som kan gå galt – nevneren kan bli null. Og deling på null er som kjent forbudt i matematikken.

For å finne definisjonsmengden setter vi altså nevneren lik null og løser likningen. De $x$-verdiene vi finner, er de verdiene vi må utelukke.

La oss ta et eksempel. Hva er definisjonsmengden til $\displaystyle f(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 4}$? Vi setter nevneren lik null: $x^2 - 4 = 0$. Vi kan faktorisere dette som $(x - 2)(x + 2) = 0$, som gir oss $x = 2$ eller $x = -2$. Altså er funksjonen udefinert i disse to punktene. Vi skriver definisjonsmengden som $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$, som betyr «alle reelle tall bortsett fra $-2$ og $2$».

Et enklere eksempel: $\displaystyle g(x) = \frac{1}{x + 3}$. Nevneren er null når $x + 3 = 0$, altså $x = -3$. Definisjonsmengden er $D_g = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$. Og for $\displaystyle h(x) = \frac{x}{x^2 - 9}$ faktoriserer vi nevneren som $(x - 3)(x + 3) = 0$, slik at $x = 3$ og $x = -3$ må utelukkes. Definisjonsmengden blir $D_h = \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}$.

Legg merke til mønsteret: jo høyere grad nevneren har, desto flere verdier kan potensielt utelukkes. En lineær nevner gir maksimalt én utelukket verdi, en kvadratisk nevner gir maksimalt to, og så videre.

Loddrette asymptoter – usynlige vegger

Nå vet vi hvor funksjonen ikke er definert. Men hva skjer med grafen i nærheten av disse punktene? Svaret er noe av det mest dramatiske i matematikken: grafen skyter i været – mot pluss eller minus uendelig.

En loddrett asymptote er en loddrett linje $x = a$ som grafen nærmer seg, men aldri faktisk treffer eller krysser. Du kan tenke på det som en usynlig vegg i koordinatsystemet. Jo nærmere grafen kommer veggen, desto brattere stiger eller synker den – men den når aldri helt frem.

Vi finner loddrette asymptoter der nevneren er null, men bare hvis telleren ikke også er null i samme punkt. Det siste er en viktig detalj som vi kommer tilbake til.

La oss se på $\displaystyle f(x) = \frac{x + 1}{(x - 2)(x + 3)}$. Nevneren er null når $x = 2$ og $x = -3$. Vi sjekker telleren: $x + 1$ er $3$ i $x = 2$ og $-2$ i $x = -3$ – altså er telleren ikke null i noen av disse punktene. Dermed har vi to loddrette asymptoter: $x = 2$ og $x = -3$.

Et annet eksempel: $\displaystyle f(x) = \frac{2}{x - 4}$. Nevneren er null når $x = 4$, og telleren er konstant lik $2$ (aldri null). Vi har en loddrett asymptote i $x = 4$. Og for $\displaystyle g(x) = \frac{x}{x^2 - 1}$ faktoriserer vi nevneren som $(x - 1)(x + 1)$. Telleren $x$ er verken $1$ eller $-1$ i disse punktene, så vi har loddrette asymptoter i $x = 1$ og $x = -1$.

Hva skjer fysisk med funksjonsverdiene nær en loddrett asymptote? Hvis du setter inn $x$-verdier som er veldig nære asymptoten, blir nevneren veldig liten, og en brøk med en liten nevner gir en stor verdi. For eksempel gir $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x - 2}$ verdien $\displaystyle f(2{,}001) = \frac{1}{0{,}001} = 1000$ og $\displaystyle f(1{,}999) = \frac{1}{-0{,}001} = -1000$. Grafen eksploderer oppover på den ene siden og nedover på den andre.

Vannrette asymptoter – hva skjer langt borte?

Loddrette asymptoter handler om hva som skjer når $x$ nærmer seg et bestemt tall. Nå snur vi perspektivet: hva skjer med funksjonsverdien når $x$ beveger seg mot pluss eller minus uendelig? Svaret gir oss de vannrette asymptotene.

En vannrett asymptote er en vannrett linje $y = b$ som grafen nærmer seg når $x$ blir veldig stor (positiv eller negativ). Grafen nærmer seg linjen $y = b$ når $x$ blir svært stor eller svært liten. For mindre $x$-verdier kan grafen godt krysse linjen – det er bare loddrette asymptoter grafen aldri krysser. Grafen til $\displaystyle g(x) = \frac{x}{x^2 - 1}$ har for eksempel vannrett asymptote $y = 0$ og krysser den i origo.

For å finne vannrette asymptoter sammenligner vi graden til telleren og nevneren. Det er tre tilfeller, og regelen er heldigvis ganske ryddig:

Hvis graden til telleren er lavere enn graden til nevneren, er den vannrette asymptoten $y = 0$. Ta for eksempel $\displaystyle f(x) = \frac{3}{x + 1}$. Telleren har grad 0 og nevneren har grad 1. Når $x$ blir veldig stor, dominerer nevneren, og brøken krymper mot null. Vannrett asymptote: $y = 0$.

Hvis graden til telleren er lik graden til nevneren, er den vannrette asymptoten $\displaystyle y = \frac{\text{ledende koeffisient i telleren}}{\text{ledende koeffisient i nevneren}}$. For $\displaystyle g(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$ har begge grad 1. Ledende koeffisient i telleren er $3$, i nevneren er den $1$. Vannrett asymptote: $\displaystyle y = \frac{3}{1} = 3$. Et annet eksempel: $\displaystyle h(x) = \frac{2x - 5}{x + 3}$ gir $\displaystyle y = \frac{2}{1} = 2$.

Hvis graden til telleren er høyere enn graden til nevneren, finnes det ingen vannrett asymptote. Da vokser funksjonen uten grense.

Hull i grafen – når teller og nevner deler en faktor

Vi nevnte tidligere at en loddrett asymptote oppstår der nevneren er null, forutsatt at telleren ikke også er null. Men hva om begge er null i samme punkt? Da får vi noe annet – et hull i grafen.

Se på funksjonen $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$. Nevneren er null for $x = 1$, så $x = 1$ er utelukket fra definisjonsmengden. Men la oss faktorisere telleren: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. Nå kan vi skrive $\displaystyle f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}$. For alle $x \neq 1$ kan vi forkorte brøken, og vi får $f(x) = x + 1$. Grafen er altså den rette linjen $y = x + 1$, men med et hull i punktet $(1, 2)$, fordi funksjonen fremdeles er udefinert i $x = 1$.

Dette er viktig: det er ikke en loddrett asymptote i $x = 1$, fordi grafen ikke eksploderer. Den oppfører seg helt pent – den mangler bare ett enkelt punkt. Forskjellen mellom et hull og en loddrett asymptote er at hullet oppstår når en felles faktor i teller og nevner kansellerer hverandre.

La oss ta et eksempel til. Hva med $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x - 3}$? Vi faktoriserer telleren: $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$. Da blir $\displaystyle f(x) = \frac{(x - 3)(x + 2)}{x - 3} = x + 2$ for $x \neq 3$. Grafen er linjen $y = x + 2$ med et hull i $(3, 5)$.

Huskeregelen er enkel: hvis teller og nevner har en felles faktor, forkorter vi og får et hull. Hvis nevneren er null mens telleren ikke er det, får vi en loddrett asymptote.

Å skissere rasjonale funksjoner – hele bildet

Nå har vi alle verktøyene vi trenger for å analysere en rasjonal funksjon fullstendig. La oss sette dem sammen i en systematisk fremgangsmåte gjennom et konkret eksempel: $\displaystyle f(x) = \frac{x + 2}{x - 1}$.

Først finner vi definisjonsmengden. Nevneren er null når $x - 1 = 0$, altså $x = 1$. Definisjonsmengden er $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

Deretter finner vi loddrette asymptoter. Nevneren er null i $x = 1$, og telleren $x + 2 = 1 + 2 = 3 \neq 0$ der. Altså har vi en loddrett asymptote $x = 1$.

Så finner vi vannrette asymptoter. Teller og nevner har begge grad 1. Ledende koeffisient er $1$ i begge. Vannrett asymptote: $\displaystyle y = \frac{1}{1} = 1$.

Vi finner nullpunktet ved å sette telleren lik null: $x + 2 = 0$ gir $x = -2$. Funksjonen krysser $x$-aksen i $(-2, 0)$.

Til slutt finner vi $y$-skjæringen ved å sette $x = 0$: $\displaystyle f(0) = \frac{0 + 2}{0 - 1} = \frac{2}{-1} = -2$. Grafen krysser $y$-aksen i $(0, -2)$.

La oss prøve en til: $\displaystyle f(x) = \frac{2x - 4}{x + 3}$. Loddrett asymptote der $x + 3 = 0$, altså $x = -3$. Vannrett asymptote: begge har grad 1, $\displaystyle y = \frac{2}{1} = 2$. Nullpunkt: $2x - 4 = 0$ gir $x = 2$. $y$-skjæring: $\displaystyle f(0) = \frac{-4}{3} = -\frac{4}{3}$.

Med disse fem stegene – definisjonsmengde, loddrette asymptoter, vannrette asymptoter, nullpunkter og $y$-skjæring – kan du tegne en god skisse av enhver rasjonal funksjon du møter.

Oppsummering

I dette kapittelet har vi utforsket rasjonale funksjoner – funksjoner på formen $\displaystyle f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ der teller og nevner er polynomer.

Definisjonsmengden er alle reelle tall bortsett fra de $x$-verdiene der nevneren er null. Vi finner dem ved å løse $Q(x) = 0$. For eksempel har $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$ definisjonsmengde $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$.

Loddrette asymptoter oppstår der nevneren er null og telleren ikke er null. Grafen skyter mot pluss eller minus uendelig nær disse linjene. Hvis derimot teller og nevner begge er null i samme punkt, kan vi forkorte brøken, og vi får et hull i grafen i stedet.

Vannrette asymptoter bestemmes av graden til teller og nevner: er tellergraden lavere, er asymptoten $y = 0$; er gradene like, er asymptoten $y$ lik forholdet mellom de ledende koeffisientene; er tellergraden høyere, finnes ingen vannrett asymptote.

For å analysere en rasjonal funksjon fullstendig finner du definisjonsmengde, loddrette og vannrette asymptoter, nullpunkter (teller lik null) og $y$-skjæring ($f(0)$). Sammen gir disse opplysningene deg alt du trenger for å forstå grafens form.