3.7 Rasjonale funksjoner | Matematikk 1T

Funksjoner på brøkform med polynomer.

35 min

11 oppgaver

Rasjonale funksjonerAsymptoterDefinisjonsmengde

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.6Polynomfunksjoner

En rasjonal funksjon er en brøk der både teller og nevner er polynomer. Disse funksjonene har spesielle egenskaper som asymptoter og hull i grafen.

I dette kapitlet lærer du:
- Definisjonsmengde
- Loddrette asymptoter
- Vannrette asymptoter

Rasjonal funksjon

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

✏️Eksempel 1

Finn definisjonsmengden til $\displaystyle f(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 4}$ .

Nevneren er null når:

x^2 - 4 = 0

(x - 2)(x + 2) = 0

x = 2 \text{ eller } x = -2

Definisjonsmengde: $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$

Svar: Alle reelle tall unntatt $x = -2$ og $x = 2$ .

📝Oppgave 1

Finn definisjonsmengden:

\displaystyle f(x) = \frac{1}{x + 3}

\displaystyle g(x) = \frac{x}{x^2 - 9}

Loddrett asymptote

x = a

✏️Eksempel 2

Finn loddrette asymptoter for $\displaystyle f(x) = \frac{x + 1}{(x - 2)(x + 3)}$ .

Nevneren er null når $(x - 2)(x + 3) = 0$ .

$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$

Telleren $x + 1$ er ikke null i disse punktene.

Svar: Loddrette asymptoter $x = 2$ og $x = -3$

📝Oppgave 2

Finn loddrette asymptoter:

\displaystyle f(x) = \frac{2}{x - 4}

\displaystyle g(x) = \frac{x}{x^2 - 1}

Løs oppgaven

Vannrett asymptote

y = b

✏️Eksempel 3

Finn vannrett asymptote for $\displaystyle f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$ .

Teller har grad 1, nevner har grad 1.
Gradene er like.

$y = \frac{\text{ledende koeff. i teller}}{\text{ledende koeff. i nevner}} = \frac{3}{1} = 3$

Svar: Vannrett asymptote $y = 3$

📝Oppgave 3

Finn vannrette asymptoter:

\displaystyle f(x) = \frac{3}{x + 1}

\displaystyle g(x) = \frac{2x - 5}{x + 3}

Løs oppgaven

✏️Eksempel 4: Polynomdivisjon og asymptoter

Skriv $\displaystyle f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}$ på formen $\displaystyle a + \frac{b}{x - 1}$ , og finn asymptotene.

\begin{array}{l} (2x + 1) : (x - 1) = 2 \\ \underline{-(2x - 2)} \\ \phantom{-(2x - }3 \end{array}

Divisjonen gir $2$ med rest $3$ :

$f(x) = 2 + \frac{3}{x - 1}$

Kontroll: $2(x - 1) + 3 = 2x + 1$

Når $x$ nærmer seg $1$ , blir $\displaystyle \frac{3}{x - 1}$ tallmessig svært stor. Loddrett asymptote: $x = 1$ .

Når $x \to \pm\infty$ , går $\displaystyle \frac{3}{x - 1}$ mot $0$ , og $f(x)$ nærmer seg $2$ . Vannrett asymptote: $y = 2$ .

Svar: $\displaystyle f(x) = 2 + \frac{3}{x - 1}$ . Asymptotene er $x = 1$ og $y = 2$ .

✏️Eksempel 5

Analyser $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ .

Faktoriser telleren:

f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1}

For $x \neq 1$ :
$f(x) = x + 1$

Viktig: $f(1)$ er udefinert!

Grafen er linjen $y = x + 1$ med et hull i punktet $(1, 2)$ .

Dette er ikke en loddrett asymptote fordi telleren også er null i $x = 1$ .

Svar: $f(x) = x + 1$ for $x \neq 1$ , med hull i $(1, 2)$

📝Oppgave 4

Forenkle og finn hull i grafen: $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x - 3}$

Å skissere rasjonale funksjoner

1. Finn definisjonsmengden
2. Finn loddrette asymptoter
3. Finn vannrette asymptoter
4. Finn nullpunkter ( $f(x) = 0$ )
5. Finn $y$ -skjæring ( $f(0)$ )

✏️Eksempel 6

Finn alle asymptoter og nullpunkter for $\displaystyle f(x) = \frac{x + 2}{x - 1}$ .

Loddrett asymptote: Nevner null når

x = 1

. Asymptote:

x = 1

Vannrett asymptote: Grad teller = grad nevner = 1.
$\displaystyle y = \frac{1}{1} = 1$ . Asymptote: $y = 1$

Nullpunkt: Teller null når $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

$y$ -skjæring: $\displaystyle f(0) = \frac{2}{-1} = -2$

Svar: Loddrett asymptote $x = 1$ , vannrett asymptote $y = 1$ og nullpunkt $x = -2$

📝Oppgave 5

Finn alle asymptoter, nullpunkter og $y$ -skjæring for $\displaystyle f(x) = \frac{2x - 4}{x + 3}$ .

📝Oppgave 6

Finn nullpunktene til $\displaystyle f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 1}$ .

✏️Eksempel 7: Lag en funksjon med gitte asymptoter

Finn en funksjon $\displaystyle f(x) = \frac{ax + b}{x + c}$ som har loddrett asymptote $x = -2$ , vannrett asymptote $y = 3$ og går gjennom punktet $(0, 1)$ .

Loddrett asymptote

x = -2

gir nevneren

x + 2

, så

c = 2

Vannrett asymptote $y = 3$ gir $\displaystyle \frac{a}{1} = 3$ , så $a = 3$ .

$f(x) = \frac{3x + b}{x + 2}$

$f(0) = \frac{b}{2} = 1$

$b = 2$

Svar: $\displaystyle f(x) = \frac{3x + 2}{x + 2}$

Kontroll: Telleren er $3 \cdot (-2) + 2 = -4 \neq 0$ i $x = -2$ , så $x = -2$ er en asymptote og ikke et hull. $\displaystyle f(0) = \frac{2}{2} = 1$ .

📝Oppgave 7

Polynomdivisjon og asymptoter.

Skriv $\displaystyle g(x) = \frac{3x - 1}{x - 2}$ på formen $\displaystyle a + \frac{b}{x - 2}$ , og finn asymptotene.

Finn en funksjon $\displaystyle h(x) = \frac{ax + b}{x + c}$ med loddrett asymptote $x = 1$ , vannrett asymptote $y = -2$ og som går gjennom $(0, 4)$ .

Løs oppgaven

Oppsummering

- En rasjonal funksjon har formen $\displaystyle f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ der $P(x)$ og $Q(x)$ er polynomer
- Definisjonsmengden er alle $x$ -verdier der nevneren ikke er null: $Q(x) \neq 0$
- Loddrett asymptote $x = a$ finnes der nevneren er null, men ikke telleren
- Vannrett asymptote avhenger av graden til teller og nevner:
- Grad $(P) <$ grad $(Q)$ : $y = 0$
- Grad $(P) =$ grad $(Q)$ : $\displaystyle y = \frac{\text{ledende koeff. i } P}{\text{ledende koeff. i } Q}$
- Grad $(P) >$ grad $(Q)$ : ingen vannrett asymptote
- Polynomdivisjon: $\displaystyle \frac{2x + 1}{x - 1} = 2 + \frac{3}{x - 1}$ viser begge asymptotene direkte
- Hvis både teller og nevner er null i samme punkt, får vi et hull i grafen (ikke en asymptote)
- For å analysere en rasjonal funksjon: finn definisjonsmengde, loddrette asymptoter, vannrette asymptoter, nullpunkter og $y$ -skjæring

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.