3.6 Polynomfunksjoner

Utover parabelen

Til nå har vi jobbet med lineære funksjoner (grad 1) og andregradsfunksjoner (grad 2). Men hva skjer når eksponentene blir enda større? Da er vi inne i verden til polynomfunksjoner – en familie av funksjoner som inkluderer alt fra rette linjer til ville svingete kurver.

Et polynom er et uttrykk der variabelen har hele, ikke-negative eksponenter. Vi har allerede møtt $3x + 2$ (grad 1) og $x^2 - 5x + 6$ (grad 2). Nå utvider vi horisonten til tredjegrads-, fjerdegrads- og enda høyere polynomer. Disse funksjonene kan svinge opp og ned flere ganger, ha mange nullpunkter, og oppføre seg svært forskjellig i ulike deler av tallinjen. I dette kapittelet skal vi lære å forstå og temme dem.

Grad og ledende koeffisient

Hvert polynom har to nøkkelegenskaper som forteller deg mye om hvordan det oppfører seg: graden og den ledende koeffisienten.

Graden til et polynom er den høyeste eksponenten. For $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + x - 5$ er graden $4$, fordi $x^4$ er leddet med høyest eksponent. Den ledende koeffisienten er koeffisienten foran leddet med høyest eksponent – i dette tilfellet $3$. Konstantleddet er tallet uten $x$, altså $-5$.

Det er viktig å forstå at et polynom ikke trenger å ha alle eksponentene representert. I uttrykket $3x^4 - 2x^2 + x - 5$ mangler $x^3$-leddet, men graden er likevel $4$. Det er den høyeste eksponenten som teller, ikke om alle leddene er med.

Pass også på at leddene ikke alltid står i rekkefølge. Hvis noen gir deg $h(x) = 2x - 7x^4 + x^2$, kan det se litt forvirrende ut. Men vi ordner leddene etter synkende eksponent: $h(x) = -7x^4 + x^2 + 2x$. Nå ser vi tydelig at graden er $4$ og den ledende koeffisienten er $-7$.

En ting til: et polynom av grad $1$ er en lineær funksjon, grad $2$ gir en andregradsfunksjon, grad $3$ gir en tredjegradsfunksjon, og så videre. Det vi lærte om parabeler i de forrige kapitlene er altså et spesialtilfelle av polynomteori.

Endenes oppførsel – hva skjer langt ute?

Når $x$ blir veldig stor (positiv eller negativ), er det leddet med høyest eksponent som dominerer totalt. De andre leddene blir ubetydelige i sammenligning. Derfor bestemmer graden og den ledende koeffisienten hva som skjer med grafen «i ytterkantene» – det vi kaller endenes oppførsel.

Reglene er overraskende enkle, og de handler om to ting: er graden et partall eller et oddetall, og er den ledende koeffisienten positiv eller negativ?

For partallsgrad (2, 4, 6, ...) oppfører begge endene seg likt. Hvis den ledende koeffisienten $a_n > 0$, peker begge ender oppover – tenk på en bred smilefjes. Hvis $a_n < 0$, peker begge ender nedover – som et fjell.

For oddetallsgrad (1, 3, 5, ...) går endene i motsatte retninger. Hvis $a_n > 0$, går grafen fra nedre venstre til øvre høyre – som en stigende S-kurve. Hvis $a_n < 0$, går den fra øvre venstre til nedre høyre.

La oss ta $f(x) = -x^3 + 4x$. Graden er $3$ (oddetall) og den ledende koeffisienten er $-1$ (negativ). Det betyr at grafen går fra øvre venstre til nedre høyre. Mer presist: når $x \to -\infty$, går $f(x) \to +\infty$, og når $x \to +\infty$, går $f(x) \to -\infty$.

Et annet eksempel: $g(x) = -x^4 + 3x^2$. Graden er $4$ (partall) og den ledende koeffisienten er $-1$ (negativ). Begge ender peker nedover: $g(x) \to -\infty$ for store $|x|$.

Nullpunkter ved faktorisering

Et polynom av grad $n$ kan ha høyst $n$ nullpunkter. En tredjegradsfunksjon kan altså ha opptil tre nullpunkter, en fjerdegradsfunksjon opptil fire, og så videre. Den viktige sammenhengen er: hvis $x = r$ er et nullpunkt for polynomet, så er $(x - r)$ en faktor.

For å finne nullpunktene til polynomer av høyere grad bruker vi ofte faktorisering. Det vanligste første steget er å trekke ut en felles faktor.

La oss ta $f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x$. Alle tre leddene inneholder $x$, så vi trekker ut: $f(x) = x(x^2 - 4x + 3)$. Nå har vi et andregradsuttrykk i parentesen, som vi kan faktorisere videre. Vi trenger to tall som ganget gir $3$ og addert gir $-4$: det er $-1$ og $-3$. Dermed er $f(x) = x(x - 1)(x - 3)$.

Nullpunktene finner vi ved å sette hver faktor lik null: $x = 0$, $x = 1$, eller $x = 3$. Tre nullpunkter for en tredjegradsfunksjon – det maksimale antallet.

Et annet eksempel: $g(x) = x^3 - 9x$. Trekk ut $x$: $g(x) = x(x^2 - 9)$. Vi kjenner igjen konjugatsetningen: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$. Så $g(x) = x(x - 3)(x + 3)$, og nullpunktene er $x = 0$, $x = 3$, og $x = -3$.

Nøkkelen er å alltid se etter en felles faktor først, og deretter bruke teknikkene du allerede kan – faktorisering av andregradsuttrykk, konjugatsetningen, og abc-formelen.

Substitusjon – et triks for fjerdegradspolynomer

Noen ganger møter du polynomer som ser vanskelige ut, men som kan løses med et elegant triks: substitusjon. Dette fungerer spesielt godt for fjerdegradspolynomer der bare partallspotenser opptrer.

Ta for eksempel $f(x) = x^4 - 5x^2 + 4$. Her er det bare $x^4$ og $x^2$ (ingen $x^3$ eller $x$). Trikset er å innføre en ny variabel $u = x^2$. Da blir $x^4 = u^2$, og polynomet forvandles til $u^2 - 5u + 4$.

Nå har vi et vanlig andregradsuttrykk i $u$! Vi faktoriserer: $(u - 1)(u - 4) = 0$, som gir $u = 1$ eller $u = 4$. Men vi er ikke ferdige – vi må tilbake til $x$. Siden $u = x^2$, har vi $x^2 = 1$ eller $x^2 = 4$, som gir $x = \pm 1$ eller $x = \pm 2$.

Vi kan også skrive hele faktoriseringen: $f(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 4) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$. Fire nullpunkter for en fjerdegradsfunksjon – det maksimale antallet.

La oss prøve med $g(x) = x^4 - 10x^2 + 9$. Med $u = x^2$ får vi $u^2 - 10u + 9 = (u - 1)(u - 9)$. Tilbake: $x^2 = 1$ gir $x = \pm 1$, og $x^2 = 9$ gir $x = \pm 3$. Nullpunktene er $x = -3, -1, 1, 3$.

Merk at dette trikset ikke fungerer for alle polynomer, men det er gull verdt når du ser at bare partallspotenser er involvert.

Å finne polynomet fra nullpunktene

Noen ganger jobber vi den andre veien: vi kjenner nullpunktene og skal finne funksjonsuttrykket. Hvis vi vet at et polynom av grad $n$ har nullpunkter $x_1, x_2, \ldots, x_n$, kan vi skrive det som $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \cdots (x - x_n)$, der $a$ er en ukjent koeffisient som vi må bestemme med tilleggsinformasjon.

La oss ta et konkret eksempel. Et polynom av grad 3 har nullpunkter $x = -2$, $x = 1$ og $x = 3$, og vi vet at $f(0) = 6$. Vi skriver opp: $f(x) = a(x + 2)(x - 1)(x - 3)$. For å finne $a$ bruker vi at $f(0) = 6$: $a \cdot 2 \cdot (-1) \cdot (-3) = 6a = 6$, altså $a = 1$. Svaret er $f(x) = (x + 2)(x - 1)(x - 3)$.

En annen nyttig teknikk er å gjenkjenne at en bestemt verdi er et nullpunkt, og deretter bruke polynomdivisjon eller inspeksjon for å faktorisere videre. For eksempel: løs $x^3 - 7x + 6 = 0$. Et hint er å prøve $x = 1$: $1 - 7 + 6 = 0$. Bingo! Siden $x = 1$ er en løsning, er $(x - 1)$ en faktor. Vi deler polynomet på $(x - 1)$ og finner $x^3 - 7x + 6 = (x - 1)(x^2 + x - 6)$. Andregradsuttrykket faktoriseres: $(x + 3)(x - 2)$. Alle løsningene er $x = 1, -3, 2$.

Å skissere grafen til et polynom handler om å kombinere alt vi har lært: finn graden (for endenes oppførsel), finn nullpunktene (for krysningspunktene med $x$-aksen), finn $y$-skjæringen $f(0)$, og tegn en jevn kurve gjennom punktene.

Oppsummering

I dette kapittelet har vi utvidet horisonten til polynomfunksjoner av vilkårlig grad.

Graden til et polynom er den høyeste eksponenten, og den ledende koeffisienten er koeffisienten foran dette leddet. Sammen bestemmer de grafens endenes oppførsel: partallsgrad gir ender som peker samme vei, oddetallsgrad gir ender som peker motsatt vei. Positiv ledende koeffisient gir oppoverpekende ender (høyre side), negativ gir nedoverpekende.

Et polynom av grad $n$ har høyst $n$ nullpunkter. Vi finner nullpunktene ved faktorisering – først trekker vi ut eventuelle fellesfaktorer, og deretter bruker vi kjente teknikker som konjugatsetningen og abc-formelen på andregradsuttrykkene som gjenstår.

For fjerdegradspolynomer med bare partallspotenser kan vi bruke substitusjon $u = x^2$ for å redusere problemet til et andregradsuttrykk.

Kjenner vi nullpunktene, kan vi rekonstruere polynomet: $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \cdots (x - x_n)$, der $a$ bestemmes fra en kjent funksjonsverdi.