3.6 Polynomfunksjoner | Matematikk 1T

Funksjoner med grad høyere enn 2.

35 min

11 oppgaver

PolynomgradNullpunkterFaktorisering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.5Nullpunkter og fortegn

Brukes videre i

3.7Rasjonale funksjoner

Et polynom er et uttrykk med flere ledd der variabelen har hele, ikke-negative eksponenter. Polynomfunksjoner inkluderer lineære funksjoner (grad 1), andregradsfunksjoner (grad 2), og funksjoner av høyere grad.

I dette kapitlet lærer du:
- Grad og ledende koeffisient
- Nullpunkter og faktorisering
- Grafenes oppførsel

Polynomfunksjon

n

✏️Eksempel 1

Finn grad og ledende koeffisient for $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + x - 5$ .

Vi ser på hvert ledd:
- $3x^4$ : eksponent 4
- $-2x^2$ : eksponent 2
- $x$ : eksponent 1
- $-5$ : konstantledd

Grad: 4 (den høyeste eksponenten)
Ledende koeffisient: 3 (koeffisienten foran $x^4$ )
Konstantledd: $-5$

Svar: Grad 4 og ledende koeffisient 3

📝Oppgave 1

Finn grad og ledende koeffisient:

f(x) = 2x^5 - x^3 + 1

g(x) = -x^3 + x^2 - x

h(x) = 2x - 7x^4 + x^2

Grafenes oppførsel

Ledende koeffisient og grad bestemmer hva som skjer med grafen for store $|x|$ :

Partall grad:
- $a_n > 0$ : Begge ender oppover
- $a_n < 0$ : Begge ender nedover

Oddetall grad:
- $a_n > 0$ : Nedre venstre til øvre høyre
- $a_n < 0$ : Øvre venstre til nedre høyre

✏️Eksempel 2

Beskriv oppførselen til $f(x) = -x^3 + 4x$ for store $|x|$ .

Grad: 3 (oddetall)
Ledende koeffisient:

-1 < 0

For store $|x|$ dominerer $-x^3$ -leddet:
- Når $x \to +\infty$ : $f(x) \to -\infty$ (går nedover)
- Når $x \to -\infty$ : $f(x) \to +\infty$ (går oppover)

Svar: Grafen går fra øvre venstre til nedre høyre.

📝Oppgave 2

Beskriv endenes oppførsel:

f(x) = x^3 - 2x

g(x) = -x^4 + 3x^2

h(x) = 2x^5 - x

📜Antall nullpunkter

Et polynom av grad $n$ har høyst $n$ nullpunkter.

Hvis $x = r$ er et nullpunkt, er $(x - r)$ en faktor i polynomet.

✏️Eksempel 3

Finn nullpunktene til $f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x$ .

Faktoriser: Trekk ut

x

f(x) = x(x^2 - 4x + 3)

Faktoriser andregradsuttrykket:
$f(x) = x(x - 1)(x - 3)$

Nullpunkter: $f(x) = 0$ når en av faktorene er 0.

Svar: $x = 0$ , $x = 1$ eller $x = 3$

📝Oppgave 3

Finn nullpunktene:

f(x) = x^3 - 9x

g(x) = x^3 - x^2 - 6x

Løs oppgaven

✏️Eksempel 4

Finn nullpunktene til $f(x) = x^4 - 5x^2 + 4$ .

Med

u = x^2

blir uttrykket:

x^4 - 5x^2 + 4 = u^2 - 5u + 4 = (u - 1)(u - 4)

Tilbake til $x$ :
$f(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 4)$

Faktoriser videre:
$f(x) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$

Svar: $x = -2$ , $x = -1$ , $x = 1$ og $x = 2$

📝Oppgave 4

Finn nullpunktene (bruk substitusjon $u = x^2$ ):

f(x) = x^4 - 10x^2 + 9

g(x) = x^4 - 13x^2 + 36

Løs oppgaven

Skissere polynomgrafer

1. Finn graden og avgjør endenes oppførsel
2. Finn nullpunktene (løs $f(x) = 0$ )
3. Finn $y$ -skjæringen ( $f(0)$ )
4. Tegn en jevn kurve gjennom punktene

✏️Eksempel 5: Skisser grafen

Skisser grafen til $f(x) = x^3 - 2x^2 - 3x$ .

Grad

3

og ledende koeffisient

1 > 0

: grafen går fra nedre venstre til øvre høyre.

$f(x) = x(x^2 - 2x - 3)$

$f(x) = x(x + 1)(x - 3)$

Nullpunkter: $x = -1$ , $x = 0$ og $x = 3$

$x$	$-1$	$0$	$3$
$x + 1$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x - 3$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

Noen punkter til skissen:

f(-2) = -8 - 8 + 6 = -10

f(1) = 1 - 2 - 3 = -4

f(2) = 8 - 8 - 6 = -6

f(4) = 64 - 32 - 12 = 20

Tredjegradsgraf som kommer nedenfra, krysser x-aksen i −1, ligger litt over aksen mellom −1 og 0, under aksen mellom 0 og 3, og stiger over aksen etter 3.

Svar: Grafen kommer nedenfra, krysser $x$ -aksen i $x = -1$ , ligger over aksen mellom $-1$ og $0$ , under aksen mellom $0$ og $3$ , og over aksen for $x > 3$ .

✏️Eksempel 6

Et polynom av grad 3 har nullpunkter $x = -2, 1, 3$ og $f(0) = 6$ . Finn $f(x)$ .

f(x) = a(x + 2)(x - 1)(x - 3)

$f(0) = a \cdot 2 \cdot (-1) \cdot (-3) = 6a$

$6a = 6$

$a = 1$

Svar: $f(x) = (x + 2)(x - 1)(x - 3)$

📝Oppgave 5

Et polynom av grad 3 har nullpunkter $x = -1, 2, 4$ og $f(0) = 8$ . Finn $f(x)$ .

📝Oppgave 6

Løs likningen $x^3 - 7x + 6 = 0$ .

Oppsummering

- Polynomfunksjon: $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ der $a_n \neq 0$
- Grad: Den høyeste eksponenten $n$ i polynomet. Bestemmer maksimalt antall nullpunkter
- Ledende koeffisient: $a_n$ - koeffisienten foran leddet med høyest eksponent
- Endenes oppførsel: Bestemmes av grad og ledende koeffisient. Partallsgrad: begge ender samme retning. Oddetallsgrad: ender i motsatte retninger
- Nullpunkter: Et polynom av grad $n$ har høyst $n$ nullpunkter. Finn ved faktorisering eller substitusjon
- Faktorisert form: Hvis $x = r$ er nullpunkt, er $(x - r)$ en faktor i polynomet
- Substitusjon: For $x^4$ -likninger: sett $u = x^2$ for å redusere til andregradslikning

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.