3.4 Andregradsfunksjoner

Kurven som forandrer retning

Tenk deg at du kaster en ball rett opp i lufta. Den stiger, bremser ned, stopper et øyeblikk helt øverst, og faller så tilbake ned igjen. Banen ballen følger er ikke en rett linje – den er en buet kurve som matematikere kaller en parabel. Parabelen er grafen til en andregradsfunksjon, og den dukker opp overalt: i brokonstruksjoner, i lyskasterne på bilen din, og til og med i parabolantenner.

En andregradsfunksjon har formen $f(x) = ax^2 + bx + c$, der $a$, $b$ og $c$ er konstanter og $a \neq 0$. Det er $x^2$-leddet som gir kurven sin karakteristiske buede form. I dette kapittelet skal vi utforske hvordan parabelen oppfører seg, hvordan du finner dens høyeste eller laveste punkt, og hvordan du kan tegne den nøyaktig ut fra funksjonsuttrykket.

Smilende eller sur – fortegnet til $a$

Det aller første du bør se på når du møter en andregradsfunksjon, er koeffisienten $a$ – tallet foran $x^2$. Denne koeffisienten kalles den ledende koeffisienten, og den avgjør om parabelen åpner oppover eller nedover.

Hvis $a > 0$, altså positiv, ser parabelen ut som en smilefjes – den åpner oppover og har et laveste punkt som vi kaller bunnpunktet. Tenk deg en skål: den holder ting inne, og funksjonsverdiene kan ikke bli lavere enn bunnpunktet.

Hvis $a < 0$, altså negativ, snur parabelen seg og åpner nedover. Da ligner den mer på et fjell eller en regnbue – den har et høyeste punkt som vi kaller toppunktet. Funksjonen kan aldri nå høyere enn dette punktet.

Men $a$ bestemmer mer enn bare retningen. Størrelsen til $|a|$ påvirker hvor smal eller bred parabelen er. Når $|a|$ er stor, for eksempel $a = 3$, presses parabelen sammen og blir smal. Når $|a|$ er liten, for eksempel $a = 0{,}5$, brer parabelen seg ut og blir flatere. Så $f(x) = 3x^2$ er mye smalere enn $f(x) = 0{,}5x^2$, men begge åpner oppover fordi $a > 0$.

La oss ta et eksempel: $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$. Her er $a = 2$, $b = -4$ og $c = 1$. Siden $a = 2 > 0$, vet vi at parabelen åpner oppover og har et bunnpunkt. Og siden $|a| = 2 > 1$, er parabelen relativt smal. Konstantleddet $c = 1$ forteller oss at grafen skjærer $y$-aksen i punktet $(0, 1)$, fordi $f(0) = 1$.

Symmetrilinjen – parabelens speil

En av de vakreste egenskapene til parabelen er at den er perfekt symmetrisk. Hvis du tenker deg en vertikal linje som deler parabelen i to like halvdeler, så er denne linjen symmetrilinjen. Alt som skjer på venstre side av denne linjen, skjer speilt på høyre side.

For funksjonen $f(x) = ax^2 + bx + c$ er symmetrilinjen gitt ved formelen:

$$x = -\frac{b}{2a}$$

Denne formelen er verdt å huske godt, for den gir deg $x$-koordinaten til topp- eller bunnpunktet med én gang. Når du har funnet denne $x$-verdien, setter du den inn i funksjonsuttrykket for å finne $y$-koordinaten.

La oss prøve med $f(x) = x^2 - 6x + 5$. Her er $a = 1$, $b = -6$ og $c = 5$. Symmetrilinjen er $\displaystyle x = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$. Nå vet vi at $x$-koordinaten til bunnpunktet er $3$. For å finne $y$-koordinaten regner vi ut $f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$. Bunnpunktet er altså $(3, -4)$.

Legg merke til hvor mye informasjon vi har fått fra denne ene formelen: vi vet at parabelen har et bunnpunkt (fordi $a = 1 > 0$), vi vet nøyaktig hvor bunnpunktet er, og vi vet at parabelen er symmetrisk om linjen $x = 3$. Det betyr for eksempel at $f(2) = f(4)$, fordi $2$ og $4$ ligger like langt fra symmetrilinjen $x = 3$.

Å finne toppunkt og bunnpunkt

Nå som vi kan finne symmetrilinjen, er det rett frem å finne selve topp- eller bunnpunktet. Metoden er alltid den samme: finn $x$-koordinaten med formelen $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$, og sett så denne verdien inn i $f(x)$ for å finne $y$-koordinaten. Resultatet er punktet $\displaystyle \left(-\frac{b}{2a},\; f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$.

La oss ta funksjonen $f(x) = -2x^2 + 8x - 3$. Siden $a = -2 < 0$, vet vi at denne parabelen åpner nedover og har et toppunkt. Vi regner ut $x$-koordinaten: $\displaystyle x = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$. Deretter setter vi inn: $f(2) = -2 \cdot 4 + 8 \cdot 2 - 3 = -8 + 16 - 3 = 5$. Toppunktet er $(2, 5)$.

Hva betyr dette i praksis? Det betyr at den største verdien funksjonen kan ta er $5$, og den oppnås når $x = 2$. For alle andre $x$-verdier vil $f(x)$ være mindre enn $5$.

La oss ta et eksempel til: $g(x) = 2x^2 - 8x + 5$. Her er $a = 2 > 0$, så vi leter etter et bunnpunkt. Symmetrilinjen er $\displaystyle x = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$. Bunnpunktets $y$-koordinat: $g(2) = 2 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 5 = 8 - 16 + 5 = -3$. Bunnpunktet er $(2, -3)$, og den minste verdien funksjonen kan ta er $-3$.

Denne teknikken er ekstremt nyttig i praktiske oppgaver. Tenk deg at du kaster en ball som følger banen $h(t) = -5t^2 + 20t$ meter etter $t$ sekunder. Når når ballen sitt høyeste punkt? Vi finner toppunktet: $\displaystyle t = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} = 2$ sekunder, og $h(2) = -20 + 40 = 20$ meter. Ballen når altså 20 meter etter 2 sekunder.

Toppunktform og fullstendig kvadrats metode

Det finnes en annen måte å skrive andregradsfunksjoner på som gjør topp- eller bunnpunktet synlig med en gang. Den kalles toppunktform:

$$f(x) = a(x - h)^2 + k$$

Her er $(h, k)$ toppunktet eller bunnpunktet. Fordelen er åpenbar: du leser av topp- eller bunnpunktet direkte. For eksempel betyr $f(x) = 2(x - 3)^2 + 1$ at bunnpunktet er $(3, 1)$, fordi $a = 2 > 0$.

Men hvordan gjør vi om fra standardform $ax^2 + bx + c$ til toppunktform? Vi bruker fullstendig kvadrats metode. La oss ta $f(x) = x^2 - 4x + 7$ som eksempel.

Først grupperer vi $x$-leddene: $f(x) = (x^2 - 4x) + 7$. Deretter tar vi halvparten av koeffisienten foran $x$, som er $-4$, og kvadrerer: $\displaystyle \left(\frac{-4}{2}\right)^2 = 4$. Vi legger til og trekker fra dette tallet inne i uttrykket: $f(x) = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 7$. Nå kjenner vi igjen et fullstendig kvadrat: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$. Dermed er $f(x) = (x - 2)^2 + 3$.

Fra toppunktformen leser vi at bunnpunktet er $(2, 3)$. Vi kan sjekke med formelen: $\displaystyle x = -\frac{-4}{2} = 2$ og $f(2) = 4 - 8 + 7 = 3$. Stemmer perfekt!

La oss ta ett eksempel til: $g(x) = x^2 + 6x + 5$. Halvparten av $6$ er $3$, og $3^2 = 9$. Så $g(x) = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$. Bunnpunktet er $(-3, -4)$.

Å tegne en parabel steg for steg

Nå har vi alle verktøyene vi trenger for å tegne en parabel for hånd. La oss sette det hele sammen i en systematisk fremgangsmåte og bruke den på et konkret eksempel.

Vi tegner $f(x) = -2x^2 + 12x - 10$. Første steg er å se på fortegnet til $a$. Her er $a = -2 < 0$, så parabelen åpner nedover og har et toppunkt. Andre steg er å finne skjæringen med $y$-aksen. Vi regner ut $f(0) = -10$, så grafen går gjennom punktet $(0, -10)$.

Tredje steg er å finne symmetrilinjen: $\displaystyle x = -\frac{12}{2 \cdot (-2)} = -\frac{12}{-4} = 3$. Fjerde steg er å finne toppunktet: $f(3) = -2 \cdot 9 + 12 \cdot 3 - 10 = -18 + 36 - 10 = 8$. Toppunktet er $(3, 8)$.

Femte steg er å finne eventuelle nullpunkter, altså der grafen krysser $x$-aksen. Det tar vi mer i dybden i neste kapittel, men vi kan nevne at denne funksjonen har nullpunkter i $x = 1$ og $x = 5$ (sjekk gjerne: $f(1) = -2 + 12 - 10 = 0$ og $f(5) = -50 + 60 - 10 = 0$).

Sjette og siste steg er å tegne en jevn kurve gjennom alle disse punktene. Start med toppunktet $(3, 8)$ øverst, gå gjennom nullpunktene $(1, 0)$ og $(5, 0)$, og ned gjennom $y$-skjæringen $(0, -10)$. Husk at kurven er symmetrisk om linjen $x = 3$.

Denne oppskriften fungerer for alle andregradsfunksjoner. Og den største verdien til denne funksjonen? Det er $8$, som oppnås når $x = 3$ – nøyaktig i toppunktet.

Oppsummering

I dette kapittelet har vi blitt kjent med andregradsfunksjoner på formen $f(x) = ax^2 + bx + c$ og grafene deres – parablene.

Den ledende koeffisienten $a$ bestemmer om parabelen åpner oppover ($a > 0$, bunnpunkt) eller nedover ($a < 0$, toppunkt). Størrelsen $|a|$ avgjør bredden: stor $|a|$ gir smal parabel, liten $|a|$ gir bred parabel.

Symmetrilinjen $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$ deler parabelen i to like halvdeler. Ved å sette denne $x$-verdien inn i funksjonen finner du topp- eller bunnpunktet: $\displaystyle \left(-\frac{b}{2a},\; f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$.

Med fullstendig kvadrats metode kan du skrive funksjonen på toppunktform $f(x) = a(x - h)^2 + k$, der $(h, k)$ er topp- eller bunnpunktet. Metoden går ut på å ta halvparten av koeffisienten foran $x$, kvadrere den, og legge til og trekke fra dette tallet.

For å tegne en parabel: sjekk fortegnet til $a$, finn $y$-skjæringen $f(0) = c$, beregn symmetrilinjen, finn topp-/bunnpunktet, og tegn en jevn, symmetrisk kurve.