3.4 Andregradsfunksjoner

Kurven som forandrer retning

Tenk deg at du kaster en ball skrått opp i lufta. Den stiger, flater ut helt øverst og faller så ned igjen. Banen ballen følger er ikke en rett linje – den er en buet kurve som matematikere kaller en parabel. Parabelen er grafen til en andregradsfunksjon, og den dukker opp overalt: i brokonstruksjoner, i lyskasterne på bilen din, og til og med i parabolantenner.

En andregradsfunksjon har formen $f(x) = ax^2 + bx + c$, der $a$, $b$ og $c$ er konstanter og $a \neq 0$. Det er $x^2$-leddet som gir kurven sin karakteristiske buede form. I dette kapittelet skal vi utforske hvordan parabelen oppfører seg, hvordan du finner dens høyeste eller laveste punkt, og hvordan du kan tegne den nøyaktig ut fra funksjonsuttrykket.

Den hule sida opp eller ned – fortegnet til $a$

Det aller første du bør se på når du møter en andregradsfunksjon, er koeffisienten $a$ – tallet foran $x^2$. Denne koeffisienten kalles den ledende koeffisienten, og den avgjør om parabelen åpner oppover eller nedover.

Hvis $a > 0$, altså positiv, vender parabelen den hule sida opp – den åpner oppover og har et laveste punkt som vi kaller bunnpunktet. Tenk deg en skål: den holder ting inne, og funksjonsverdiene kan ikke bli lavere enn bunnpunktet.

Hvis $a < 0$, altså negativ, snur parabelen seg og åpner nedover. Da ligner den mer på et fjell eller en regnbue – den har et høyeste punkt som vi kaller toppunktet. Funksjonen kan aldri nå høyere enn dette punktet.

Men $a$ bestemmer mer enn bare retningen. Størrelsen til $|a|$ påvirker hvor smal eller bred parabelen er. Når $|a|$ er stor, for eksempel $a = 3$, presses parabelen sammen og blir smal. Når $|a|$ er liten, for eksempel $a = 0{,}5$, brer parabelen seg ut og blir flatere. Så $f(x) = 3x^2$ er mye smalere enn $f(x) = 0{,}5x^2$, men begge åpner oppover fordi $a > 0$.

La oss ta et eksempel: $f(x) = 2x^2 - 4x + 1$. Her er $a = 2$, $b = -4$ og $c = 1$. Siden $a = 2 > 0$, vet vi at parabelen åpner oppover og har et bunnpunkt. Og siden $|a| = 2 > 1$, er parabelen relativt smal. Konstantleddet $c = 1$ forteller oss at grafen skjærer $y$-aksen i punktet $(0, 1)$, fordi $f(0) = 1$.

Symmetrilinjen – parabelens speil

En av de vakreste egenskapene til parabelen er at den er perfekt symmetrisk. Hvis du tenker deg en vertikal linje som deler parabelen i to like halvdeler, så er denne linjen symmetrilinjen. Alt som skjer på venstre side av denne linjen, skjer speilt på høyre side.

For funksjonen $f(x) = ax^2 + bx + c$ er symmetrilinjen gitt ved formelen:

$$x = -\frac{b}{2a}$$

Denne formelen er verdt å huske godt, for den gir deg $x$-koordinaten til topp- eller bunnpunktet med én gang. Når du har funnet denne $x$-verdien, setter du den inn i funksjonsuttrykket for å finne $y$-koordinaten.

La oss prøve med $f(x) = x^2 - 6x + 5$. Her er $a = 1$, $b = -6$ og $c = 5$. Symmetrilinjen er $\displaystyle x = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$. Nå vet vi at $x$-koordinaten til bunnpunktet er $3$. For å finne $y$-koordinaten regner vi ut $f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$. Bunnpunktet er altså $(3, -4)$.

Legg merke til hvor mye informasjon vi har fått fra denne ene formelen: vi vet at parabelen har et bunnpunkt (fordi $a = 1 > 0$), vi vet nøyaktig hvor bunnpunktet er, og vi vet at parabelen er symmetrisk om linjen $x = 3$. Det betyr for eksempel at $f(2) = f(4)$, fordi $2$ og $4$ ligger like langt fra symmetrilinjen $x = 3$.

Å finne toppunkt og bunnpunkt

Nå som vi kan finne symmetrilinjen, er det rett frem å finne selve topp- eller bunnpunktet. Metoden er alltid den samme: finn $x$-koordinaten med formelen $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$, og sett så denne verdien inn i $f(x)$ for å finne $y$-koordinaten. Resultatet er punktet $\displaystyle \left(-\frac{b}{2a},\; f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$.

La oss ta funksjonen $f(x) = -2x^2 + 8x - 3$. Siden $a = -2 < 0$, vet vi at denne parabelen åpner nedover og har et toppunkt. Vi regner ut $x$-koordinaten: $\displaystyle x = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$. Deretter setter vi inn: $f(2) = -2 \cdot 4 + 8 \cdot 2 - 3 = -8 + 16 - 3 = 5$. Toppunktet er $(2, 5)$.

Hva betyr dette i praksis? Det betyr at den største verdien funksjonen kan ta er $5$, og den oppnås når $x = 2$. For alle andre $x$-verdier vil $f(x)$ være mindre enn $5$.

La oss ta et eksempel til: $g(x) = 2x^2 - 8x + 5$. Her er $a = 2 > 0$, så vi leter etter et bunnpunkt. Symmetrilinjen er $\displaystyle x = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$. Bunnpunktets $y$-koordinat: $g(2) = 2 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 5 = 8 - 16 + 5 = -3$. Bunnpunktet er $(2, -3)$, og den minste verdien funksjonen kan ta er $-3$.

Denne teknikken er ekstremt nyttig i praktiske oppgaver. Tenk deg at du kaster en ball som følger banen $h(t) = -5t^2 + 20t$ meter etter $t$ sekunder. Når når ballen sitt høyeste punkt? Vi finner toppunktet: $\displaystyle t = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} = 2$ sekunder, og $h(2) = -20 + 40 = 20$ meter. Ballen når altså 20 meter etter 2 sekunder.

Toppunktform og fullstendig kvadrats metode

Det finnes en annen måte å skrive andregradsfunksjoner på som gjør topp- eller bunnpunktet synlig med en gang. Den kalles toppunktform:

$$f(x) = a(x - h)^2 + k$$

Her er $(h, k)$ toppunktet eller bunnpunktet. Fordelen er åpenbar: du leser av topp- eller bunnpunktet direkte. For eksempel betyr $f(x) = 2(x - 3)^2 + 1$ at bunnpunktet er $(3, 1)$, fordi $a = 2 > 0$.

Men hvordan gjør vi om fra standardform $ax^2 + bx + c$ til toppunktform? Vi bruker fullstendig kvadrats metode. La oss ta $f(x) = x^2 - 4x + 7$ som eksempel.

Først grupperer vi $x$-leddene: $f(x) = (x^2 - 4x) + 7$. Deretter tar vi halvparten av koeffisienten foran $x$, som er $-4$, og kvadrerer: $\displaystyle \left(\frac{-4}{2}\right)^2 = 4$. Vi legger til og trekker fra dette tallet inne i uttrykket: $f(x) = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 7$. Nå kjenner vi igjen et fullstendig kvadrat: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$. Dermed er $f(x) = (x - 2)^2 + 3$.

Fra toppunktformen leser vi at bunnpunktet er $(2, 3)$. Vi kan sjekke med formelen: $\displaystyle x = -\frac{-4}{2} = 2$ og $f(2) = 4 - 8 + 7 = 3$. Stemmer perfekt!

La oss ta ett eksempel til: $g(x) = x^2 + 6x + 5$. Halvparten av $6$ er $3$, og $3^2 = 9$. Så $g(x) = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$. Bunnpunktet er $(-3, -4)$.

Å tegne en parabel steg for steg

Nå har vi alle verktøyene vi trenger for å tegne en parabel for hånd. La oss sette det hele sammen i en systematisk fremgangsmåte og bruke den på et konkret eksempel.

Vi tegner $f(x) = -2x^2 + 12x - 10$. Første steg er å se på fortegnet til $a$. Her er $a = -2 < 0$, så parabelen åpner nedover og har et toppunkt. Andre steg er å finne skjæringen med $y$-aksen. Vi regner ut $f(0) = -10$, så grafen går gjennom punktet $(0, -10)$.

Tredje steg er å finne symmetrilinjen: $\displaystyle x = -\frac{12}{2 \cdot (-2)} = -\frac{12}{-4} = 3$. Fjerde steg er å finne toppunktet: $f(3) = -2 \cdot 9 + 12 \cdot 3 - 10 = -18 + 36 - 10 = 8$. Toppunktet er $(3, 8)$.

Femte steg er å finne eventuelle nullpunkter, altså der grafen krysser $x$-aksen. Det tar vi mer i dybden i neste kapittel, men vi kan nevne at denne funksjonen har nullpunkter i $x = 1$ og $x = 5$ (sjekk gjerne: $f(1) = -2 + 12 - 10 = 0$ og $f(5) = -50 + 60 - 10 = 0$).

Sjette og siste steg er å tegne en jevn kurve gjennom alle disse punktene. Start med toppunktet $(3, 8)$ øverst, gå gjennom nullpunktene $(1, 0)$ og $(5, 0)$, og ned gjennom $y$-skjæringen $(0, -10)$. Husk at kurven er symmetrisk om linjen $x = 3$.

Denne oppskriften fungerer for alle andregradsfunksjoner. Og den største verdien til denne funksjonen? Det er $8$, som oppnås når $x = 3$ – nøyaktig i toppunktet.

Oppsummering

I dette kapittelet har vi blitt kjent med andregradsfunksjoner på formen $f(x) = ax^2 + bx + c$ og grafene deres – parablene.

Den ledende koeffisienten $a$ bestemmer om parabelen åpner oppover ($a > 0$, bunnpunkt) eller nedover ($a < 0$, toppunkt). Størrelsen $|a|$ avgjør bredden: stor $|a|$ gir smal parabel, liten $|a|$ gir bred parabel.

Symmetrilinjen $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$ deler parabelen i to like halvdeler. Ved å sette denne $x$-verdien inn i funksjonen finner du topp- eller bunnpunktet: $\displaystyle \left(-\frac{b}{2a},\; f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$.

Med fullstendig kvadrats metode kan du skrive funksjonen på toppunktform $f(x) = a(x - h)^2 + k$, der $(h, k)$ er topp- eller bunnpunktet. Metoden går ut på å ta halvparten av koeffisienten foran $x$, kvadrere den, og legge til og trekke fra dette tallet.

For å tegne en parabel: sjekk fortegnet til $a$, finn $y$-skjæringen $f(0) = c$, beregn symmetrilinjen, finn topp-/bunnpunktet, og tegn en jevn, symmetrisk kurve.