2.2 Andregradslikninger - faktorisering

Når likningene får en ekstra potens

Til nå har vi jobbet med likninger der $x$ bare dukker opp i første potens. Men hva skjer når $x^2$ melder sin ankomst? Vi får en andregradslikning -- en likning på formen $ax^2 + bx + c = 0$. Disse likningene kan ha to løsninger, én løsning eller ingen løsninger i det hele tatt.

I dette kapittelet skal vi lære en elegant metode for å løse slike likninger: faktorisering. Ideen er å skrive om uttrykket som et produkt av to faktorer, og deretter bruke en kraftig regel som forteller oss nøyaktig når et produkt blir null. Metoden er ofte raskere og mer elegant enn abc-formelen, spesielt når tallene er «pene».

Nullregelen -- nøkkelen til alt

Hele faktoriseringsmetoden hviler på én enkel, men kraftig regel som vi kaller nullregelen: hvis et produkt er lik null, så må minst én av faktorene være null. Med matematiske symboler: hvis $A \cdot B = 0$, så er $A = 0$ eller $B = 0$ (eller begge).

Tenk over hvorfor dette gir mening. Kan du gange to tall og få null uten at minst ett av dem er null? Nei! $3 \cdot 7 = 21$, $(-5) \cdot 2 = -10$, $0{,}1 \cdot 1000 = 100$ -- uansett hva du prøver, blir produktet aldri null med mindre du ganger med null.

Hva betyr dette for likninger? Hvis vi klarer å skrive en andregradslikning på formen $(x - r_1)(x - r_2) = 0$, så vet vi med én gang at enten $x - r_1 = 0$ (altså $x = r_1$) eller $x - r_2 = 0$ (altså $x = r_2$).

La oss prøve det med en gang. Ta likningen $(x - 3)(x + 2) = 0$. Nullregelen gir oss to muligheter: enten er $x - 3 = 0$, som betyr $x = 3$, eller så er $x + 2 = 0$, som betyr $x = -2$. Likningen har altså to løsninger: $x = 3$ og $x = -2$.

Hva med $x(x - 6) = 0$? Her er den ene faktoren bare $x$. Nullregelen gir $x = 0$ eller $x - 6 = 0$, altså $x = 0$ eller $x = 6$. Ikke glem at $x = 0$ er en helt gyldig løsning! Det er en vanlig feil å «dele bort» $x$ fra begge sider og miste denne løsningen.

Faktorisering ved inspeksjon -- talljakt

Nullregelen er fantastisk, men den forutsetter at likningen allerede er faktorisert. Hva gjør vi når vi har et uttrykk som $x^2 - 5x + 6 = 0$? Vi må faktorisere det selv, og den enkleste metoden kalles faktorisering ved inspeksjon.

Metoden fungerer slik: når koeffisienten foran $x^2$ er 1 (altså $a = 1$), leter vi etter to tall $r_1$ og $r_2$ som oppfyller to krav samtidig. For det første skal summen av tallene være lik $-b$ (det vil si det motsatte av koeffisienten foran $x$). For det andre skal produktet av tallene være lik $c$ (konstantleddet). Finner du slike tall, kan du skrive $x^2 + bx + c = (x - r_1)(x - r_2)$.

La oss prøve med $x^2 - 5x + 6 = 0$. Her er $b = -5$ og $c = 6$. Vi trenger to tall med sum $-(-5) = 5$ og produkt $6$. Hvilke tall har sum 5 og produkt 6? Det er $2$ og $3$! Altså: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0$. Nullregelen gir $x = 2$ eller $x = 3$.

Her er et annet eksempel: $x^2 + 7x + 12 = 0$. Vi trenger to tall med sum $-7$ og produkt $12$. Hmm, $-3$ og $-4$ har sum $-7$ og produkt $12$. Altså $(x - (-3))(x - (-4)) = (x + 3)(x + 4) = 0$, som gir $x = -3$ eller $x = -4$.

Hva med $x^2 + 2x - 15 = 0$? Nå trenger vi sum $-2$ og produkt $-15$. Når produktet er negativt, vet vi at tallene har forskjellig fortegn. Vi prøver: $-5$ og $3$ gir sum $-2$ og produkt $-15$. Det stemmer! Altså $(x + 5)(x - 3) = 0$, som gir $x = -5$ eller $x = 3$.

Konjugatsetningen -- en snarvei for differanser

Det finnes en spesiell type andregradsuttrykk som dukker opp overraskende ofte: differansen mellom to kvadrater. Uttrykk som $x^2 - 16$ eller $4x^2 - 9$ følger mønsteret $a^2 - b^2$, og for disse har vi en kjapp formel kalt konjugatsetningen:

$$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$$

La oss bruke den på $x^2 - 16 = 0$. Vi ser at $x^2 = (x)^2$ og $16 = 4^2$, så vi har $x^2 - 4^2 = (x + 4)(x - 4) = 0$. Nullregelen gir $x = -4$ eller $x = 4$, som vi kan skrive kort som $x = \pm 4$.

Du trenger egentlig ikke konjugatsetningen for å løse $x^2 = 16$ -- du kan bare ta kvadratroten på begge sider og huske $\pm$-tegnet. Men konjugatsetningen er veldig nyttig når uttrykket er litt mer komplisert.

Prøv $4x^2 - 9 = 0$. Her er $4x^2 = (2x)^2$ og $9 = 3^2$. Konjugatsetningen gir $(2x + 3)(2x - 3) = 0$. Fra nullregelen: $2x + 3 = 0$ gir $\displaystyle x = -\frac{3}{2}$, og $2x - 3 = 0$ gir $\displaystyle x = \frac{3}{2}$. Altså $\displaystyle x = \pm \frac{3}{2}$.

Konjugatsetningen fungerer bare når vi har en differanse -- altså et minustegn mellom de to kvadratene. Uttrykket $x^2 + 16$ kan ikke faktoriseres med denne metoden, fordi en sum av to kvadrater ikke lar seg faktorisere (over de reelle tallene). Så hold øye med det minustegnet!

Felles faktor -- rydd opp først!

Noen ganger ser en andregradslikning uoverkommelig ut, men blir mye enklere hvis du først ser etter en felles faktor i alle leddene.

Ta $2x^2 - 8x = 0$. Begge leddene inneholder $x$, og begge er delelige med 2. Vi setter $2x$ utenfor en parentes: $2x(x - 4) = 0$. Nå bruker vi nullregelen: $2x = 0$ gir $x = 0$, og $x - 4 = 0$ gir $x = 4$. Løsningene er altså $x = 0$ og $x = 4$.

Legg merke til at $2$ i faktoren $2x$ aldri kan bli null. Når vi bruker nullregelen, er det bare faktorene som inneholder $x$ som gir løsninger. Men vi tar med $2x$ som helhet, og $2x = 0$ betyr selvfølgelig $x = 0$.

Et annet eksempel: $x^2 + 5x = 0$. Her er den felles faktoren bare $x$: $x(x + 5) = 0$. Vi får $x = 0$ eller $x = -5$.

Hva med $5x^2 = 15x$? Først flytter vi alt til én side: $5x^2 - 15x = 0$. Felles faktor er $5x$: $5x(x - 3) = 0$. Løsningene er $x = 0$ og $x = 3$.

Noen ganger kan du sette ut en felles tallfaktor og deretter faktorisere det som er igjen videre. For eksempel: $3x^2 - 12 = 0$. Vi setter 3 utenfor: $3(x^2 - 4) = 0$. Siden $3 \neq 0$, må $x^2 - 4 = 0$. Og her kjenner vi igjen konjugatsetningen: $x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2) = 0$, som gir $x = \pm 2$.

Kombinere teknikkene -- større utfordringer

Nå som du kan alle enkeltteknikkene, er det på tide å kombinere dem. De mest krevende oppgavene krever at du først setter en felles faktor utenfor, og deretter faktoriserer det som er igjen inne i parentesen.

Ta $2x^2 - 50 = 0$. Felles faktor er 2: $2(x^2 - 25) = 0$. Siden $2 \neq 0$, må $x^2 - 25 = 0$. Her bruker vi konjugatsetningen: $(x + 5)(x - 5) = 0$, og vi får $x = \pm 5$.

Hva med $3x^2 + 6x - 24 = 0$? Alle tre leddene er delelige med 3, så vi setter det utenfor: $3(x^2 + 2x - 8) = 0$. Nå skal vi faktorisere $x^2 + 2x - 8$. Vi trenger to tall med sum $-2$ og produkt $-8$. Tallene $-4$ og $2$ fungerer: $(-4) + 2 = -2$ og $(-4) \cdot 2 = -8$. Altså $3(x + 4)(x - 2) = 0$, som gir $x = -4$ eller $x = 2$.

Et enda mer krevende eksempel: $-x^2 + 4x + 5 = 0$. Her er koeffisienten foran $x^2$ negativ. Vi setter $-1$ utenfor: $-(x^2 - 4x - 5) = 0$. Nå faktoriserer vi det som er inne i parentesen. Vi trenger to tall med sum $4$ og produkt $-5$. Det er $5$ og $-1$: $5 + (-1) = 4$ og $5 \cdot (-1) = -5$. Altså $-(x - 5)(x + 1) = 0$, som gir $x = 5$ eller $x = -1$.

Strategien kan oppsummeres slik: se alltid etter felles faktor først. Deretter prøver du inspeksjon, konjugatsetningen eller en kombinasjon. Husk at en tallfaktor som ikke inneholder $x$ aldri kan gi en løsning, så den kan du se bort fra i nullregelen.

Oppsummering

I dette kapittelet har vi lært å løse andregradslikninger ved faktorisering. Metoden bygger på fire teknikker:

Nullregelen er fundamentet: hvis $A \cdot B = 0$, så er $A = 0$ eller $B = 0$. Klarer vi å skrive likningen som et produkt lik null, kan vi lese av løsningene direkte.

Faktorisering ved inspeksjon brukes når $a = 1$. Vi leter etter to tall med riktig sum og produkt. For $x^2 + bx + c = 0$ trenger vi tall $r_1$ og $r_2$ slik at $r_1 + r_2 = -b$ og $r_1 \cdot r_2 = c$. Da er $x^2 + bx + c = (x - r_1)(x - r_2)$.

Konjugatsetningen gir oss $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$. Denne brukes når vi har en differanse mellom to kvadrater, for eksempel $x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4)$.

Felles faktor bør alltid sjekkes først. Sett den utenfor parentesen, og faktoriser det som er igjen inne i parentesen med inspeksjon eller konjugatsetningen. Husk at en tallfaktor aldri gir en løsning, men $x$ som felles faktor gir alltid $x = 0$ som løsning.