1.4 Brøkregning

Når tallene deler seg i to

Tenk deg at du og en venn bestiller en pizza. Dere deler den i åtte like store biter, og du tar tre av dem. Da har du spist $\displaystyle \frac{3}{8}$ av pizzaen. Tallet over brøkstreken – telleren – forteller hvor mange biter du tok, og tallet under – nevneren – forteller hvor mange biter pizzaen ble delt i.

Brøker er overalt i matematikken, og de dukker opp i alt fra algebra til sannsynlighetsregning. I dette kapittelet skal vi lære å gange brøker, dele brøker, forkorte og utvide dem, og til slutt legge dem sammen selv når nevnerne er forskjellige. Hvis du mestrer dette, har du et av de viktigste verktøyene i den matematiske verktøykassen din.

Å gange brøker – teller med teller, nevner med nevner

La oss starte med den enkleste operasjonen: multiplikasjon av brøker. Regelen er overraskende grei. Når du ganger to brøker med hverandre, ganger du teller med teller og nevner med nevner:

$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$

La oss prøve med tall. Hva er $\displaystyle \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2}$? Vi ganger tellerne: $1 \cdot 3 = 3$. Vi ganger nevnerne: $5 \cdot 2 = 10$. Svaret er $\displaystyle \frac{3}{10}$.

Hva om du skal gange et heltall med en brøk? Da skriver du heltallet som en brøk med 1 i nevneren. For eksempel: $\displaystyle 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{1} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$. Heltallet 3 er det samme som $\displaystyle \frac{3}{1}$, og derfra bruker vi bare den vanlige regelen.

Et nyttig triks er å forkorte underveis. Hvis det finnes like faktorer i en teller og en nevner – selv om de tilhører forskjellige brøker – kan du stryke dem før du ganger. Se på $\displaystyle \frac{6}{5} \cdot \frac{15}{2}$. Her kan vi faktorisere: $\displaystyle \frac{6 \cdot 15}{5 \cdot 2} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5}{5 \cdot 2}$. Både $2$ og $5$ finnes over og under brøkstreken, og vi stryker dem. Da sitter vi igjen med $\displaystyle \frac{3 \cdot 3}{1} = 9$. Mye enklere enn å gange ut $6 \cdot 15 = 90$ og $5 \cdot 2 = 10$ for så å forkorte $\displaystyle \frac{90}{10}$ etterpå – selv om begge veier gir riktig svar.

Å forkorte brøker – finn det som er felles

Å forkorte en brøk betyr å finne en felles faktor i teller og nevner og dele begge på denne faktoren. Verdien til brøken endrer seg ikke – du skriver den bare på en enklere måte.

Ta brøken $\displaystyle \frac{8}{6}$. Både $8$ og $6$ er delelige med $2$. Vi kan skrive $\displaystyle \frac{8}{6} = \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}$. Nå stryker vi toerne og står igjen med $\displaystyle \frac{4}{3}$. Brøken har samme verdi, men er enklere å jobbe med.

La oss prøve en større brøk: $\displaystyle \frac{45}{75}$. Hva er felles? Begge er delelige med $15$: $\displaystyle \frac{45}{75} = \frac{3 \cdot 15}{5 \cdot 15} = \frac{3}{5}$. Du trenger ikke å finne den største felles faktoren med en gang. Hvis du bare ser at begge er delelige med $3$, kan du forkorte steg for steg: $\displaystyle \frac{45}{75} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$, der vi først forkortet med $3$ og deretter med $5$.

Faktorisering er nøkkelen her. Når du bryter teller og nevner ned i faktorer, ser du med en gang hva som kan strykes. Husk at $\displaystyle \frac{a}{1} = a$ – hvis nevneren forsvinner helt, står du igjen med et heltall. For eksempel: $\displaystyle \frac{81}{27} = \frac{27 \cdot 3}{27} = 3$.

Forkorting er spesielt nyttig etter at du har ganget brøker, for da kan resultatet ofte forenkles. Det er derfor vi nevnte trikset med å forkorte underveis i forrige seksjon – det sparer deg for store tall.

Å dele brøker – snu og gang

Divisjon av brøker høres kanskje vanskelig ut, men det er egentlig bare en forkledd multiplikasjon. Regelen er: når du deler med en brøk, snur du den andre brøken og ganger i stedet:

$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$$

Hvorfor fungerer dette? Å dele med $\displaystyle \frac{3}{2}$ er det samme som å spørre: «Hvor mange ganger går $\displaystyle \frac{3}{2}$ opp i dette tallet?» Og det viser seg at dette er det samme som å gange med den omvendte brøken $\displaystyle \frac{2}{3}$.

La oss ta et eksempel: $\displaystyle \frac{2}{7} \div \frac{3}{2} = \frac{2}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{21}$.

Hva med å dele et heltall med en brøk? $\displaystyle 7 \div \frac{15}{2} = \frac{7}{1} \cdot \frac{2}{15} = \frac{14}{15}$. Eller omvendt, en brøk delt på et heltall: $\displaystyle \frac{3}{4} \div 9 = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{9} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.

Det finnes også noe som heter en brudden brøk – en brøk der teller eller nevner (eller begge) selv er brøker. For eksempel $\displaystyle \frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}}$. Dette er bare en annen måte å skrive en divisjon på: $\displaystyle \frac{2}{3} \div \frac{5}{6} = \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$. Her kunne vi forkorte $\displaystyle \frac{12}{15}$ ved å dele begge med $3$.

En alternativ metode for brudne brøker er å gange teller og nevner med den samme verdien slik at brøkene «forsvinner». Velg nevneren i den nedre brøken: gang både over og under med $6$. Telleren blir $\displaystyle \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$, nevneren blir $\displaystyle \frac{5}{6} \cdot 6 = 5$. Svaret er $\displaystyle \frac{4}{5}$ – det samme som før.

Å utvide brøker og legge sammen med lik nevner

Nå skal vi se på addisjon og subtraksjon av brøker. Det første du trenger å vite er at du bare kan legge sammen brøker som har lik nevner. Regelen er enkel:

$$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$$

Vi legger altså sammen tellerne og beholder nevneren. For eksempel: $\displaystyle \frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$. Det er som å si: én femdel pluss to femdeler er tre femdeler.

Subtraksjon fungerer på akkurat samme måte: $\displaystyle \frac{9}{4} - \frac{1}{4} = \frac{8}{4} = 2$. Her forkortet vi etterpå fordi $\displaystyle \frac{8}{4} = 2$.

Men hva gjør vi når nevnerne er forskjellige? Da må vi utvide en eller begge brøkene slik at de får samme nevner. Å utvide en brøk betyr å gange teller og nevner med det samme tallet. Verdien til brøken endrer seg ikke – vi bare skriver den med en annen nevner.

For eksempel: Utvid $\displaystyle \frac{5}{3}$ slik at nevneren blir $6$. Vi trenger å gange nevneren med $2$ for å gå fra $3$ til $6$, og da må vi gange telleren med $2$ også: $\displaystyle \frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{10}{6}$.

Det er viktig at du ganger BÅDE teller og nevner med det samme tallet. Ganger du bare den ene, endrer du verdien til brøken, og du ender opp med feil svar.

Utviding kan også involvere variabler. Å utvide $\displaystyle \frac{2}{5}$ slik at nevneren blir $10x$ krever at vi ganger med $2x$: $\displaystyle \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2x}{5 \cdot 2x} = \frac{4x}{10x}$.

Fellesnevner – når nevnerne ikke går opp i hverandre

Noen ganger kan du ikke bare utvide én av brøkene for å få fellesnevner – du må utvide begge. En metode som alltid fungerer er å gange den første brøkens teller og nevner med nevneren i den andre brøken, og omvendt.

Ta $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{3}{7}$. Her ganger vi den første brøken med $7$ og den andre med $2$: $\displaystyle \frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 7} + \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{7}{14} + \frac{6}{14} = \frac{13}{14}$.

Denne metoden er enkel, men kan gi unødvendig store nevnere. Tenk deg at du skal legge sammen $\displaystyle \frac{1}{21} + \frac{1}{14}$. Ganger vi nevnerne med hverandre, får vi $21 \cdot 14 = 294$. Det fungerer, men det finnes en smartere vei.

Trikset er å lete etter minste felles nevner. Vi faktoriserer nevnerne: $21 = 3 \cdot 7$ og $14 = 2 \cdot 7$. Begge inneholder faktoren $7$. Den ene har en $3$-er som den andre mangler, og den andre har en $2$-er som den første mangler. Den minste felles nevneren er altså $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$.

Da utvider vi: $\displaystyle \frac{1}{3 \cdot 7} + \frac{1}{2 \cdot 7} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3 \cdot 7} + \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 7} = \frac{2}{42} + \frac{3}{42} = \frac{5}{42}$.

Et annet eksempel: $\displaystyle \frac{1}{10} + \frac{1}{15}$. Vi faktoriserer: $10 = 2 \cdot 5$ og $15 = 3 \cdot 5$. Felles faktor er $5$, og minste felles nevner blir $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$. Vi utvider: $\displaystyle \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$.

Husk også at et heltall kan skrives som en brøk med $1$ i nevneren: $\displaystyle 2 + \frac{3}{7} = \frac{2}{1} + \frac{3}{7} = \frac{14}{7} + \frac{3}{7} = \frac{17}{7}$. Dette er nyttig når du kombinerer heltall og brøker i samme regnestykke.

Oppsummering

I dette kapittelet har vi lært de fem grunnleggende operasjonene for brøkregning.

Multiplikasjon er den enkleste: $\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$. Gang teller med teller og nevner med nevner. Et heltall kan skrives som brøk med $1$ i nevneren. Forkorte underveis gjør regnestykket enklere.

Forkorting handler om å finne felles faktorer i teller og nevner og stryke dem. Du kan gjøre det steg for steg eller finne den største felles faktoren med en gang. Faktorisering er nøkkelen.

Divisjon utføres ved å snu den andre brøken og gange: $\displaystyle \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$. Brudne brøker er bare en annen måte å skrive divisjon på.

Addisjon og subtraksjon krever lik nevner. Med lik nevner legger vi sammen tellerne: $\displaystyle \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$.

Fellesnevner finner vi ved å utvide brøkene. Den sikreste metoden er å gange nevnerne med hverandre. Den smarteste er å finne minste felles nevner ved å faktorisere nevnerne og legge til det som mangler. Husk: å utvide betyr å gange BÅDE teller og nevner med det samme tallet.