3.2 Derivasjonsteknikk: kjerneregel-tårn, logaritmisk derivasjon og invers funksjon

Regneferdigheten bak 14 % av midtveis: dype kjerneregel-sammensetninger, logaritmisk derivasjon og den årvisse «derivert av omvendt funksjon i punkt».

55 min

10 oppgaver

Derivasjonsteknikkkjerneregel-tårnlogaritmisk derivasjoninvers funksjon

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Deriverbarhet: grensedefinisjonen

Brukes videre i

3.5Funksjonsdrøfting: fortegnsskjema, asymptoter og konveksitet 3.6Relaterte rater og optimering med figur 4.2Analysens fundamentalteorem og kjerneregelen 5.4Gradient og retningsderivert

Dette er regnetreningskapitlet: 14 % av midtveiseksamen er ren derivasjonsteknikk.

- Derivasjonsteknikk = 14 % av midtveisspørsmålene: dype kjerneregel-sammensetninger, logaritmisk derivasjon og — nesten hvert år — derivert av omvendt funksjon i et punkt.
- Inverse funksjoner og definisjonsmengder er ytterligere ~4 % av midtveis.
- Teknikken her bærer dessuten funksjonsdrøfting, relaterte rater og fundamentalteorem-oppgavene på slutteksamen.

Koder jeg bruker: (Midtveis, flervalg) = midtveisformatet, ~6 min per spørsmål. (Eksamenssjanger K/M/J) dukker opp senere; her er teknikken verktøyet de bygger på.

Den årvisse fella å passe på: for $(f^{-1})'(b)$ skal du dele på $f'(a)$ der $f(a)=b$ — ikke på $f'(b)$ . Oppskriften «finn $a$ først» er hele nøkkelen, og vi driller den i løkke 4.

Dette kapitlet tar ~55 minutter å lese. Det er delt i fem løkker med tidsanslag — du kan trygt ta en pause mellom løkkene.

Forkunnskaper: Dette kapitlet forutsetter grensedefinisjonen fra kap. 3.1 (så du vet hvorfor reglene gjelder) og hele regelbanken fra videregående: Kjerneregelen, Produktregelen og kvotientregelen, Derivasjon av omvendte funksjoner, Omvendte funksjoner og Derivasjon av trigonometriske funksjoner.

Sist du var her (oppfriskning): kjerneregelen sier $(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$ — deriver ytre funksjon, behold den indre, gang med den indres deriverte. Produktregelen: $(uv)'=u'v+uv'$ . Disse er de to arbeidshestene i hele kapitlet.

På videregående lærte du derivasjonsreglene. På universitetet får du bruk for dem i tyngre kombinasjoner — funksjoner pakket inn i hverandre i tre–fire lag, uttrykk med variabel både i grunntall og eksponent, og omvendte funksjoner du bare kjenner gjennom likningen de løser. Alt løses med de samme reglene, men systematisk.

Hverdagsankeret for kjerneregelen: tenk deg tannhjul. Et lite hjul driver et større, som driver et enda større. Endrer du farten på det innerste, forplanter effekten seg utover — ganget opp for hvert hjul. Kjerneregelen er akkurat denne kjeden av «gang med».

Kapitlet har fem løkker: (1) regelbanken og kjerneregel-tårn, (2) de inverse trigonometriske funksjonene, (3) logaritmisk derivasjon, (4) derivert av omvendt funksjon i et punkt, (5) implisitt derivasjon og andrederiverte. Hver løkke: teori → eksempel → oppgave.

Løkke 1 — Regelbanken og kjerneregel-tårn (~12 min)

Kjerneregelen

y=f(g(x))

Produktregelen

(u\cdot v)'=u'v+uv'

Kvotientregelen

\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}

Kjerneregel-tårn — utenfra og inn

Når funksjonen er sammensatt i flere lag, $f(g(h(x)))$ , deriverer du ett lag om gangen, utenfra og inn, og ganger sammen alle lagene:

$\frac{d}{dx}f(g(h(x)))=f'(g(h(x)))\cdot g'(h(x))\cdot h'(x).$

Strategi: identifiser lagene før du starter (ytterst, mellom, innerst), deriver det ytterste med de to indre urørt, så det mellomste, så det innerste. Den vanligste feilen er å miste et lag — en manglende faktor gir feil svar og trekk.

✏️Eksempel 1: Kjerneregel-tårn i tre lag

Deriver $f(x)=\sin\!\big(\sqrt{x^2+1}\big)$ .

Vi identifiserer lagene: ytterst

\sin(\cdot)

, i midten

\sqrt{\cdot}

, innerst

x^2+1

Lag for lag (utenfra og inn):
- Ytre: $\dfrac{d}{du}\sin u=\cos u$ , med $u=\sqrt{x^2+1}$ ⇒ faktor $\cos\!\big(\sqrt{x^2+1}\big)$ .
- Mellom: $\dfrac{d}{dw}\sqrt{w}=\dfrac{1}{2\sqrt{w}}$ , med $w=x^2+1$ ⇒ faktor $\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+1}}$ .
- Innerst: $\dfrac{d}{dx}(x^2+1)=2x$ ⇒ faktor $2x$ .

Gang sammen:
$f'(x)=\cos\!\big(\sqrt{x^2+1}\big)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x=\frac{x\cos\!\big(\sqrt{x^2+1}\big)}{\sqrt{x^2+1}}.$

Konklusjon: $\boxed{f'(x)=\dfrac{x\cos\!\big(\sqrt{x^2+1}\big)}{\sqrt{x^2+1}}}$ . De tre faktorene $2x$ og $2$ i nevneren forkortet mot hverandre.

📝Oppgave 1

(Midtveis, flervalgstema — her som langsvar; letteste innstegsoppgave.) Deriver $f(x)=(3x+2)^5$ med kjerneregelen.

📝Oppgave 2

(Midtveis, flervalg.) Deriver $g(x)=\ln\!\big(\cos(x^3)\big)$ ved å behandle tre lag utenfra og inn.

Løkke 2 — De inverse trigonometriske funksjonene (~12 min)

Utledning av $\arctan'$ via invers-regelen

De inverse trig-funksjonene deriveres enklest ved å bruke at de er inverser. La $y=\arctan x$ . Det betyr $\tan y=x$ . Deriver begge sider mhp. $x$ (venstre med kjerneregelen):
$\frac{d}{dx}\tan y=\frac{d}{dx}x\ \Longrightarrow\ (1+\tan^2 y)\,y'=1.$
Siden $\tan y=x$ er $1+\tan^2 y=1+x^2$ , så
$y'=\frac{1}{1+x^2}.$
Samme metode gir $\arcsin$ og $\arccos$ (bruk $\cos y=\sqrt{1-\sin^2 y}$ på hovedgrenen der $\cos y>0$ ).

Den deriverte av

\arctan

\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}.

Den deriverte av

\arcsin

\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad -1<x<1.

Den deriverte av

\arccos

\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad -1<x<1.

✏️Eksempel 2: Kjerneregel med arctan

Deriver $h(x)=\arctan(3x^2)$ .

Ytre:

\arctan(u)

med

u=3x^2

⇒

\dfrac{1}{1+u^2}=\dfrac{1}{1+9x^4}

. Indre:

(3x^2)'=6x

h'(x)=\frac{1}{1+(3x^2)^2}\cdot 6x=\frac{6x}{1+9x^4}.

Konklusjon:

\boxed{h'(x)=\dfrac{6x}{1+9x^4}}

. Legg merke til at

(3x^2)^2=9x^4

, ikke

9x^2

📝Oppgave 3

(Midtveis, flervalg.) Deriver $f(x)=\arcsin(2x)$ , og angi for hvilke $x$ svaret er definert.

Løkke 3 — Logaritmisk derivasjon (~12 min)

Logaritmisk derivasjon

f(x)^{g(x)}

✏️Eksempel 3: $x^{\sin x}$ med logaritmisk derivasjon

Deriver $y=x^{\sin x}$ for $x>0$ .

Verken potensregelen (eksponenten er ikke konstant) eller eksponentialregelen (grunntallet er ikke konstant) gjelder — vi må logaritmere.

Ta $\ln$ på begge sider:
$\ln y=\sin x\cdot \ln x.$

Deriver implisitt (venstre med kjerneregelen $\displaystyle \frac{d}{dx}\ln y=y'/y$ , høyre med produktregelen):
$\frac{y'}{y}=\cos x\cdot\ln x+\sin x\cdot\frac{1}{x}.$

Gang tilbake med $y=x^{\sin x}$ :
$y'=x^{\sin x}\left(\cos x\,\ln x+\frac{\sin x}{x}\right).$

Konklusjon: $\boxed{y'=x^{\sin x}\left(\cos x\,\ln x+\dfrac{\sin x}{x}\right)}$ . Glemmer du å gange med $y$ til slutt, får du bare halve svaret.

📝Oppgave 4

(Midtveis, flervalg.) Deriver $y=x^{\cos x}$ for $x>0$ med logaritmisk derivasjon.

Løkke 4 — Derivert av omvendt funksjon i et punkt (~12 min)

📜Den deriverte av en omvendt funksjon

Setning. La

f

være deriverbar og strengt monoton, med

f(a)=b

f'(a)\ne 0

. Da er den omvendte

f^{-1}

deriverbar i

b

, og

$\big(f^{-1}\big)'(b)=\frac{1}{f'(a)}\qquad\text{der } f(a)=b.$

Idé: speiler du grafen om linja $y=x$ , blir tangentens stigningstall $m$ til $1/m$ . Formelt: deriver $f\big(f^{-1}(x)\big)=x$ med kjerneregelen: $f'\big(f^{-1}(x)\big)\cdot(f^{-1})'(x)=1$ , sett $x=b$ og bruk $f^{-1}(b)=a$ .

Oppskriften «finn $a$ først»

Dette er den årvisse midtveisoppgaven, og hele poenget er at du skal dele på $f'(a)$ — ikke på $f'(b)$ . Rekkefølgen er alltid:

1. Du får $b$ og skal finne $(f^{-1})'(b)$ .
2. Finn $a$ ved å løse $f(a)=b$ (ofte ser du løsningen ved inspeksjon — prøv små heltall).
3. Regn $f'(a)$ .
4. Svar: $(f^{-1})'(b)=1/f'(a)$ .

Hopper du over trinn 2 og setter $b$ rett inn i $f'$ , får du den vanligste fella på hele midtveis.

✏️Eksempel 4: $(f^{-1})'$ i et punkt (årviss midtveistype)

La $f(x)=x^3+2x-1$ . Funksjonen er strengt voksende (så den er inverterbar). Finn $(f^{-1})'(2)$ .

Her er

b=2

. Vi bruker

(f^{-1})'(2)=1/f'(a)

der

f(a)=2

Trinn 1 — finn $a$ : Løs $f(a)=2$ , altså $a^3+2a-1=2$ , dvs. $a^3+2a-3=0$ . Prøv $a=1$ : $1+2-3=0$ . ✓ Så $a=1$ (og siden $f$ er strengt voksende, er dette den eneste løsningen).

Trinn 2 — regn $f'(a)$ : $f'(x)=3x^2+2$ , så $f'(1)=3+2=5$ .

Trinn 3 — sett sammen:
$\big(f^{-1}\big)'(2)=\frac{1}{f'(1)}=\frac{1}{5}.$

Konklusjon: $\boxed{(f^{-1})'(2)=\tfrac15}$ . Merk fella: hadde vi satt inn $b=2$ i $f'$ , fått $f'(2)=14$ og svart $1/14$ , ville det vært galt — vi må bruke $a=1$ , ikke $b=2$ .

📝Oppgave 5

(Midtveis, flervalg — den årvisse typen.) La $f(x)=x^5+x^3+2x$ . Den er strengt voksende. Finn $(f^{-1})'(4)$ .

Løkke 5 — Implisitt derivasjon og andrederiverte (~7 min)

Implisitt derivasjon

y'

✏️Eksempel 5: Implisitt derivasjon

Finn $y'$ (uttrykt ved $x$ og $y$ ) når $x^2+xy+y^2=7$ .

Deriver hvert ledd mhp.

x

, husk kjerneregel på

y

-ledd og produktregel på

xy

\frac{d}{dx}x^2=2x,\quad \frac{d}{dx}(xy)=1\cdot y+x\cdot y'=y+xy',\quad \frac{d}{dx}y^2=2yy',\quad \frac{d}{dx}7=0.

Samlet:

2x+y+xy'+2yy'=0.

Samle

y'

-leddene:

y'(x+2y)=-(2x+y)

, så

y'=-\frac{2x+y}{x+2y}.

Konklusjon:

\boxed{y'=-\dfrac{2x+y}{x+2y}}

. Den vanligste feilen er å glemme faktoren

y'

på

y

-leddene (kjerneregelen).

Andrederiverte

f''(x)=\dfrac{d}{dx}f'(x)

📝Oppgave 6

(Midtveis, flervalg.) Finn $f''(x)$ når $f(x)=x^4-\sin x$ .

Typiske feil

- Regne $1/f'(b)$ i stedet for $1/f'(a)$ i omvendt-funksjon-oppgaver. Du må finne $a$ først fra $f(a)=b$ og dele på $f'(a)$ . Dette er den årvisse midtveisfella.
- Miste et lag i kjerneregel-tårn. Hver «skall» gir en faktor — teller du dem ikke, mangler du en faktor og får trekk.
- Glemme å gange tilbake med $f(x)$ etter logaritmisk derivasjon. $\displaystyle \frac{y'}{y}=(\cdots)$ er ikke svaret; $y'=y\cdot(\cdots)$ er.
- Glemme kjernefaktoren $y'$ på $y$ -leddene ved implisitt derivasjon. $\displaystyle \frac{d}{dx}y^2=2yy'$ , ikke $2y$ .
- Bruke potensregelen på $x^{\sin x}$ . Potensregelen $(x^n)'=nx^{n-1}$ gjelder bare når eksponenten er konstant. Variabel eksponent krever logaritmisk derivasjon.
- Feil fortegn i kvotientregelen. Telleren er $u'v-uv'$ (i den rekkefølgen), ikke $uv'-u'v$ .

Begrepsbank til eksamen

Kjernebegrepene fra kapitlet i eksamensrettet kortform.

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Sammensatt funksjon (ytre og indre)

f(g(x))

Omvendt (invers) funksjon

f^{-1}

Monotoni sikrer invertibilitet

f

Definisjons- og verdimengde for invers

D_{f^{-1}}=V_f

Hovedgren for arcsin/arccos

\sin

Den deriverte av

e^x

a^x

\dfrac{d}{dx}e^x=e^x

Den deriverte av

\ln x

\log_a x

\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}

Generell potensregel

\dfrac{d}{dx}x^n=n x^{n-1}

Den deriverte av

\tan x

\dfrac{d}{dx}\tan x=\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x

Den deriverte av

\sin

\cos

\dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x

Konveks og konkav (krumning)

f

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 4 oppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.

3.2 Derivasjonsteknikk: kjerneregel-tårn, logaritmisk derivasjon og invers funksjon

Løkke 1 — Regelbanken og kjerneregel-tårn (~12 min)

Kjerneregel-tårn — utenfra og inn

Løkke 2 — De inverse trigonometriske funksjonene (~12 min)

Utledning av arctan⁡′\arctan'arctan′ via invers-regelen

Løkke 3 — Logaritmisk derivasjon (~12 min)

Løkke 4 — Derivert av omvendt funksjon i et punkt (~12 min)

Oppskriften «finn aaa først»

Løkke 5 — Implisitt derivasjon og andrederiverte (~7 min)

Begrepsbank til eksamen

Utledning av $\arctan'$ via invers-regelen

Oppskriften «finn $a$ først»