3.6 Relaterte rater og optimering med figur

Midtveisens faste avslutningsoppgaver: modellere fra figur, derivere implisitt mhp. tid, og begrunne globale ekstremum — med fortegnstolkning i konklusjonen.

50 min

8 oppgaver

Relaterte rateroptimering med figur

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.2Derivasjonsteknikk: kjerneregel-tårn, logaritmisk derivasjon og invers funksjon

Brukes videre i

3.PPrøver til del 3: Derivasjon

Dette er midtveisens faste avslutningsoppgaver — alltid sist, alltid med figur.

- Relaterte rater og optimering (sjanger M): ca. 2 spørsmål per midtveissett, plassert helt til slutt, alltid med en figur du skal modellere fra. På slutteksamen i 6 av 21 sett (fly 2016, fallskjerm 2017, kinosete-synsvinkel 2021).
- Anvendt optimering: har vært på vei ned på slutteksamen (nå primært midtveis), men den globale-argument-disiplinen testes fortsatt.

To ting skiller besvarelsene: (1) du deriverer implisitt mhp. tid FØR du setter inn øyeblikkstallene — setter du inn først, låser du variablene og får $0$ ; (2) du tolker fortegnet i konklusjonssetningen («avstanden avtar med …»). Og i optimering: uten et globalt argument (fortegnsskjema, ekstremverdisetning eller randargument) er svaret ubegrunnet. Arkivet stopper i 2023.

Forkunnskaper: Dette kapitlet bygger på kap. 3.2 (derivasjonsteknikk, særlig implisitt derivasjon og kjerneregelen). Fra videregående støtter vi oss direkte på Relaterte rater (R1), Optimering i praksis (R1) og Trigonometri i rettvinklede trekanter (1T) — tan-vinkelmodellene.

Sist du var her (oppfriskning):

$\frac{d}{dt}\big[f(x(t))\big] = f'(x)\cdot \frac{dx}{dt} \qquad (\text{kjerneregelen — “kjernefaktoren”}\ \tfrac{dx}{dt})$

$\tan\theta = \frac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}} \qquad (\text{rettvinklet trekant, 1T})$

En stige glir ned langs en vegg, en ballong stiger mens du følger den med blikket, en båt trekkes mot kaia. I alle tilfellene endrer flere størrelser seg samtidig, koblet gjennom en geometrisk sammenheng — og vi vil vite hvor fort én endrer seg når vi kjenner farten til en annen. Det er relaterte rater.

Vi bygger stoffet i fire løkker: (1) relaterte rater med Pytagoras-modellen, (2) relaterte rater med tan-vinkelmodellen, (3) optimering med globalt argument, og (4) tidsminimering av strand/båt-typen. De to første er de faste midtveisgjengangerne — begge med figur.

Løkke 1 — Relaterte rater: Pytagoras-modellen (~13 min)

Femstegsoppskriften (følg den hver gang):

1. Tegn figur og navngi variablene som funksjoner av tid $t$ .
2. Modeller sammenhengen — her med Pytagoras: $x^2 + y^2 = s^2$ .
3. Deriver implisitt mhp. $t$ (kjerneregelen på hvert ledd) — før du setter inn tall.
4. Sett inn øyeblikkstallene (posisjoner og kjente rater).
5. Tolk fortegnet i en konklusjonssetning.

Den kritiske fellen er å bytte om steg 3 og 4: setter du inn tallene før du deriverer, blir de konstanter, og de deriverte blir $0$ .

Relaterte rater

\displaystyle \frac{dx}{dt}

Implisitt derivasjon mhp. tid

t

Pytagoras-modellen (relaterte rater)

x^2 + y^2 = s^2

✏️Eksempel 1: Båt trukket mot kai (Pytagoras)

En båt trekkes mot en kai med et tau festet til en vinsj $3$ m over vannlinjen. Tauet hales inn med $1$ m/s. Hvor fort nærmer båten seg kaia i det øyeblikket det er $4$ m horisontalt igjen til kaifoten? (Se figuren.)

1. Figur og variabler: la

x

være horisontal avstand fra båten til kaifoten, og

L

lengden på tauet (hypotenusen). Vinsjen er

3

m over vannlinjen.

2. Modell (Pytagoras): $x^2 + 3^2 = L^2$ , altså $x^2 + 9 = L^2$ .

3. Deriver implisitt mhp. $t$ (før innsetting):
$2x\frac{dx}{dt} = 2L\frac{dL}{dt} \;\Rightarrow\; x\frac{dx}{dt} = L\frac{dL}{dt}.$

4. Øyeblikkstall: $x = 4$ , så $L = \sqrt{4^2 + 9} = \sqrt{25} = 5$ . Tauet hales inn, så $\displaystyle \frac{dL}{dt} = -1$ m/s. Sett inn:
$4\cdot\frac{dx}{dt} = 5\cdot(-1) \;\Rightarrow\; \frac{dx}{dt} = -\frac{5}{4} = -1{,}25 \text{ m/s}.$

5. Tolk fortegnet: $\displaystyle \frac{dx}{dt} < 0$ betyr at den horisontale avstanden avtar. Båten nærmer seg kaia med $1{,}25$ m/s i dette øyeblikket. (Legg merke til at båten går fortere enn tauet hales inn — geometrien forsterker.)

📝Oppgave 1

Sjanger M

Et fly flyr horisontalt i høyde $4$ km med fart $480$ km/t rett mot punktet over en observatør. Hvor fort minker avstanden $s$ mellom fly og observatør i det øyeblikket $s = 5$ km?

Løkke 2 — Relaterte rater: tan-vinkelmodellen (~12 min)

Den andre gjengangermodellen kobler en vinkel til en lengde via $\displaystyle \tan\theta = \frac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}$ . Typisk: en observatør ser på noe som stiger eller beveger seg, og synsvinkelen endrer seg.

Nøkkelderiverten (kjerneregel): $\dfrac{d}{dt}\tan\theta = \sec^2\theta\,\dfrac{d\theta}{dt}$ . Husk $\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta$ , som ofte er lettest å regne ut fra trekanten.

tan θ-modellen (relaterte rater)

\theta

✏️Eksempel 2: Stigende heliumballong (tan-modell)

En observatør står $50$ m fra punktet der en heliumballong stiger rett opp med $3$ m/s. Hvor fort øker synsvinkelen $\theta$ (målt fra vannrett) i det øyeblikket ballongen er $50$ m over bakken? (Se figuren.)

1. Figur og variabler: la

h

være ballongens høyde og

\theta

synsvinkelen fra observatøren. Horisontal avstand er konstant

50

2. Modell (tan): $\tan\theta = \dfrac{h}{50}$ .

3. Deriver implisitt mhp. $t$ :
$\sec^2\theta\,\frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{50}\frac{dh}{dt}.$

4. Øyeblikkstall: $\displaystyle h = 50 \Rightarrow \tan\theta = \frac{50}{50} = 1$ , så $\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta = 2$ . Og $\displaystyle \frac{dh}{dt} = 3$ m/s. Sett inn:
$2\cdot\frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{50}\cdot 3 \;\Rightarrow\; \frac{d\theta}{dt} = \frac{3}{100} = 0{,}03 \text{ rad/s}.$

5. Tolk: $\displaystyle \frac{d\theta}{dt} > 0$ — synsvinkelen øker med $0{,}03$ rad/s (drøyt $1{,}7$ grader per sekund) i dette øyeblikket.

📝Oppgave 2

Sjanger M

En rakett skytes rett opp og spores av en stasjon $300$ m unna. I det øyeblikket raketten er $400$ m oppe og stiger med $50$ m/s — hvor fort øker sporingsvinkelen $\theta$ ?

— naturlig pausepunkt (relaterte rater sitter; nå går vi over til optimering) —

Løkke 3 — Optimering med globalt argument (~13 min)

Optimeringsoppskriften:

1. Sett opp målfunksjonen (det du vil maksimere/minimere) — gjerne fra en figur.
2. Bruk bibetingelsen til å skrive målfunksjonen som funksjon av én variabel.
3. Deriver, finn kritiske punkter.
4. Begrunn at kandidaten er et globalt ekstremum — med fortegnsskjema, ekstremverdisetningen på et lukket intervall, eller et randargument.

Steg 4 er der poengene sitter: å finne $x$ der $f'=0$ er ikke nok — du må vise at det virkelig er det største/minste. Uten globalt argument er svaret ubegrunnet.

Målfunksjon

Størrelsen du vil gjøre størst eller minst (areal, volum, kostnad, tid). I optimering uttrykkes målfunksjonen ved hjelp av bibetingelsen som en funksjon av én variabel, med et naturlig definisjonsintervall. Det er denne funksjonen du deriverer for å finne kritiske punkter.

Globalt ekstremum-argument

0

✏️Eksempel 3: Størst innhegning mot en elv

En bonde skal gjerde inn en rektangulær innhegning langs en rett elv. Elvesiden trenger ikke gjerde. Han har $200$ m gjerde. Hvilke mål gir størst areal, og hva blir arealet?

1–2. Målfunksjon fra figur og bibetingelse: la

x

være lengden på hver av de to sidene vinkelrett på elva, og

y

siden parallell med elva. Gjerdet dekker

2x + y = 200

, så

y = 200 - 2x

. Arealet er

A(x) = x\,y = x(200 - 2x) = 200x - 2x^2, \qquad x \in [0, 100].

3. Deriver og finn kritisk punkt: $A'(x) = 200 - 4x = 0 \Rightarrow x = 50$ .

4. Globalt argument: $A''(x) = -4 < 0$ , så $A$ er konkav og $x = 50$ gir et globalt maksimum (alternativt: $A$ er en oppover-lukket parabel på $[0,100]$ med $A(0) = A(100) = 0$ i endene).

Svar: $x = 50$ m, $y = 200 - 100 = 100$ m. Arealet blir $A(50) = 50\cdot 100 = 5000$ m $^2$ . (Den lange siden langs elva er dobbelt så lang som hver kortside — et typisk resultat når én side er gratis.)

📝Oppgave 3

Sjanger M

Et rektangel har grunnlinjen på $x$ -aksen og de to øvre hjørnene på parabelen $y = 12 - x^2$ (symmetrisk om $y$ -aksen). Finn dimensjonene som gir størst areal, og begrunn at det er et globalt maksimum.

Løkke 4 — Tidsminimering (strand/båt-typen) (~12 min)

En klassisk optimeringstype: du beveger deg raskt på ett medium (strand) og tregt på et annet (vann), og skal minimere total tid. Målfunksjonen er en sum av to ledd, hver en avstand delt på en fart. Samme oppskrift som før — men her er det ekstra viktig med globalt argument, siden funksjonen kan se «flat» ut nær minimum.

✏️Eksempel 4: Livredderens raskeste vei

En livredder står på stranda. En person i havsnød er $60$ m rett ut fra et punkt $P$ på vannkanten, og livredderen starter $100$ m bortover stranda fra $P$ . Livredderen løper $5$ m/s på stranda og svømmer $3$ m/s. Hvor langt fra $P$ (målt langs vannkanten) bør hun gå ut i vannet for å nå fram raskest mulig?

1–2. Målfunksjon: la

x

være avstanden fra

P

til der hun går ut i vannet (

0 \le x \le 100

). Da løper hun

100 - x

m på stranda og svømmer

\sqrt{x^2 + 60^2}

m. Total tid:

T(x) = \frac{100 - x}{5} + \frac{\sqrt{x^2 + 3600}}{3}.

3. Deriver:
$T'(x) = -\frac{1}{5} + \frac{1}{3}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2 + 3600}}.$
Sett $T'(x) = 0$ : $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3600}} = \dfrac{3}{5}$ . Kvadrer: $25x^2 = 9(x^2 + 3600) \Rightarrow 16x^2 = 32400 \Rightarrow x^2 = 2025 \Rightarrow x = 45$ .

4. Globalt argument: $\displaystyle T'(0) = -\frac{1}{5} < 0$ og $\displaystyle T'(100) = -\frac{1}{5} + \frac{1}{3}\cdot\frac{100}{\sqrt{13600}} \approx +0{,}09 > 0$ , så $T'$ skifter fra $-$ til $+$ — $x = 45$ gir et globalt minimum på $[0,100]$ .

Svar: hun bør gå ut i vannet $45$ m fra $P$ . (Da er svømmestrekningen $\sqrt{45^2 + 60^2} = 75$ m, og total tid $\displaystyle T(45) = \frac{55}{5} + \frac{75}{3} = 11 + 25 = 36$ s.)

📝Oppgave 4

Sjanger M

Av et kvadratisk pappark med side $24$ cm skal du lage en åpen eske ved å klippe like store kvadrater med side $x$ i hvert hjørne og brette opp kantene. Hvilken $x$ gir størst volum, og hva blir volumet? Begrunn at det er et globalt maksimum.

Typiske feil

- Sette inn tallene FØR derivasjonen. Da blir de tidsavhengige størrelsene konstanter, og de deriverte blir $0$ . Deriver alltid koblingslikningen implisitt først, sett inn øyeblikkstallene til slutt.
- Glemme kjernefaktoren. $\displaystyle \frac{d}{dt}x^2 = 2x\frac{dx}{dt}$ og $\displaystyle \frac{d}{dt}\tan\theta = \sec^2\theta\frac{d\theta}{dt}$ — kjernefaktoren $\displaystyle \frac{dx}{dt}$ / $\displaystyle \frac{d\theta}{dt}$ er lett å miste.
- Svar uten fortegnstolkning. « $\displaystyle \frac{ds}{dt} = -288$ » er halvferdig — konklusjonssetningen skal si «avstanden avtar med $288$ km/t».
- Optimering uten globalt argument. Å finne $x$ der $f' = 0$ er ikke nok; vis med fortegnsskjema, ekstremverdisetning eller randargument at det er globalt.
- Feil rettvinkel-modell fra figuren. Bland ikke Pytagoras (to lengder vinkelrett) og tan-modellen (vinkel mot lengde). Tegn figuren og les av hva som faktisk er koblet.

Begrepsbank til eksamen

Kjernebegrepene fra kapitlet i eksamensrettet kortform.

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — det gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Bibetingelse (constraint)

2x + y = 200

Synsvinkel

\displaystyle \tan\theta = \frac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}

Fortegnstolkning i konklusjonen

\displaystyle \frac{ds}{dt} < 0

Femstegsoppskriften (relaterte rater)

t

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 4 oppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.