5.4 Trigonometri i rettvinklede trekanter og enhetssirkelen

Sinus, cosinus og tangens i rettvinklede trekanter.

30 min

16 oppgaver

sincostanRettvinklede trekanter

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.1Vinkler og trekanter

Brukes videre i

5.5Areal av trekanter 5.6Sinussetningen

Trigonometri

Trigonometri betyr «trekantmåling» og handler om sammenhengen mellom vinkler og sider i trekanter.

I en rettvinklet trekant definerer vi tre viktige forhold mellom sidene:
- Sinus (sin)
- Cosinus (cos)
- Tangens (tan)

Disse defineres i forhold til en spiss vinkel i trekanten.

Sider i forhold til en vinkel

v

📜Definisjon av sin, cos og tan

For en spiss vinkel

v

i en rettvinklet trekant:

$\sin v = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}}$

$\cos v = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}}$

$\tan v = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}}$

De trigonometriske forholdene i en rettvinklet trekant

✏️Eksempel 1

I en rettvinklet trekant er vinkelen $v = 30°$ , og hypotenusen er 10 cm. Finn motstående katet.

Trekant med v=30° og hypotenus 10

Vi bruker sinus fordi vi skal finne motstående katet når vi kjenner hypotenusen:

$\displaystyle \sin 30° = \frac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}}$

$\displaystyle \sin 30° = \frac{x}{10}$

$x = 10 \cdot \sin 30° = 10 \cdot 0{,}5 = 5$

Svar: Motstående katet er 5 cm.

✏️Eksempel 2

I en rettvinklet trekant er vinkelen $v = 45°$ , og hosliggende katet er 8 cm. Finn hypotenusen.

Trekant med v=45° og hosliggende 8

Vi bruker cosinus:

$\displaystyle \cos 45° = \frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenus}}$

$\displaystyle \cos 45° = \frac{8}{c}$

$\displaystyle c = \frac{8}{\cos 45°} = \frac{8}{0{,}707...} \approx 11{,}3$

Svar: Hypotenusen er cirka 11,3 cm.

Finne vinkler

Når vi kjenner sidene og skal finne en vinkel, bruker vi inverse trigonometriske funksjoner:

- $\displaystyle v = \sin^{-1}\left(\frac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}}\right)$
- $\displaystyle v = \cos^{-1}\left(\frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenus}}\right)$
- $\displaystyle v = \tan^{-1}\left(\frac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}\right)$

På kalkulatoren finner du disse som «sin⁻¹», «cos⁻¹» og «tan⁻¹».

✏️Eksempel 3

I en rettvinklet trekant er katetene 3 cm og 4 cm. Finn den minste spisse vinkelen.

Trekant med kateter 3 og 4

Den minste vinkelen ligger overfor den korteste kateten (3 cm).

La $v$ være denne vinkelen. Da er 3 cm motstående og 4 cm hosliggende.

$\displaystyle \tan v = \frac{3}{4} = 0{,}75$

$v = \tan^{-1}(0{,}75) \approx 36{,}9°$

Svar: Den minste vinkelen er cirka 36,9°.

✏️Eksempel 4

En rampe skal ha en stigning på 8°. Hvor lang må rampen være for å nå en høyde på 1,2 m?

Rampe med vinkel 8° og høyde 1,2 m

Høyden (1,2 m) er motstående katet, rampen er hypotenusen.

$\displaystyle \sin 8° = \frac{1{,}2}{L}$

$\displaystyle L = \frac{1{,}2}{\sin 8°} = \frac{1{,}2}{0{,}139...} \approx 8{,}6$

Svar: Rampen må være cirka 8,6 m lang.

Spesielle vinkler

For $30°$ , $45°$ og $60°$ kan sin, cos og tan regnes ut eksakt fra de to trekantene i figuren under. Utregningen står i eksempel 6 og 7 under «Eksakte verdier», og tabellen der samler resultatene.

Oppsummering

Velg riktig funksjon:
- Kjent hypotenus + vil finne motstående → sin
- Kjent hypotenus + vil finne hosliggende → cos
- Kjent én katet + vil finne den andre → tan
- Skal finne vinkel → bruk invers (sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹)

📝Oppgave 1

Finn den ukjente siden $x$ :

Vinkel 30°, hypotenus 12, finn motstående

Vinkel 60°, hypotenus 10, finn hosliggende

Vinkel 45°, hosliggende 7, finn motstående

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Finn vinkelen $v$ :

Motstående 5, hypotenus 10

Hosliggende 6, hypotenus 12

Motstående 8, hosliggende 8

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Et tre kaster en skygge på 15 m når solens vinkel over horisonten er 35°. Hvor høyt er treet?

📝Oppgave 4

En helikopterpilot ser ned på et skip med en vinkel på 25° under horisontalt. Helikopteret er 800 m over havet. Hva er den horisontale avstanden til skipet?

📝Oppgave 5

En sti går rett opp en bakke. Etter 200 m har du steget 50 m i høyden. Hva er stigningsvinkelen?

📝Oppgave 6

Et fly tar av med en vinkel på 12° over horisonten. Etter å ha fløyet 3 km (langs flybanen), hvor høyt og langt horisontalt er det fra startpunktet?

Finn høyden

Finn horisontal avstand

📝Oppgave 7

I en rettvinklet trekant er vinkelen $v = 40°$ og hypotenusen $c = 15$ cm. Bruk definisjonene av sinus og cosinus til å finne motstående katet $a$ og hosliggende katet $b$ .

Finn motstående katet $a$

Finn hosliggende katet $b$

📝Oppgave 8

I en rettvinklet trekant er hosliggende katet til vinkelen $v$ lik $b = 8$ cm og motstående katet $a = 6$ cm. Bruk tangens til å finne vinkelen $v$ .

📝Oppgave 9

En fyrlykt er 35 m høy. Fra et punkt på bakken ser man toppen av fyrlykten med en elevasjonsvinkel på 28°. Hvor langt unna fyrlykten står man?

Oppgaver med tegning

I oppgavene nedenfor står målene på tegningen i oppgaven. Finn ut hvilke sider som er hosliggende katet, motstående katet og hypotenus i forhold til den gitte vinkelen.

📝Oppgave 10

Bruk figuren til å finne de ukjente katetene $x$ og $y$ . Trekanten har en vinkel på 35° og hypotenus 10.

📝Oppgave 11

I figuren nedenfor er hypotenusen 12 og vinkelen er 40°. Finn den hosliggende kateten.

Enhetssirkelen

Definisjonene av sinus, cosinus og tangens over bygger på en rettvinklet trekant og gjelder derfor bare spisse vinkler. I en trekant kan én vinkel være stump. For å kunne bruke sinus og cosinus også da, utvider vi definisjonene med enhetssirkelen: sirkelen med sentrum i origo og radius $1$ .

Vi legger det ene vinkelbeinet til $v$ langs den positive $x$ -aksen. Det andre vinkelbeinet skjærer enhetssirkelen i punktet $P = (x, y)$ . Når $v$ er spiss, danner origo $O$ , punktet $P$ og fotpunktet $Q = (x, 0)$ en rettvinklet trekant med hypotenus $OP = 1$ :

$\cos v = \frac{OQ}{OP} = \frac{x}{1} = x$

$\sin v = \frac{QP}{OP} = \frac{y}{1} = y$

$\tan v = \frac{QP}{OQ} = \frac{y}{x} = \frac{\sin v}{\cos v}$

For spisse vinkler er altså $P = (\cos v, \sin v)$ . Denne sammenhengen bruker vi som definisjon for alle vinkler fra $0°$ til $180°$ .

Sinus, cosinus og tangens i enhetssirkelen

0° \le v \le 180°

Stumpe vinkler

Når $90° < v < 180°$ , ligger $P$ i andre kvadrant: til venstre for $y$ -aksen og over $x$ -aksen. Da er

- $\cos v < 0$ (negativ $x$ -koordinat)
- $\sin v > 0$ (positiv $y$ -koordinat)
- $\displaystyle \tan v = \frac{\sin v}{\cos v} < 0$

Vinklene $0°$ , $90°$ og $180°$ gir punktene $(1, 0)$ , $(0, 1)$ og $(-1, 0)$ :

$\cos 0° = 1, \quad \sin 0° = 0$

$\cos 90° = 0, \quad \sin 90° = 1$

$\cos 180° = -1, \quad \sin 180° = 0$

$\tan 90°$ er ikke definert, fordi $\cos 90° = 0$ .

For vinkler i en trekant er $\sin v$ alltid positiv, og fortegnet til $\cos v$ avgjør vinkeltypen:

- $\cos v > 0$ : $v$ er spiss
- $\cos v = 0$ : $v = 90°$
- $\cos v < 0$ : $v$ er stump

Vinklene $v$ og $180° - v$

La $P$ høre til vinkelen $v$ og $P'$ til vinkelen $180° - v$ . Vinkelbeinet til $180° - v$ danner vinkelen $v$ med den negative $x$ -aksen. Punktene $P$ og $P'$ ligger derfor symmetrisk om $y$ -aksen: de har samme $y$ -koordinat og motsatt $x$ -koordinat.

$P = (\cos v, \sin v)$

$P' = (-\cos v, \sin v)$

$P' = \big(\cos(180° - v), \sin(180° - v)\big)$

De to siste linjene beskriver samme punkt. Vi sammenlikner koordinatene.

📜Vinklene

v

180° - v

For

0° \le v \le 180°

$\sin(180° - v) = \sin v$

$\cos(180° - v) = -\cos v$

For $v \ne 90°$ er dessuten

$\tan(180° - v) = \frac{\sin v}{-\cos v} = -\tan v$

To vinkler med samme sinusverdi

En vannrett linje $y = k$ med $0 < k < 1$ skjærer den øvre halvdelen av enhetssirkelen i to punkter. Likningen $\sin v = k$ har derfor to løsninger mellom $0°$ og $180°$ :

$v_1 = \sin^{-1}(k) \quad \text{(spiss)}$

$v_2 = 180° - v_1 \quad \text{(stump)}$

Kalkulatoren gir bare den spisse løsningen $v_1$ . Den stumpe finner vi selv.

En loddrett linje $x = k$ med $-1 < k < 1$ skjærer den øvre halvsirkelen i ett punkt. Likningen $\cos v = k$ har derfor nøyaktig én løsning mellom $0°$ og $180°$ , og $\cos^{-1}(k)$ på kalkulatoren gir den, også når $k$ er negativ.

✏️Eksempel 5

Finn alle vinkler $v$ mellom $0°$ og $180°$ som oppfyller likningen.

a) $\sin v = 0{,}8$

b) $\cos v = -0{,}8$

$v_1 = \sin^{-1}(0{,}8) \approx 53{,}1°$

$v_2 = 180° - 53{,}1° = 126{,}9°$

Svar: $v \approx 53{,}1°$ eller $v \approx 126{,}9°$

$v = \cos^{-1}(-0{,}8) \approx 143{,}1°$

Svar: $v \approx 143{,}1°$ . Cosinus er negativ, så vinkelen er stump, og det finnes bare denne ene løsningen.

Sinus gir to mulige vinkler

Når en vinkel i en trekant skal finnes fra en sinusverdi, kan både $v_1$ og $180° - v_1$ være mulige. Dette er det tvetydige tilfellet i sinussetningen (delkapittel 5.6). Finner vi vinkelen fra en cosinusverdi, er svaret entydig.

Eksakte verdier

For $30°$ , $45°$ og $60°$ kan vi finne sinus, cosinus og tangens eksakt. Vi bruker to trekanter: et halvt kvadrat og en halv likesidet trekant.

✏️Eksempel 6

Vis at $\displaystyle \sin 45° = \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ og at $\tan 45° = 1$ .

Et kvadrat med side 1 delt langs diagonalen. Halvdelen er en rettvinklet trekant med kateter 1 og 1, hypotenus kvadratroten av 2 og to vinkler på 45 grader.

Vi deler et kvadrat med side $1$ langs diagonalen $d$ . Hver halvdel er en rettvinklet trekant med katetene $1$ og $1$ og vinklene $45°$ , $45°$ og $90°$ .

$d^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

$d = \sqrt{2}$

$\sin 45° = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 45° = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan 45° = \frac{1}{1} = 1$

✏️Eksempel 7

Vis at $\displaystyle \sin 30° = \frac{1}{2}$ og $\displaystyle \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , og finn sinus, cosinus og tangens til $60°$ eksakt.

En likesidet trekant med side 2 delt av høyden. Halvdelen er en rettvinklet trekant med hypotenus 2, kateter 1 og kvadratroten av 3, og vinklene 30, 60 og 90 grader.

Vi tar en likesidet trekant med side $2$ . Alle vinklene er $60°$ . Høyden $h$ fra toppen deler grunnlinjen i to deler med lengde $1$ og toppvinkelen i to vinkler på $30°$ . Den ene halvdelen er en rettvinklet trekant med hypotenus $2$ , katetene $1$ og $h$ og vinklene $30°$ , $60°$ og $90°$ . Kateten $1$ står overfor $30°$ , og kateten $h$ står overfor $60°$ .

$h^2 + 1^2 = 2^2$

$h^2 = 3$

$h = \sqrt{3}$

$\sin 30° = \frac{1}{2}$

$\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 60° = \frac{1}{2}$

$\tan 60° = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

✏️Eksempel 8

Finn de eksakte verdiene.

a) $\sin 120°$ og $\cos 120°$

b) $\cos 135°$ og $\tan 135°$

c) $\sin 150°$ og $\tan 150°$

$\sin 120° = \sin(180° - 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 120° = \cos(180° - 60°) = -\cos 60° = -\frac{1}{2}$

$\cos 135° = \cos(180° - 45°) = -\cos 45° = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan 135° = \tan(180° - 45°) = -\tan 45° = -1$

$\sin 150° = \sin(180° - 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2}$

$\tan 150° = \tan(180° - 30°) = -\tan 30° = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Svar: a) $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ og $\displaystyle -\frac{1}{2}$ , b) $\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2}$ og $-1$ , c) $\displaystyle \frac{1}{2}$ og $\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Eksakte verdier

Tabellen samler resultatene fra eksempel 6–8 og punktene $(1, 0)$ , $(0, 1)$ og $(-1, 0)$ på enhetssirkelen. Streken betyr at $\tan 90°$ ikke er definert.

$v$	$\sin v$	$\cos v$	$\tan v$
$0°$	$0$	$1$	$0$
$30°$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$
$45°$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60°$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
$90°$	$1$	$0$	–
$120°$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle -\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$
$135°$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-1$
$150°$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{3}$
$180°$	$0$	$-1$	$0$

✏️Eksempel 9

Finn alle vinkler $v$ mellom $0°$ og $180°$ uten kalkulator.

a) $\displaystyle \sin v = \frac{1}{2}$

b) $\displaystyle \cos v = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 30° = \frac{1}{2}$

$v_1 = 30°$

$v_2 = 180° - 30° = 150°$

Svar: $v = 30°$ eller $v = 150°$

$\cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(180° - 45°) = -\cos 45° = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$v = 135°$

Svar: $v = 135°$

📝Oppgave 12

Bruk enhetssirkelen. Avgjør om tallet er positivt eller negativt.

\sin 110°

\cos 110°

\tan 110°

\cos 70°

📝Oppgave 13

Finn den eksakte verdien uten kalkulator.

\sin 120°

\cos 135°

\tan 150°

\cos 180°

Løs oppgaven

📝Oppgave 14

Finn alle vinkler $v$ mellom $0°$ og $180°$ uten kalkulator.

\displaystyle \sin v = \frac{\sqrt{3}}{2}

\displaystyle \cos v = -\frac{1}{2}

\tan v = -1

\sin v = 1

Løs oppgaven

📝Oppgave 15

I trekant $ABC$ er $\angle B = 90°$ og $\tan A = 1$ . Forklar hva slags trekant dette er, og finn vinklene.

📝Oppgave 16

Vinkelen $v$ ligger mellom $0°$ og $180°$ , og $\sin v = 0{,}6$ .

Finn begge mulige verdier for $v$ .

Vinkelen $v$ er stump. Finn $\cos v$ eksakt.

Løs oppgaven

📝Oppgave 17

Svar uten kalkulator.

Er $\tan 50°$ større eller mindre enn $1$ ? Begrunn svaret.

Hva er sammenhengen mellom $\tan 50°$ og $\tan 130°$ ?

Vis at $2 \sin u \cos u = \sin 2u$ når $u = 30°$ .

📝Oppgave 18

Vinkler i trekanter.

I en trekant er $\cos C = -0{,}3$ . Er $C$ spiss eller stump? Finn $C$ .

I en annen trekant er $\sin B = 0{,}3$ . Hvilke verdier kan $B$ ha?

Løs oppgaven

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Sinus: $\displaystyle \sin v = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}}$
- Cosinus: $\displaystyle \cos v = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}}$
- Tangens: $\displaystyle \tan v = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}}$
- Finne sider: Gang eller del med den trigonometriske verdien
- Finne vinkler: Bruk de inverse funksjonene $\sin^{-1}$ , $\cos^{-1}$ og $\tan^{-1}$
- Eksakte verdier: $\displaystyle \sin 30° = \frac{1}{2}$ , $\displaystyle \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\displaystyle \sin 45° = \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\tan 45° = 1$ , $\displaystyle \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\displaystyle \cos 60° = \frac{1}{2}$
- Enhetssirkelen: $P = (\cos v, \sin v)$ for $0° \le v \le 180°$ , og $\displaystyle \tan v = \frac{\sin v}{\cos v}$
- Stumpe vinkler: $\sin v > 0$ og $\cos v < 0$
- Vinklene $v$ og $180° - v$ : $\sin(180° - v) = \sin v$ og $\cos(180° - v) = -\cos v$
- To løsninger: $\sin v = k$ med $0 < k < 1$ gir $v = \sin^{-1}(k)$ eller $v = 180° - \sin^{-1}(k)$

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Motstående katet	Kateten rett overfor vinkelen
Hosliggende katet	Kateten som ligger inntil vinkelen
Invers trigonometrisk funksjon	Finner vinkelen fra forholdet
Enhetssirkelen	Sirkelen med sentrum i origo og radius 1

Viktige formler

\displaystyle \sin v = \frac{\text{mot}}{\text{hyp}}

\displaystyle \cos v = \frac{\text{hos}}{\text{hyp}}

\displaystyle \tan v = \frac{\text{mot}}{\text{hos}}

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Trigonometri

Finne vinkler

Oppgaver med tegning

Enhetssirkelen

Stumpe vinkler

Vinklene vvv og 180°−v180° - v180°−v

To vinkler med samme sinusverdi

Eksakte verdier

Oppsummering

Nøkkelbegreper

Viktige formler

Vinklene $v$ og $180° - v$