5.6 Sinussetningen | Matematikk 1T

Sinussetningen med bevis og anvendelser.

35 min

9 oppgaver

SinussetningenTvetydige tilfeller

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.4Trigonometri i rettvinklede trekanter og enhetssirkelen

Brukes videre i

5.7Cosinussetningen

Sinussetningen

Sinussetningen er en formel som gjelder for alle trekanter, ikke bare rettvinklede. Den gir oss en sammenheng mellom sider og vinkler.

📜Sinussetningen

I en trekant med sider

a

b

c

og motstående vinkler

A

B

C

gjelder:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

eller ekvivalent:

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$

Sinussetningen gir sammenheng mellom sider og motstående vinkler

Begrunnelse

La $h$ være høyden fra $C$ ned til siden $c$ .

Fra den ene rettvinklede trekanten: $\displaystyle \sin A = \frac{h}{b}$ , så $h = b \cdot \sin A$

Fra den andre rettvinklede trekanten: $\displaystyle \sin B = \frac{h}{a}$ , så $h = a \cdot \sin B$

Siden begge uttrykk er lik $h$ :
$b \cdot \sin A = a \cdot \sin B$
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

Ved å gjenta med høyde fra et annet hjørne får vi hele sinussetningen.

Er $A$ stump, faller høyden utenfor trekanten. Da er $h = b \cdot \sin(180° - A) = b \cdot \sin A$ , og vi får samme resultat.

Når bruker vi sinussetningen?

Sinussetningen brukes når vi kjenner:
- To vinkler og én side (VSV eller VVS)
- To sider og én vinkel overfor en av sidene

Merk: Hvis vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem, bruker vi cosinussetningen i stedet.

✏️Eksempel 1

I trekant ABC er $A = 40°$ , $B = 75°$ og $a = 10$ . Finn side $b$ .

Trekant med A=40°, B=75°, a=10

Vi bruker sinussetningen:

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}

$\frac{10}{\sin 40°} = \frac{b}{\sin 75°}$

$b = \frac{10 \cdot \sin 75°}{\sin 40°} = \frac{10 \cdot 0{,}966}{0{,}643} \approx 15{,}0$

Svar: Side $b \approx 15{,}0$

✏️Eksempel 2

I trekant ABC er $a = 8$ , $b = 12$ og $A = 35°$ . Finn alle mulige verdier for vinkel $B$ .

\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin A}{a}

$\frac{\sin B}{12} = \frac{\sin 35°}{8}$

$\sin B = \frac{12 \cdot \sin 35°}{8}$

$B_1 = \sin^{-1}\left(\frac{12 \cdot \sin 35°}{8}\right) \approx 59{,}4°$

$B_2 = 180° - 59{,}4° = 120{,}6°$

$A + B_1 = 35° + 59{,}4° = 94{,}4° < 180°$

$A + B_2 = 35° + 120{,}6° = 155{,}6° < 180°$

Svar: $B \approx 59{,}4°$ eller $B \approx 120{,}6°$ . Begge verdiene gir en trekant (se rammen «Det tvetydige tilfellet» under).

Det tvetydige tilfellet

Når vi skal finne en vinkel med sinussetningen, kan det være to mulige løsninger fordi $\sin v = \sin(180° - v)$ (se enhetssirkelen i delkapittel 5.4).

For eksempel: Hvis $\sin B = 0{,}5$ , kan $B = 30°$ eller $B = 150°$ .

Kontroller hver kandidat: den gir en trekant bare hvis summen av den og den kjente vinkelen er mindre enn $180°$ .

✏️Eksempel 3

I trekant ABC er $a = 7$ , $b = 9$ og $A = 30°$ . Finn alle mulige verdier for vinkel $B$ .

\sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} = \frac{9 \cdot \sin 30°}{7} = \frac{9 \cdot 0{,}5}{7} \approx 0{,}643

$B_1 = \sin^{-1}(0{,}643) \approx 40°$
$B_2 = 180° - 40° = 140°$

Sjekk:
- Hvis $B = 40°$ : $C = 180° - 30° - 40° = 110°$ ✓
- Hvis $B = 140°$ : $C = 180° - 30° - 140° = 10°$ ✓

Svar: Begge løsningene er mulige: $B \approx 40°$ eller $B \approx 140°$

✏️Eksempel 4

I trekant ABC er $a = 12$ , $b = 8$ og $A = 35°$ . Finn vinkel $B$ .

\frac{\sin B}{8} = \frac{\sin 35°}{12}

$B_1 = \sin^{-1}\left(\frac{8 \cdot \sin 35°}{12}\right) \approx 22{,}5°$

$B_2 = 180° - 22{,}5° = 157{,}5°$

$A + B_2 = 35° + 157{,}5° = 192{,}5° > 180°$

$B_2$ gir ingen trekant.

$C = 180° - 35° - 22{,}5° = 122{,}5°$

Svar: $B \approx 22{,}5°$ . Her er $a > b$ , så $B$ må være mindre enn $A$ og kan ikke være stump.

✏️Eksempel 5

Et tårn og en bygning står 50 m fra hverandre. Fra toppen av bygningen ser man toppen av tårnet $35°$ over vannrett og foten av tårnet $20°$ under vannrett. Hvor høyt er tårnet?

Fra toppen T av en bygning ser man toppen S av et tårn 35 grader over vannrett og foten F 20 grader under vannrett. Avstanden mellom bygning og tårn er 50 meter.

T

være toppen av bygningen,

F

foten av tårnet og

S

toppen av tårnet.

$TF = \frac{50}{\cos 20°} \approx 53{,}21 \text{ m}$

$\angle STF = 35° + 20° = 55°$

Linjen $TF$ danner $20°$ med vannrett også ved $F$ , og tårnet står loddrett:

$\angle TFS = 90° - 20° = 70°$

$\angle TSF = 180° - 55° - 70° = 55°$

$\frac{FS}{\sin 55°} = \frac{TF}{\sin 55°}$

$FS = TF \approx 53{,}2 \text{ m}$

Svar: Tårnet er omtrent 53,2 m høyt.

Kontroll: $50 \cdot \tan 20° + 50 \cdot \tan 35° \approx 18{,}2 + 35{,}0 = 53{,}2$

Oppsummering

Sinussetningen: $\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Bruk til å:
- Finne ukjent side når du kjenner to vinkler og én side
- Finne ukjent vinkel når du kjenner to sider og én motstående vinkel

Husk: Sjekk alltid for tvetydig tilfelle når du finner vinkler!

📝Oppgave 1

Finn den ukjente siden:

A = 50°

B = 70°

a = 15

. Finn

b

A = 45°

C = 80°

c = 20

. Finn

a

📝Oppgave 2

Finn alle mulige verdier for den ukjente vinkelen:

a = 10

b = 14

A = 40°

. Finn

B

a = 8

c = 11

A = 35°

. Finn

C

📝Oppgave 3

I en trekant er $A = 55°$ , $B = 65°$ og $c = 12$ . Finn alle sider. Tegn trekanten selv og merk av vinkler og sider.

📝Oppgave 4

I trekant $ABC$ er $a = 9$ , $b = 6$ og $A = 50°$ . Finn vinklene $B$ og $C$ . Undersøk om det finnes én eller to trekanter.

📝Oppgave 5

I trekant $ABC$ er $a = 4$ , $b = 7$ og $A = 40°$ . Vis at det ikke finnes noen slik trekant.

📝Oppgave 6

I en trekant er $a = 5$ , $b = 8$ og $A = 25°$ . Vis at det finnes to ulike trekanter, og finn begge verdier for $B$ . Tegn begge mulige trekanter.

📝Oppgave 7

I trekant $ABC$ er $b = 10$ og $A = 30°$ . Lengden av siden $a$ varierer. Finn hvor mange trekanter som finnes når

a = 4

a = 5

a = 8

a = 12

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Sinussetningen: $\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ — gjelder i alle trekanter
- Finne en side: Bruk setningen når du kjenner en vinkel, dens motstående side og én vinkel til
- Finne en vinkel: Bruk setningen når du kjenner to sider og en motstående vinkel
- Det tvetydige tilfellet: $\sin v = \sin(180° - v)$ , så en sinusverdi kan gi både en spiss og en stump vinkel — sjekk om begge er mulige med vinkelsummen

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Motstående side	Siden $a$ ligger rett overfor vinkelen $A$
Tvetydig tilfelle	To mulige vinkler fra samme sinusverdi

Viktige formler

\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

\sin v = \sin(180° - v)

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.