5.6 Sinussetningen

Sider og vinkler i samtale

I en rettvinklet trekant har vi sinusdefinisjonen $\displaystyle \sin v = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}}$ som lar oss koble vinkler til sider. Men hva gjør vi når trekanten ikke har noen rett vinkel? Da trenger vi en mer generell formel.

Sinussetningen er nettopp det – en formel som gjelder for alle trekanter, enten de er spisse, stumpe eller rettvinklede. Den gir oss en vakker sammenheng: forholdet mellom en side og sinusverdien til den motstående vinkelen er det samme for alle tre sidene i trekanten. I dette kapittelet skal vi utlede denne setningen, lære å bruke den, og forstå det berømte tvetydige tilfellet der vi kan få to ulike svar.

Setningen og dens begrunnelse

La oss kalle sidene i trekanten $a$, $b$ og $c$, og de motstående vinklene $A$, $B$ og $C$. Sinussetningen sier:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

Legg merke til symmetrien: hver side hører sammen med sin motstående vinkel. Side $a$ ligger overfor vinkel $A$, side $b$ overfor vinkel $B$, og side $c$ overfor vinkel $C$. Alle tre forholdstallene er like.

Hvorfor er dette sant? La oss tenke oss at vi trekker høyden $h$ fra hjørne $C$ vinkelrett ned på siden $c$. Denne høyden deler trekanten i to rettvinklede trekanter. Fra den venstre trekanten ser vi at $\displaystyle \sin A = \frac{h}{b}$, som gir $h = b \cdot \sin A$. Fra den høyre trekanten ser vi at $\displaystyle \sin B = \frac{h}{a}$, som gir $h = a \cdot \sin B$.

Siden begge uttrykkene er lik samme $h$, kan vi sette dem like: $b \cdot \sin A = a \cdot \sin B$. Deler vi begge sider på $\sin A \cdot \sin B$, får vi $\displaystyle \frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A}$. Ved å gjenta argumentet med en annen høyde får vi hele sinussetningen. Beviset er overraskende enkelt – vi bruker bare definisjonen av sinus i rettvinklede trekanter og det at høyden kan uttrykkes fra to forskjellige sider.

Finne en ukjent side

La oss bruke sinussetningen til å løse noen problemer. Det vanligste tilfellet er at vi kjenner to vinkler og én side, og vil finne en annen side.

I trekant $ABC$ er $A = 40°$, $B = 75°$ og $a = 10$. Vi vil finne side $b$. Vi setter opp sinussetningen med de to parene vi har informasjon om:

$$\frac{10}{\sin 40°} = \frac{b}{\sin 75°}$$

Vi løser for $b$ ved å gange begge sider med $\sin 75°$:

$$b = \frac{10 \cdot \sin 75°}{\sin 40°} = \frac{10 \cdot 0{,}966}{0{,}643} \approx 15{,}0$$

Legg merke til at $B > A$ (75° > 40°), og at $b > a$ (15,0 > 10). Dette gir mening: den største vinkelen ligger alltid overfor den lengste siden.

Et annet eksempel: i en trekant er $A = 55°$, $B = 65°$ og $c = 12$. Først finner vi $C = 180° - 55° - 65° = 60°$. Deretter kan vi finne hvilken som helst side. For eksempel: $\displaystyle a = \frac{12 \cdot \sin 55°}{\sin 60°} \approx 11{,}4$ og $\displaystyle b = \frac{12 \cdot \sin 65°}{\sin 60°} \approx 12{,}6$. Legg merke til at vi alltid trenger å kjenne vinkel $C$ for å bruke $c$ i formelen.

Finne en ukjent vinkel

Vi kan også bruke sinussetningen til å finne vinkler. Da snur vi formelen og løser for sinusverdien til den ukjente vinkelen.

I trekant $ABC$ er $a = 8$, $b = 12$ og $A = 35°$. Vi vil finne vinkel $B$. Vi setter opp:

$$\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin A}{a}$$

$$\sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} = \frac{12 \cdot \sin 35°}{8} = \frac{12 \cdot 0{,}574}{8} \approx 0{,}861$$

$$B = \sin^{-1}(0{,}861) \approx 59{,}4°$$

Det er viktig å sjekke at svaret gir mening. Siden $b > a$ (12 > 8), forventer vi at $B > A$, og 59,4° > 35° stemmer.

Men hva om sinusverdien hadde vært for eksempel 1,2? Da finnes ingen vinkel, fordi sinus aldri er større enn 1. Det ville betydd at de gitte opplysningene ikke kan danne en trekant. Sinussetningen gir oss altså en innebygd sjekk: hvis $\sin B > 1$, finnes ingen løsning.

Nå til en viktig detalj som vi skal dykke dypere inn i neste seksjon: når $\sin B = 0{,}861$, finnes det strengt tatt to vinkler som oppfyller dette – nemlig $59{,}4°$ og $180° - 59{,}4° = 120{,}6°$.

Det tvetydige tilfellet

Her kommer en av de mest fascinerende – og mest forvirrende – sidene ved sinussetningen. Når du bruker den til å finne en vinkel, kan det hende at det finnes to mulige trekanter som passer til de gitte opplysningene.

Grunnen er enkel: $\sin v = \sin(180° - v)$. For eksempel er $\sin 30° = \sin 150° = 0{,}5$. Når vi finner $\sin B = 0{,}643$, kan $B$ altså være enten ca. $40°$ eller ca. $140°$.

La oss se på et konkret eksempel. I trekant $ABC$ er $a = 7$, $b = 9$ og $A = 30°$. Vi finner:

$\displaystyle \sin B = \frac{9 \cdot \sin 30°}{7} = \frac{9 \cdot 0{,}5}{7} \approx 0{,}643$

$B_1 \approx 40°$ eller $B_2 \approx 140°$

Nå sjekker vi begge: Hvis $B = 40°$, så er $C = 180° - 30° - 40° = 110°$. Alle vinkler er positive og summen er $180°$ – dette fungerer. Hvis $B = 140°$, så er $C = 180° - 30° - 140° = 10°$. Også dette fungerer, for alle vinkler er fortsatt positive.

Altså finnes det i dette tilfellet faktisk to ulike trekanter med de gitte opplysningene. Når oppstår tvetydigheten? Den kan bare oppstå når vi kjenner to sider og en vinkel som ikke ligger mellom de to sidene. Hvis den kjente vinkelen er mellom de to sidene, bruker vi uansett cosinussetningen i stedet.

Når bruker vi sinussetningen?

Nå som vi kjenner sinussetningen og dens fallgruver, er det viktig å forstå når den er det rette verktøyet. Sinussetningen brukes i to hovedsituasjoner.

Den første er når vi kjenner to vinkler og én side. Da kan vi alltid finne den tredje vinkelen (fordi vinkelsummen er $180°$), og deretter bruke sinussetningen til å finne de resterende sidene. I dette tilfellet er det aldri noen tvetydighet – løsningen er unik.

Den andre er når vi kjenner to sider og én vinkel som er motstående til en av sidene. Her kan tvetydigheten oppstå, og vi må alltid sjekke begge mulige verdier for den ukjente vinkelen.

Når bør vi ikke bruke sinussetningen? Hvis vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem (det vi kaller SVS-tilfellet), passer cosinussetningen bedre. Og hvis vi kjenner alle tre sidene men ingen vinkler, er cosinussetningen igjen det rette valget.

En nyttig huskeregel er: sinussetningen kobler en side med sin motstående vinkel, så vi trenger alltid minst ett slikt par for å komme i gang. Uten et komplett par (side pluss motstående vinkel) har vi ikke nok informasjon til å bruke sinussetningen.

Til slutt: husk alltid den innebygde sjekken. Hvis $\sin B$ blir større enn 1, finnes ingen trekant. Hvis $\sin B \leq 1$, sjekk om én eller begge vinkler gir gyldig trekant.

Oppsummering

Sinussetningen sier at i en vilkårlig trekant med sider $a$, $b$, $c$ og motstående vinkler $A$, $B$, $C$ gjelder: $\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.

Beviset bygger på å uttrykke høyden i trekanten på to forskjellige måter ved hjelp av sinusdefinisjonen i rettvinklede trekanter. Fordi begge uttrykkene er lik samme høyde, kan vi sette dem like og få sinussetningen.

Vi bruker sinussetningen til å finne ukjente sider når vi kjenner to vinkler og én side, og til å finne ukjente vinkler når vi kjenner to sider og én motstående vinkel. Når vi finner vinkler, må vi alltid huske det tvetydige tilfellet: ligningen $\sin B = k$ kan ha to løsninger, $B$ og $180° - B$. Begge må sjekkes mot kravet om at vinkelsummen er $180°$ og alle vinkler er positive.

Sinussetningen brukes ikke i SVS-tilfellet (to sider og vinkelen mellom dem) – da bruker vi cosinussetningen.