5.7 Cosinussetningen | Matematikk 1T

Cosinussetningen med bevis og anvendelser.

35 min

11 oppgaver

CosinussetningenUkjente siderUkjente vinkler

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.6Sinussetningen

Cosinussetningen

Cosinussetningen er en generalisering av Pytagoras' setning som gjelder for alle trekanter.

📜Cosinussetningen

I en trekant med sider

a

b

c

og motstående vinkler

A

B

C

gjelder:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

Merk: Når $C = 90°$ blir $\cos C = 0$ , og vi får Pytagoras: $c^2 = a^2 + b^2$ .

Cosinussetningen utvider Pytagoras til alle trekanter

Begrunnelse

La $h$ være høyden fra $B$ ned på siden $b = CA$ , med fotpunkt $D$ . Vi ser først på tilfellet der $C$ er spiss, slik at $D$ ligger på $CA$ .

I den rettvinklede trekanten $BCD$ er hypotenusen $a$ :

$CD = a \cos C$

$h^2 = a^2 - (a \cos C)^2$

Da er $DA = b - a \cos C$ . Pytagoras' setning i den rettvinklede trekanten $ABD$ :

$c^2 = h^2 + (b - a \cos C)^2$

$c^2 = a^2 - a^2 (\cos C)^2 + b^2 - 2ab \cos C + a^2 (\cos C)^2$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

Er $C$ stump, ligger $D$ på forlengelsen av $AC$ forbi $C$ . Da er $CD = -a \cos C$ (positiv, fordi $\cos C < 0$ ) og $DA = CD + b = b - a \cos C$ , så den samme regningen gjelder.

Når bruker vi cosinussetningen?

Finn ukjent side: Når du kjenner to sider og vinkelen mellom dem (SVS).

To sider og en vinkel som ikke ligger mellom dem: Cosinussetningen gir en andregradslikning i den ukjente siden (eksempel 5).

Finn ukjent vinkel: Når du kjenner alle tre sidene (SSS).

Omskrevet for å finne vinkel:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

✏️Eksempel 1

I trekant ABC er $b = 7$ , $c = 10$ og $A = 60°$ . Finn side $a$ .

Trekant med b=7, c=10, A=60°

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A

a^2 = 7^2 + 10^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \cos 60°

a^2 = 49 + 100 - 140 \cdot 0{,}5

a^2 = 149 - 70 = 79

a = \sqrt{79} \approx 8{,}9

Svar: Side $a \approx 8{,}9$

✏️Eksempel 2

I trekant ABC er $a = 5$ , $b = 7$ og $c = 9$ . Finn vinkel $C$ .

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

\cos C = \frac{5^2 + 7^2 - 9^2}{2 \cdot 5 \cdot 7}

\cos C = \frac{25 + 49 - 81}{70} = \frac{-7}{70} = -0{,}1

C = \cos^{-1}(-0{,}1) \approx 95{,}7°

Svar: Vinkel $C \approx 95{,}7°$ (stump vinkel fordi cosinus er negativ)

✏️Eksempel 3

To skip starter fra samme havn. Skip A seiler 30 km mot nord, skip B seiler 40 km i retning 70° øst for nord. Hvor langt fra hverandre er skipene?

To skip fra havn

Vinkelen mellom rutene er 70°.

$d^2 = 30^2 + 40^2 - 2 \cdot 30 \cdot 40 \cdot \cos 70°$
$d^2 = 900 + 1600 - 2400 \cdot 0{,}342$
$d^2 = 2500 - 820{,}8 = 1679{,}2$
$d = \sqrt{1679{,}2} \approx 41{,}0$

Svar: Skipene er cirka 41 km fra hverandre.

✏️Eksempel 4

Et parallellogram har sider 8 cm og 12 cm, og den ene diagonalen er 15 cm. Finn vinklene i parallellogrammet.

Diagonalen står overfor vinkelen

A

mellom sidene 8 cm og 12 cm.

$15^2 = 8^2 + 12^2 - 2 \cdot 8 \cdot 12 \cdot \cos A$
$225 = 64 + 144 - 192 \cos A$
$225 = 208 - 192 \cos A$
$\cos A = \frac{208 - 225}{192} = \frac{-17}{192} \approx -0{,}089$
$A \approx 95{,}1°$

Den andre vinkelen er $180° - 95{,}1° = 84{,}9°$ .

Svar: Vinklene er omtrent $95{,}1°$ og $84{,}9°$ (to av hver).

✏️Eksempel 5

I trekant $ABC$ er $b = 8$ og $A = 60°$ . Finn siden $c$ når

a) $a = 7$

b) $a = 9$

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

$7^2 = 8^2 + c^2 - 2 \cdot 8 \cdot c \cdot \cos 60°$

$49 = 64 + c^2 - 8c$

$c^2 - 8c + 15 = 0$

$c = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2}$

$c = 3 \quad \text{eller} \quad c = 5$

Svar: $c = 3$ eller $c = 5$ . Begge er positive, så det finnes to trekanter.

To trekanter med samme side b lik 8, samme vinkel A lik 60 grader og samme side a lik 7. Den ene har c lik 3, den andre c lik 5.

$9^2 = 8^2 + c^2 - 8c$

$c^2 - 8c - 17 = 0$

$c = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 68}}{2} = 4 \pm \sqrt{33}$

$4 - \sqrt{33} < 0$ er ikke en lengde.

Svar: $c = 4 + \sqrt{33} \approx 9{,}74$ . Det finnes én trekant.

Kjenner vi to sider og en vinkel som ikke ligger mellom dem, gir cosinussetningen en andregradslikning i den ukjente siden. Antall positive løsninger er antall trekanter. Med $b = 8$ , $A = 60°$ og $a = 6$ får vi $c^2 - 8c + 28 = 0$ , som har diskriminant $64 - 112 < 0$ : da finnes ingen trekant. Dette er det samme tvetydige tilfellet som i sinussetningen.

Oppsummering

Cosinussetningen:
- Finn side: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
- Finn vinkel: $\displaystyle \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Bruk:
- SVS (to sider og vinkelen mellom) → finn tredje side
- SSS (alle sider) → finn vinkler

Tips: Positiv cosinus = spiss vinkel, negativ cosinus = stump vinkel

📝Oppgave 1

Finn den ukjente siden:

b = 5

c = 8

A = 45°

. Finn

a

a = 6

c = 10

B = 120°

. Finn

b

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Finn vinklene i trekanter med sider:

a = 3

b = 4

c = 5

. Finn

C

a = 7

b = 8

c = 9

. Finn

C

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

En tomt har form som en firkant. Fra et hjørne måler du at de to sidene er 25 m og 35 m, og vinkelen mellom dem er 110°. Hvor lang er diagonalen mellom endepunktene til de to sidene?

Tomt med diagonal

📝Oppgave 4

Et fly flyr 200 km mot øst, snur 50° mot venstre (mot nord), og flyr 150 km til. Hvor langt er flyet fra startpunktet?

📝Oppgave 5

En trekant har sider 10, 12 og 14. Finn alle tre vinkler. Tegn trekanten selv og merk av sidene før du regner.

📝Oppgave 6

En likebeint trekant har to sider på 10 cm og en grunnlinje på 12 cm. Finn toppvinkelen.

Likebent trekant

📝Oppgave 7

I trekant $ABC$ er $a = 13$ , $b = 15$ og $A = 60°$ . Bruk cosinussetningen til å finne alle mulige verdier for $c$ .

📝Oppgave 8

I trekant $ABC$ er $b = 8$ og $A = 60°$ . Siden $a$ kan variere.

Vis at cosinussetningen gir likningen $c^2 - 8c + 64 - a^2 = 0$ .

Finn $a$ eksakt slik at det finnes nøyaktig én trekant med $a < 8$ . Hvor lang er $c$ da?

Forklar at det bare finnes én trekant når $a > 8$ .

Løs oppgaven

Sammensatte problemer

I sammensatte figurer kombinerer vi arealsetningen, sinussetningen og cosinussetningen. Vi deler figuren i trekanter og finner i én trekant det vi trenger i den neste. En diagonal eller en felles side er ofte bindeleddet.

✏️Eksempel 6

I firkanten $ABCD$ er $AB = 4$ , $AD = 6$ , $BC = 2$ , $\angle A = 60°$ og $\angle C = 120°$ .

a) Finn diagonalen $BD$ eksakt.

b) Finn $CD$ .

c) Finn arealet av firkanten eksakt.

Firkant ABCD med AB lik 4, BC lik 2, AD lik 6, vinkel A lik 60 grader og vinkel C lik 120 grader. Diagonalen BD er stiplet.

a) Trekant

ABD

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos A$

$BD^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 16 + 36 - 24 = 28$

$BD = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

Svar: $BD = 2\sqrt{7}$

b) Trekant $BCD$ med $CD = x$ :

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos C$

$28 = 2^2 + x^2 - 2 \cdot 2 \cdot x \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$x^2 + 2x - 24 = 0$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2} = \frac{-2 \pm 10}{2}$

$x = 4 \quad \text{eller} \quad x = -6$

Svar: $CD = 4$ (en lengde kan ikke være negativ)

$T_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin 60° = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$

$T_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 \cdot \sin 120° = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

$T = 6\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$

Svar: Arealet er $8\sqrt{3}$ .

✏️Eksempel 7

I firkanten $ABCD$ er $AB = 10$ , $BC = 7$ og $\angle B = 110°$ . Diagonalen $AC$ deler firkanten i to trekanter. I trekant $ACD$ er $\angle CAD = 35°$ og $\angle ACD = 60°$ .

a) Finn diagonalen $AC$ .

b) Finn $AD$ og $CD$ .

c) Finn arealet av firkanten.

Firkant ABCD der AB er 10, BC er 7 og vinkel B er 110 grader. Diagonalen AC deler firkanten; i trekant ACD er vinkelen ved A 35 grader og vinkelen ved C 60 grader.

a) Trekant

ABC

$AC^2 = 10^2 + 7^2 - 2 \cdot 10 \cdot 7 \cdot \cos 110°$

$AC = \sqrt{149 - 140 \cos 110°} \approx 14{,}03$

Svar: $AC \approx 14{,}0$

b) Trekant $ACD$ :

$\angle D = 180° - 35° - 60° = 85°$

$\frac{AD}{\sin 60°} = \frac{AC}{\sin 85°}$

$AD = \frac{14{,}03 \cdot \sin 60°}{\sin 85°} \approx 12{,}20$

$\frac{CD}{\sin 35°} = \frac{AC}{\sin 85°}$

$CD = \frac{14{,}03 \cdot \sin 35°}{\sin 85°} \approx 8{,}08$

Svar: $AD \approx 12{,}2$ og $CD \approx 8{,}1$

$T_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 7 \cdot \sin 110° \approx 32{,}9$

$T_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot 14{,}03 \cdot 12{,}20 \cdot \sin 35° \approx 49{,}1$

$T \approx 32{,}9 + 49{,}1 = 82{,}0$

Svar: Arealet er omtrent $82{,}0$ .

✏️Eksempel 8

En regulær tolvkant er innskrevet i en sirkel med radius $r$ . Tolvkanten har areal $120$ .

a) Finn $r$ eksakt.

b) Finn omkretsen av tolvkanten.

En regulær tolvkant innskrevet i en sirkel. Én av de tolv like trekantene fra sentrum er fremhevet, med to sider r og vinkelen 30 grader mellom dem.

Linjestykkene fra sentrum til hjørnene deler tolvkanten i

12

like trekanter med to sider

r

og vinkelen

\displaystyle \frac{360°}{12} = 30°

mellom dem.

$12 \cdot \frac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot \sin 30° = 120$

$6r^2 \cdot \frac{1}{2} = 120$

$r^2 = 40$

$r = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

Svar: $r = 2\sqrt{10}$

b) La $s$ være siden i tolvkanten.

$s^2 = r^2 + r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cdot \cos 30°$

$s^2 = 40 + 40 - 80 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 80 - 40\sqrt{3}$

$s = \sqrt{80 - 40\sqrt{3}} \approx 3{,}274$

$O = 12 s \approx 39{,}3$

Svar: Omkretsen er omtrent $39{,}3$ .

📝Oppgave 9

I firkanten $PQRS$ er $PQ = 6$ , $QR = 9$ , $\angle Q = 75°$ , $PS = 8$ og $\angle RPS = 50°$ .

Finn diagonalen $PR$ .

Finn $RS$ .

Finn arealet av firkanten.

📝Oppgave 10

I trekant $ABC$ er $\angle A = 120°$ , $AB = 4$ og arealet $4\sqrt{3}$ . Finn $AC$ og $BC$ eksakt.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Cosinussetningen: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ , der $C$ er vinkelen mellom sidene $a$ og $b$
- Finne en side: Bruk setningen når du kjenner to sider og den mellomliggende vinkelen
- Finne en vinkel: $\displaystyle \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ når alle tre sidene er kjent
- Generalisert Pytagoras: Når $C = 90°$ er $\cos C = 0$ , og setningen blir $c^2 = a^2 + b^2$
- Stumpe vinkler: $\cos C < 0$ når $C > 90°$ — da blir siden $c$ lengre enn ved rett vinkel
- To sider og en vinkel som ikke ligger mellom dem: Cosinussetningen gir en andregradslikning — to, én eller ingen trekanter
- Sammensatte figurer: Del i trekanter, og bruk en felles side som bindeledd mellom setningene

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Mellomliggende vinkel	Vinkelen mellom de to kjente sidene
Generalisert Pytagoras	Cosinussetningen med $C = 90°$

Viktige formler

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

\displaystyle \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.