5.7 Cosinussetningen

Pytagoras for alle trekanter

Du kjenner sikkert Pytagoras' setning: i en rettvinklet trekant er $a^2 + b^2 = c^2$, der $c$ er hypotenusen. Men hva gjør du når trekanten ikke er rettvinklet? Da holder ikke Pytagoras lenger, fordi den bare gjelder når én vinkel er nøyaktig $90°$.

Cosinussetningen er Pytagoras' storesøster. Den gjelder for alle trekanter – spisse, stumpe og rettvinklede. Den legger til et ekstra ledd med cosinus som korrigerer for at vinkelen ikke er $90°$. I dette kapittelet skal vi utlede cosinussetningen, bruke den til å finne ukjente sider og vinkler, og se hvordan den løser problemer som sinussetningen ikke klarer.

Setningen og dens begrunnelse

Cosinussetningen sier at i en trekant med sider $a$, $b$, $c$ og motstående vinkler $A$, $B$, $C$ gjelder:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$

Tilsvarende kan vi skrive den for de andre sidene: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ og $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$.

Legg merke til leddet $-2ab \cos C$. Når $C = 90°$, er $\cos 90° = 0$, og hele dette leddet forsvinner. Da står vi igjen med $c^2 = a^2 + b^2$ – altså Pytagoras. Cosinussetningen er virkelig en generalisering.

Begrunnelsen er elegant. Vi plasserer trekanten i et koordinatsystem med $C$ i origo og siden $b$ langs $x$-aksen. Da er $A = (b, 0)$ og $B = (a \cos C, a \sin C)$. Avstanden mellom $A$ og $B$ er $c$, og vi bruker avstandsformelen:

$c^2 = (a \cos C - b)^2 + (a \sin C)^2$

Når vi ganger ut, får vi $c^2 = a^2 \cos^2 C - 2ab \cos C + b^2 + a^2 \sin^2 C$. Siden $\cos^2 C + \sin^2 C = 1$, forenkles dette til $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$. Beviset hviler altså på koordinatgeometri og den grunnleggende sammenhengen $\sin^2 + \cos^2 = 1$.

Finne en ukjent side

Cosinussetningen er perfekt når vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem – det som kalles SVS-tilfellet (side-vinkel-side).

La oss ta et eksempel. I trekant $ABC$ er $b = 7$, $c = 10$ og $A = 60°$. Vi vil finne side $a$. Vi setter inn i cosinussetningen:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A = 7^2 + 10^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \cos 60°$

$a^2 = 49 + 100 - 140 \cdot 0{,}5 = 149 - 70 = 79$

$a = \sqrt{79} \approx 8{,}9$

Her er et praktisk problem: to skip starter fra samme havn. Skip A seiler 30 km mot nord, og skip B seiler 40 km i en retning som gjør en vinkel på 70° med nordretningen. Hvor langt fra hverandre er de? Vinkelen mellom rutene er 70°, og vi bruker cosinussetningen:

$d^2 = 30^2 + 40^2 - 2 \cdot 30 \cdot 40 \cdot \cos 70° = 900 + 1600 - 2400 \cdot 0{,}342 \approx 2500 - 820{,}8 = 1679{,}2$

$d \approx 41{,}0$ km

Skipene er altså ca. 41 km fra hverandre. Legg merke til at uten cosinussetningen ville dette problemet vært vanskelig å løse – sinussetningen hjelper ikke her fordi vi ikke kjenner noen motstående vinkel.

Finne en ukjent vinkel

Cosinussetningen er også det rette verktøyet når vi kjenner alle tre sidene og vil finne en vinkel – det såkalte SSS-tilfellet. Da omskriver vi formelen:

$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$

La oss prøve. I trekant $ABC$ er $a = 5$, $b = 7$ og $c = 9$. Vi finner vinkel $C$:

$\displaystyle \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{25 + 49 - 81}{70} = \frac{-7}{70} = -0{,}1$

$C = \cos^{-1}(-0{,}1) \approx 95{,}7°$

Legg merke til at $\cos C$ er negativ. Hva betyr det? Jo, cosinus er negativ for vinkler mellom $90°$ og $180°$, altså for stumpe vinkler. Så vinkel $C$ er stump. Og det gir mening: side $c = 9$ er den lengste, og den lengste siden ligger alltid overfor den største vinkelen.

Dette er en stor fordel med cosinussetningen sammenlignet med sinussetningen: det er ingen tvetydighet. Cosinus er nemlig unik for vinkler mellom $0°$ og $180°$ – ulik sinus, som gir to mulige vinkler. Positiv cosinus betyr spiss vinkel, negativ cosinus betyr stump vinkel, og $\cos = 0$ betyr rett vinkel.

Et annet eksempel: sidene 3, 4 og 5 gir $\displaystyle \cos C = \frac{9 + 16 - 25}{24} = 0$, altså $C = 90°$. Perfekt – vi vet at 3-4-5 er en rettvinklet trekant.

Praktiske anvendelser

Cosinussetningen dukker opp overalt i praktiske problemer der avstander og retninger er involvert. La oss se på et par eksempler.

Et fly flyr 200 km mot øst, snur 50° mot venstre (mot nord), og flyr 150 km til. Hvor langt er flyet fra startpunktet? Vinkelen i trekanten mellom de to rutene er ikke 50°, men $180° - 50° = 130°$, fordi vi måler vinkelen på innsiden av trekanten. Vi setter inn:

$d^2 = 200^2 + 150^2 - 2 \cdot 200 \cdot 150 \cdot \cos 130°$

$d^2 = 40000 + 22500 - 60000 \cdot (-0{,}643) = 62500 + 38580 = 101080$

$d \approx 318$ km

Legg merke til at $\cos 130°$ er negativ, som gjør at vi legger til i stedet for å trekke fra. Det gir mening: en stump vinkel betyr at flyet bøyer «utover», slik at det ender opp lenger unna enn om det hadde fortsatt rett fram.

En parallellogram har sider 8 cm og 12 cm, og den ene diagonalen er 15 cm. Vi kan bruke cosinussetningen til å finne vinklene: $\displaystyle \cos A = \frac{64 + 144 - 225}{192} = \frac{-17}{192} \approx -0{,}089$, som gir $A \approx 95{,}1°$. Den andre vinkelen er $180° - 95{,}1° = 84{,}9°$.

Sinussetningen eller cosinussetningen?

Nå som du kjenner både sinussetningen og cosinussetningen, er det viktig å velge riktig verktøy til riktig problem. Her er en oversikt.

Bruk sinussetningen $\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ når du kjenner to vinkler og én side, eller to sider og én motstående vinkel. Husk at du trenger minst ett komplett par (side + motstående vinkel), og vær oppmerksom på det tvetydige tilfellet.

Bruk cosinussetningen $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ i to situasjoner: når du kjenner to sider og vinkelen mellom dem (SVS) og skal finne den tredje siden, eller når du kjenner alle tre sidene (SSS) og skal finne en vinkel. Cosinussetningen gir alltid en entydig løsning.

En likebent trekant med to sider på 10 cm og grunnlinje 12 cm illustrerer dette fint. Vi finner toppvinkelen med cosinussetningen: $\displaystyle \cos C = \frac{100 + 100 - 144}{200} = \frac{56}{200} = 0{,}28$, som gir $C \approx 73{,}7°$.

I praksis er det lurt å starte med å identifisere hva du vet: vinkler, sider, eller begge deler. Se etter om du har et komplett par (side + motstående vinkel) for sinussetningen, eller om du har SVS eller SSS for cosinussetningen. Ofte bruker vi begge setningene i kombinasjon – for eksempel cosinussetningen til å finne den tredje siden, og deretter sinussetningen til å finne de resterende vinklene.

Oppsummering

Cosinussetningen $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ er en generalisering av Pytagoras' setning til alle trekanter. Når $C = 90°$, forsvinner cosinusleddet og vi får Pytagoras tilbake.

Beviset bygger på å plassere trekanten i et koordinatsystem og bruke avstandsformelen sammen med identiteten $\sin^2 C + \cos^2 C = 1$.

Vi bruker cosinussetningen til å finne ukjente sider i SVS-tilfellet (to sider og vinkelen mellom) og til å finne ukjente vinkler i SSS-tilfellet (alle tre sider). Formelen for å finne vinkel er $\displaystyle \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.

En stor fordel med cosinussetningen er at den gir entydige svar – ingen tvetydighet som med sinussetningen. Positiv cosinus betyr spiss vinkel, negativ cosinus betyr stump vinkel, og $\cos = 0$ betyr rett vinkel.

I praksis bruker vi ofte cosinussetningen og sinussetningen i kombinasjon: cosinussetningen for det første steget, og sinussetningen for resten.