5.5 Areal av trekanter

Hvor stort er egentlig et trekantet felt?

Forestill deg at du står foran en uregelmessig tomt formet som en trekant. Eiendomsmegleren har gitt deg noen mål, og du trenger å vite nøyaktig hvor stort arealet er. Problemet er at trekanter sjelden er pene og rettvinklede – de kan ha alle slags former og vinkler. Heldigvis finnes det flere formler som hjelper oss, avhengig av hvilken informasjon vi har tilgjengelig.

I dette kapittelet skal vi utforske tre ulike tilnærminger til å finne arealet av en trekant. Vi starter med den klassiske formelen du kanskje husker fra ungdomsskolen, og bygger videre til den elegante arealsetningen som bruker trigonometri. Til slutt tar vi en titt på Herons formel, som klarer seg bare med sidelengdene.

Grunnlinje og høyde – den klassiske formelen

La oss begynne med det mest grunnleggende. Hvis du kjenner grunnlinjen $g$ og høyden $h$ i en trekant, kan du alltid finne arealet med formelen:

$$A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$$

Men hva betyr egentlig «høyde» her? Det er den vinkelrette avstanden fra grunnlinjen opp til det motstående hjørnet. Tenk deg at du slipper en loddrett linje fra toppen av trekanten rett ned til grunnlinjen – den linjens lengde er høyden.

Hvorfor fungerer denne formelen? Tenk på et rektangel med sider $g$ og $h$. Arealet av rektangelet er $g \cdot h$. Nå kan du alltid dele rektangelet slik at trekanten utgjør nøyaktig halvparten av det – derav faktoren $\displaystyle \frac{1}{2}$.

La oss prøve et eksempel. En trekant har grunnlinje 8 cm og høyde 5 cm. Da blir arealet $\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20$ cm². Enkelt og greit.

Denne formelen fungerer for alle trekanter, men den har én begrensning: du må kjenne høyden. I mange praktiske situasjoner er det ikke høyden vi vet, men sidene og vinklene. Da trenger vi noe mer.

Arealsetningen – når du kjenner to sider og vinkelen mellom

Nå kommer det virkelig spennende. Tenk deg at du kjenner to sider i en trekant og vinkelen mellom dem, men ikke høyden. Kan du likevel finne arealet? Ja, og det er her arealsetningen kommer inn:

$$A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$$

Her er $a$ og $b$ to sider i trekanten, og $C$ er vinkelen mellom dem. Legg merke til at det er vinkelen mellom de to sidene som teller – ikke en tilfeldig vinkel.

Hvorfor fungerer dette? La oss tenke på det. Hvis vi kaller den ene siden for grunnlinjen, så er høyden den vinkelrette avstanden ned fra det motstående hjørnet. Med trigonometri vet vi at $h = a \cdot \sin C$. Setter vi dette inn i den klassiske formelen, får vi $\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot a \cdot \sin C$. Og der har vi arealsetningen.

La oss teste den. En trekant har sider 7 cm og 9 cm, og vinkelen mellom dem er 50°. Da blir arealet $\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 9 \cdot \sin 50° = \frac{1}{2} \cdot 63 \cdot 0{,}766 \approx 24{,}1$ cm².

Hva med en likesidet trekant med side 6 cm? Alle vinkler er 60°, så $\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin 60° = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \approx 15{,}6$ cm².

Finne vinkelen når arealet er kjent

Arealsetningen er ikke bare nyttig for å finne arealet – vi kan også bruke den «baklengs». Hvis vi kjenner arealet og to sider, kan vi finne vinkelen mellom dem.

Tenk deg dette: to sider i en trekant er 8 m og 10 m, og arealet er 32 m². Hva er vinkelen mellom sidene? Vi setter inn i arealsetningen og løser for vinkelen:

$\displaystyle 32 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin C$

$32 = 40 \cdot \sin C$

$\displaystyle \sin C = \frac{32}{40} = 0{,}8$

$C = \sin^{-1}(0{,}8) \approx 53{,}1°$

Men her er det noe viktig vi må huske: ligningen $\sin C = 0{,}8$ har faktisk to løsninger. Siden $\sin(180° - v) = \sin v$, kan vinkelen også være $C = 180° - 53{,}1° = 126{,}9°$. Begge verdiene er matematisk gyldige. I praksis må vi vurdere konteksten for å avgjøre hvilken vinkel som gir mening – en spiss eller en stump vinkel.

Det er også verdt å merke seg at arealet av en trekant med to gitte sider blir størst når vinkelen mellom dem er $90°$, fordi $\sin 90° = 1$ er den største verdien sinusfunksjonen kan ha. Hvis to sider er 7 m og 11 m, er det maksimale arealet $\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 11 \cdot 1 = 38{,}5$ m².

Herons formel – bare sidene er nok

Noen ganger kjenner vi ingen vinkler og ingen høyde – vi vet bare lengden på de tre sidene. Da kommer Herons formel til unnsetning. Denne formelen er oppkalt etter Heron av Alexandria, en gresk matematiker som levde for nesten 2000 år siden.

Formelen har to steg. Først beregner vi den såkalte halve omkretsen $s$:

$$s = \frac{a + b + c}{2}$$

Deretter bruker vi denne til å finne arealet:

$$A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$$

Det kan virke mystisk at bare sidelengdene er nok til å bestemme arealet, men det gir mening: tre sidelengder bestemmer trekanten unikt (opp til speilvending), og dermed er arealet også entydig bestemt.

La oss ta et raskt eksempel. En trekant har sider 3, 4 og 5. Vi regner ut $\displaystyle s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$. Deretter: $A = \sqrt{6 \cdot (6-3) \cdot (6-4) \cdot (6-5)} = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{36} = 6$. Du kjenner kanskje igjen at en 3-4-5-trekant er rettvinklet, og arealet $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ stemmer perfekt.

Et viktig poeng: Herons formel er spesielt nyttig i praksis, for eksempel i landmåling, der du kan måle sidelengder direkte uten å kjenne vinklene.

Velg riktig formel – og et nyttig triks for parallellogrammer

Nå som du kjenner tre ulike arealformler, er det viktig å vite hvilken du skal velge. Her er tommelfingerregelen: se på hva du vet om trekanten.

Kjenner du grunnlinje og høyde, bruker du $\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$. Kjenner du to sider og vinkelen mellom dem, bruker du arealsetningen $\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$. Kjenner du bare de tre sidene, bruker du Herons formel.

La oss se på en praktisk anvendelse: arealet av en parallellogram. En parallellogram kan deles inn i to kongruente trekanter langs en diagonal. Hver trekant har sider $a$ og $b$ med vinkel $C$ mellom dem, og areal $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$. Hele parallellogrammet har da arealet $a \cdot b \cdot \sin C$.

For eksempel: en parallellogram har sider 8 cm og 12 cm, og en vinkel på 70°. Arealet blir $8 \cdot 12 \cdot \sin 70° \approx 90{,}2$ cm².

Et trekantet tomt med sider 40 m og 55 m og vinkel 65° mellom dem har areal $\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 55 \cdot \sin 65° \approx 997$ m². Det er nesten en dekar – omtrent som en liten hage.

Det store bildet er dette: arealsetningen er en av de mest allsidige formlene i trigonometrien. Den dukker opp igjen og igjen i praktiske problemer, fra arkitektur til navigasjon.

Oppsummering

Vi har nå tre kraftige verktøy for å finne arealet av en trekant.

Den klassiske formelen $\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$ er den enkleste og krever at vi kjenner grunnlinjen og den vinkelrette høyden. Den er rask å bruke, men forutsetter at høyden er kjent eller lett å finne.

Arealsetningen $\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$ er den mest allsidige formelen. Den bruker to sider og vinkelen mellom dem, og utleder egentlig høyden for oss via sinusfunksjonen. Denne formelen er spesielt nyttig fordi den også lar oss finne ukjente vinkler når arealet er kjent. Husk at arealet blir størst når vinkelen er $90°$.

Herons formel $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ der $\displaystyle s = \frac{a+b+c}{2}$ trenger bare de tre sidelengdene. Den er praktisk i situasjoner der du kan måle sider direkte, men ikke vinkler.

For parallellogrammer gjelder en tilsvarende formel: $A = a \cdot b \cdot \sin C$, uten faktoren $\displaystyle \frac{1}{2}$, fordi parallellogrammet er dobbelt så stort som hver av de to trekantene det består av.