5.5 Areal av trekanter | Matematikk 1T

Ulike formler for areal av trekanter.

30 min

15 oppgaver

GrunnlinjeHøydeArealsetningen

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 15 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.4Trigonometri i rettvinklede trekanter og enhetssirkelen

Areal av trekanter

Det finnes flere måter å beregne arealet av en trekant på. Hvilken formel vi bruker, avhenger av hva vi vet om trekanten.

📜Grunnformel for areal

T = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h

der $g$ er grunnlinjen og $h$ er høyden (vinkelrett avstand fra grunnlinjen til motstående hjørne).

Denne formelen fungerer for alle trekanter.

✏️Eksempel 1

Finn arealet av en trekant med grunnlinje 8 cm og høyde 5 cm.

Trekant med grunnlinje 8 og høyde 5

\displaystyle T = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20

cm²

Svar: Arealet er 20 cm².

📜Arealsetningen

Når vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem:

$T = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$

der $a$ og $b$ er to sider, og $C$ er vinkelen mellom dem.

Begrunnelse for arealsetningen

La $h$ være høyden fra hjørnet $B$ ned på siden $b = CA$ . Når $C$ er spiss, er $h$ motstående katet til $C$ i en rettvinklet trekant med hypotenus $a$ :

$h = a \sin C$

Når $C$ er stump, faller høyden utenfor trekanten. Da er $h$ motstående katet til vinkelen $180° - C$ :

$h = a \sin(180° - C) = a \sin C$

I begge tilfeller er

$T = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$

✏️Eksempel 2

En trekant har sider 7 cm og 9 cm, og vinkelen mellom dem er 50°. Finn arealet.

Trekant med sider 7 og 9, vinkel 50°

\displaystyle T = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C

\displaystyle T = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 9 \cdot \sin 50°

\displaystyle T = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 9 \cdot 0{,}766...

T \approx 24{,}1

cm²

Svar: Arealet er omtrent 24,1 cm².

✏️Eksempel 3

Finn arealet av en likesidet trekant med side 6 cm.

Likesidet trekant med side 6

I en likesidet trekant er alle vinkler 60°.

$\displaystyle T = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin 60°$
$\displaystyle T = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$T = 9\sqrt{3} \approx 15{,}6$ cm²

Med side $s$ gir den samme regningen $\displaystyle T = \frac{1}{2} \cdot s^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ .

Svar: Arealet er $9\sqrt{3} \approx 15{,}6$ cm².

✏️Eksempel 4

To sider i en trekant er 8 m og 10 m. Vinkelen mellom dem er ukjent, men arealet er 32 m². Finn vinkelen.

\displaystyle T = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C

\displaystyle 32 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin C

32 = 40 \cdot \sin C

\displaystyle \sin C = \frac{32}{40} = 0{,}8

C = \sin^{-1}(0{,}8) \approx 53{,}1°

Svar: Vinkelen er cirka 53,1° (eller 126,9° hvis vinkelen er stump).

Herons formel (tilleggsstoff)

Når vi bare kjenner de tre sidene $a$ , $b$ og $c$ :

$s = \frac{a + b + c}{2}$ (halve omkretsen)

$T = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Dette kalles Herons formel. Formelen kan bevises med arealsetningen og cosinussetningen (delkapittel 5.7). Her bruker vi den uten bevis.

Velg riktig formel

- Grunnlinje og høyde kjent: $\displaystyle T = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$
- To sider og vinkelen mellom: $\displaystyle T = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$
- Bare sidene kjent: Finn en vinkel med cosinussetningen (delkapittel 5.7), og bruk så arealsetningen. Herons formel er et alternativ.

Arealformelen for trekant: $T = \frac{g \cdot h}{2}$ — Arealformelen for trekant: $\displaystyle T = \frac{g \cdot h}{2}$

📝Oppgave 1

Finn arealet av trekanter med:

Grunnlinje 10 cm, høyde 6 cm

Grunnlinje 12 cm, høyde 8 cm

Grunnlinje 15 cm, høyde 4 cm

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Bruk arealsetningen til å finne arealet:

Sider 5 og 8, vinkel 30° mellom

Sider 6 og 6, vinkel 60° mellom

Sider 10 og 12, vinkel 90° mellom

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Et parallellogram har sider 8 cm og 12 cm, og en vinkel på 70°. Finn arealet.

📝Oppgave 4

En tomt har form som en trekant. To sider er 40 m og 55 m, og vinkelen mellom dem er 65°. Finn arealet i m².

📝Oppgave 5

En trekant har grunnlinje $g = 14$ cm og høyde $h = 9$ cm. Beregn arealet.

📝Oppgave 6

Et trekantet skilt har areal 180 cm² og grunnlinje 24 cm. Hvor høyt er skiltet? (Finn høyden $h$ .)

📝Oppgave 7

En trekant har sider 7 m og 11 m. Vinkelen mellom dem gjør at arealet blir maksimalt. Finn dette arealet.

📝Oppgave 8

Den lille trekanten har sider 3, 4 og 5, mens den store har sider 6, 8 og 10 (forholdstallet $k = 2$ ). Hva er forholdet mellom arealene til de to trekantene?

Oppgaver med tegning

I oppgavene nedenfor står målene på tegningen i oppgaven. Velg arealformel ut fra hva som er oppgitt: grunnlinje og høyde, eller to sider og vinkelen mellom dem.

📝Oppgave 9

Finn arealet av trekanten på tegningen. Grunnlinjen er 8 og høyden er 5.

📝Oppgave 10

På tegningen har trekanten to sider på 6 og 8, og vinkelen mellom dem er 60°. Finn arealet.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Grunnformelen: $\displaystyle T = \frac{g \cdot h}{2}$ , der $g$ er grunnlinjen og $h$ er høyden
- Arealsetningen: $\displaystyle T = \frac{1}{2} a b \sin C$ , der $C$ er vinkelen mellom sidene $a$ og $b$
- Når brukes hva: Grunnformelen når høyden er kjent, arealsetningen når to sider og mellomliggende vinkel er kjent
- Likesidet trekant: Arealet av en likesidet trekant med side $s$ er $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} s^2$

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Grunnlinje	Siden vi måler høyden mot
Høyde	Normalen fra motstående hjørne ned på grunnlinjen
Mellomliggende vinkel	Vinkelen mellom de to kjente sidene

Viktige formler

\displaystyle T = \frac{g \cdot h}{2}

\displaystyle T = \frac{1}{2} a b \sin C

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.