5.4 Trigonometri i rettvinklede trekanter

Trekantmåling

Ordet trigonometri kommer fra gresk og betyr rett og slett «trekantmåling». Der Pytagoras' setning gir oss sammenhengen mellom sidene i en rettvinklet trekant, gir trigonometrien oss sammenhengen mellom sidene og vinklene.

Tenk deg at du vet at en vinkel i en rettvinklet trekant er 30° og at hypotenusen er 10 cm. Med Pytagoras alene kan du ikke finne de to katetene – du trenger å vite noe om vinkelen også. Det er her sinus, cosinus og tangens kommer inn. Disse tre funksjonene lar deg koble vinkler til sidelengder, og de er uunnværlige verktøy i alt fra navigasjon til byggeteknikk.

De tre sidene sett fra en vinkel

Før vi kan definere sinus, cosinus og tangens, må vi navngi sidene i en rettvinklet trekant i forhold til en bestemt vinkel. Velg en av de spisse vinklene i trekanten – la oss kalle den $v$.

Nå ser vi på trekanten fra vinkelens perspektiv. Siden som ligger rett overfor $v$ – den som vinkelen «peker mot» – kaller vi motstående katet. Siden som ligger inntil $v$ (den som er en del av vinkelen, men som ikke er hypotenusen) kaller vi hosliggende katet. Og den lengste siden, som ligger overfor den rette vinkelen, er fortsatt hypotenusen.

Det er viktig å forstå at rollene til sidene endrer seg avhengig av hvilken vinkel du ser fra. Dersom du bytter til den andre spisse vinkelen, blir det som var motstående nå hosliggende, og omvendt. Hypotenusen er alltid den samme.

Med disse tre navnene – motstående, hosliggende og hypotenus – kan vi nå definere de tre trigonometriske forholdene:

$$\sin v = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}}$$

$$\cos v = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}}$$

$$\tan v = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}}$$

En populær huskeregel er SOH-CAH-TOA: Sin = Opposite/Hypotenuse, Cos = Adjacent/Hypotenuse, Tan = Opposite/Adjacent.

Finne ukjente sider

La oss bruke definisjonene i praksis. Nøkkelen er å velge riktig funksjon basert på hva du kjenner og hva du leter etter.

Eksempel 1: Vinkelen $v = 30°$ og hypotenusen er 10 cm. Finn motstående katet. Vi trenger forholdet mellom motstående og hypotenus, altså sinus: $\displaystyle \sin 30° = \frac{x}{10}$, som gir $x = 10 \cdot \sin 30° = 10 \cdot 0{,}5 = 5$ cm. Motstående katet er 5 cm.

Eksempel 2: Vinkelen $v = 45°$ og hosliggende katet er 8 cm. Finn hypotenusen. Vi trenger forholdet mellom hosliggende og hypotenus, altså cosinus: $\displaystyle \cos 45° = \frac{8}{c}$. Vi løser for $c$: $\displaystyle c = \frac{8}{\cos 45°} = \frac{8}{0{,}707...} \approx 11{,}3$ cm.

Eksempel 3: Vinkelen $v = 60°$ og hosliggende katet er 7 cm. Finn motstående katet. Vi trenger forholdet mellom motstående og hosliggende, altså tangens: $\displaystyle \tan 60° = \frac{x}{7}$, som gir $x = 7 \cdot \tan 60° = 7 \cdot 1{,}732... \approx 12{,}1$ cm.

Legg merke til mønsteret: du identifiserer hvilke to av de tre sidene (motstående, hosliggende, hypotenus) som er involvert, og velger funksjonen som kobler akkurat de to. Kjenner du motstående og hypotenus? Bruk sinus. Hosliggende og hypotenus? Cosinus. Motstående og hosliggende? Tangens.

Finne vinkler med inverse funksjoner

Så langt har vi brukt trigonometri til å finne sider når vi kjenner vinkelen. Men hva om vi kjenner sidene og vil finne vinkelen? Da bruker vi inverse trigonometriske funksjoner, også kalt arcus-funksjoner.

Ideene er enkle: dersom $\sin v = 0{,}5$, da er $v = \sin^{-1}(0{,}5) = 30°$. Funksjonen $\sin^{-1}$ (også skrevet $\arcsin$) «snur» sinus – den tar et tall mellom $-1$ og $1$ og gir tilbake vinkelen. På kalkulatoren finner du dem merket som «sin⁻¹», «cos⁻¹» og «tan⁻¹».

La oss ta et eksempel. En rettvinklet trekant har kateter 3 cm og 4 cm. Vi vil finne den minste spisse vinkelen. Den minste vinkelen ligger overfor den korteste kateten (3 cm). Fra den vinkelens perspektiv er 3 cm motstående og 4 cm hosliggende. Vi bruker tangens: $\displaystyle \tan v = \frac{3}{4} = 0{,}75$, og dermed $v = \tan^{-1}(0{,}75) \approx 36{,}9°$.

Hvilken invers funksjon du velger, avhenger av hvilke sider du kjenner – akkurat som ved å finne sider. Kjenner du motstående og hypotenus? Bruk $\sin^{-1}$. Hosliggende og hypotenus? Bruk $\cos^{-1}$. Motstående og hosliggende? Bruk $\tan^{-1}$.

Pass på å sjekke at kalkulatoren er i gradermodus (DEG), ikke radianmodus (RAD). I radianmodus ville $\sin^{-1}(0{,}5)$ gi $\displaystyle \frac{\pi}{6} \approx 0{,}524$ – et tall som absolutt ikke ser ut som 30°.

Spesielle vinkler

Noen vinkelverdier dukker opp så ofte at det er verdt å kunne de trigonometriske verdiene utenat. De tre viktigste er 30°, 45° og 60°.

For 30° gjelder: $\displaystyle \sin 30° = \frac{1}{2}$, $\displaystyle \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ og $\displaystyle \tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Disse verdiene kommer fra en 30-60-90-trekant, som du får ved å dele en likesidet trekant i to.

For 45° gjelder: $\displaystyle \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\displaystyle \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$ og $\tan 45° = 1$. Legg merke til at sinus og cosinus er like for 45° – det gir mening fordi i en 45-45-90-trekant er de to katetene like lange, så motstående og hosliggende er det samme. Og tangens er 1 fordi forholdet mellom to like sider alltid er 1.

For 60° gjelder: $\displaystyle \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\displaystyle \cos 60° = \frac{1}{2}$ og $\tan 60° = \sqrt{3}$. Legg merke til symmetrien med 30°: $\sin 60° = \cos 30°$ og $\cos 60° = \sin 30°$. Det er fordi 30° og 60° er de to spisse vinklene i samme trekant – hva som er motstående for den ene, er hosliggende for den andre.

Denne sammenhengen gjelder generelt: $\sin v = \cos(90° - v)$ for alle spisse vinkler $v$. Sinus og cosinus er altså «partnere» som utfyller hverandre.

Trigonometri i den virkelige verden

Trigonometri er ikke bare klasseromsmatematikk – den løser ekte problemer der du kan se men ikke måle direkte.

Treets høyde. Et tre kaster en skygge på 15 m når solen står 35° over horisonten. Treet og skyggen danner en rettvinklet trekant der treets høyde er motstående katet og skyggen er hosliggende. Vi bruker tangens: $h = 15 \cdot \tan 35° = 15 \cdot 0{,}700... \approx 10{,}5$ m.

Helikopteret og skipet. En helikopterpilot ser ned på et skip med en vinkel på 25° under horisontalt. Helikopteret er 800 m over havet. Høyden er motstående, den horisontale avstanden er hosliggende. $\displaystyle d = \frac{800}{\tan 25°} = \frac{800}{0{,}466...} \approx 1716$ m.

Rampen. En rampe skal ha en stigningsvinkel på 8° og nå en høyde på 1,2 m. Høyden er motstående, rampen er hypotenusen. $\displaystyle L = \frac{1{,}2}{\sin 8°} = \frac{1{,}2}{0{,}139...} \approx 8{,}6$ m.

Flyet. Et fly tar av med vinkel 12° og flyr 3 km langs flybanen. Høyden er $3000 \cdot \sin 12° \approx 624$ m, og den horisontale avstanden er $3000 \cdot \cos 12° \approx 2934$ m.

I alle disse tilfellene er fremgangsmåten lik: tegn en rettvinklet trekant, identifiser motstående, hosliggende og hypotenus i forhold til vinkelen, og velg riktig funksjon. Tegningen er kanskje det viktigste steget – den hjelper deg å se hvilke sider og vinkler du jobber med.

Oppsummering

Trigonometri kobler vinkler og sider i rettvinklede trekanter. De tre forholdene er: $\displaystyle \sin v = \frac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}}$, $\displaystyle \cos v = \frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenus}}$ og $\displaystyle \tan v = \frac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}$. Huskeregelen er SOH-CAH-TOA.

For å finne en side, omform den relevante formelen: motstående $= \text{hypotenus} \cdot \sin v$, hosliggende $= \text{hypotenus} \cdot \cos v$, eller motstående $= \text{hosliggende} \cdot \tan v$. For å finne en vinkel, bruk de inverse funksjonene: $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$ eller $\tan^{-1}$.

De spesielle vinklene 30°, 45° og 60° har eksakte verdier som er nyttige å kunne. Legg merke til at $\sin v = \cos(90° - v)$ – de to funksjonene utfyller hverandre for komplementære vinkler.

I praksis brukes trigonometri til å måle det du ikke kan nå direkte: høyden på trær, avstanden til skip, lengden på ramper og stigningsvinkler på stier. Tegn alltid en figur og identifiser de tre sidene i forhold til vinkelen.