5.3 Pytagoras' setning

En setning som er over 2500 år gammel

For omtrent 2500 år siden oppdaget den greske matematikeren Pytagoras – eller kanskje noen av elevene hans – en sammenheng i rettvinklede trekanter som har endret matematikkens historie. Sammenhengen er enkel, vakker og utrolig nyttig: i enhver rettvinklet trekant er det et fast forhold mellom de tre sidene.

Denne sammenhengen brukes den dag i dag av ingeniører som bygger broer, snekkere som sjekker vinkler, og programmerere som beregner avstander. I dette kapittelet skal vi forstå hva Pytagoras' setning sier, øve på å bruke den, og se hvordan den dukker opp i overraskende mange praktiske situasjoner.

Kateter og hypotenus

Før vi kan forstå setningen, trenger vi noen begreper. I en rettvinklet trekant er én av vinklene nøyaktig 90°. De to sidene som danner denne rette vinkelen kalles kateter, og vi betegner dem gjerne med $a$ og $b$. Siden som ligger overfor den rette vinkelen – den lengste siden i trekanten – kalles hypotenusen, og vi betegner den med $c$.

Hypotenusen er alltid den lengste siden. Hvorfor? Fordi den ligger overfor den største vinkelen (90°), og i en trekant er den lengste siden alltid overfor den største vinkelen. Dette er en nyttig sjekk: dersom du beregner en side og den er lengre enn hypotenusen, vet du at noe har gått galt.

Nå kommer selve setningen. Pytagoras' setning sier at i en rettvinklet trekant gjelder:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Kvadratet av de to katetene lagt sammen er lik kvadratet av hypotenusen. For den klassiske 3-4-5-trekanten: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$. Det stemmer!

Denne formelen kan omskrives avhengig av hva vi leter etter. Skal du finne hypotenusen, bruker du $c = \sqrt{a^2 + b^2}$. Skal du finne en katet, bruker du $a = \sqrt{c^2 - b^2}$.

Finne en ukjent katet

Å finne hypotenusen er det enkleste tilfellet. Men like ofte trenger vi å finne en ukjent katet. Da omformer vi setningen: dersom vi kjenner hypotenusen $c$ og den ene kateten $b$, finner vi den andre kateten med $a = \sqrt{c^2 - b^2}$.

La oss ta et eksempel. En rettvinklet trekant har hypotenus 13 cm og én katet på 5 cm. Vi setter inn: $a = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$. Den andre kateten er 12 cm. Legg merke til at $(5, 12, 13)$ er et kjent pytagoreisk trippel – tre hele tall som oppfyller $a^2 + b^2 = c^2$.

Det er nyttig å kjenne de vanligste pytagoreiske triplene: $(3, 4, 5)$, $(5, 12, 13)$, $(8, 15, 17)$ og $(7, 24, 25)$. Alle multipler av et trippel er også et trippel: for eksempel er $(6, 8, 10)$ bare $(3, 4, 5)$ ganget med 2, og $(9, 12, 15)$ er $(3, 4, 5)$ ganget med 3.

Når du gjenkjenner et pytagoreisk trippel, kan du hoppe over hele utregningen og skrive svaret direkte. Det sparer tid og reduserer sjansen for regnefeil.

Praktiske anvendelser

Pytagoras' setning er ikke bare teori – den løser ekte problemer. La oss se på noen klassikere.

Stigen mot veggen. En stige på 5 meter lener mot en vegg, og foten av stigen står 3 meter fra veggen. Stigen er hypotenusen, avstanden fra veggen er én katet, og høyden på veggen er den andre. Vi regner: $h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$. Stigen når 4 meter opp på veggen. Vi kjenner igjen 3-4-5-trippelet.

Diagonalen i et rektangel. Et rektangel med sider 6 cm og 8 cm – hvor lang er diagonalen? Diagonalen deler rektangelet i to rettvinklede trekanter, der sidene er katetene og diagonalen er hypotenusen: $d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ cm.

Fotballbane. En fotballbane er 100 m lang og 70 m bred. Diagonalen er $d = \sqrt{100^2 + 70^2} = \sqrt{10\,000 + 4\,900} = \sqrt{14\,900} \approx 122{,}1$ m. Her får vi ikke et pent heltall, og det er helt normalt – de fleste praktiske problemer gir desimaltall.

Nøkkelen i alle disse oppgavene er å identifisere den rettvinklede trekanten i situasjonen og avgjøre hvilken side som er hypotenusen og hvilke som er katetene.

Den omvendte setningen

Pytagoras' setning har også en omvendt versjon som er like viktig. Den sier: dersom $a^2 + b^2 = c^2$ for de tre sidene i en trekant (der $c$ er den lengste), så er trekanten rettvinklet med den rette vinkelen overfor $c$.

Dette gir oss en måte å sjekke om en trekant er rettvinklet uten å måle vinkler. Vi tar de tre sidene, setter inn i formelen og ser om likheten stemmer.

La oss prøve: er en trekant med sider 9, 12 og 15 rettvinklet? Vi sjekker: $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$, og $15^2 = 225$. Det stemmer, altså er trekanten rettvinklet.

Hva med sider 4, 5 og 6? Vi sjekker: $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$, mens $6^2 = 36$. Siden $41 \neq 36$, er trekanten ikke rettvinklet. Faktisk, fordi $41 > 36$ (summen av katetkvadratene er større enn det vi antar er hypotenusen i kvadrat), er trekanten spissvinlet. Dersom summen hadde vært mindre, ville trekanten vært stumpvinklet.

Denne omvendte setningen brukes i praksis av snekkere og bygningsarbeidere. For å sjekke at et hjørne er nøyaktig 90°, måler de 3 enheter langs den ene siden, 4 enheter langs den andre, og sjekker at diagonalen er nøyaktig 5 enheter. Stemmer det, er vinkelen rett.

Pytagoras i sammensatte figurer

Pytagoras' setning brukes ikke bare i enkle trekanter – den dukker opp i overraskende mange sammensatte figurer. Trikset er å identifisere rettvinklede trekanter inne i figuren.

Høyden i en likesidet trekant. Tenk deg en likesidet trekant med side 10 cm. Dersom du tegner høyden ned til grunnlinjen, deler den trekanten i to like rettvinklede trekanter. I hver av disse er hypotenusen 10 cm (en side av den likesidede trekanten), den ene kateten er 5 cm (halve grunnlinjen), og den andre kateten er høyden $h$. Vi regner: $h = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66$ cm.

TV-skjermer. Skjermstørrelser oppgis i tommer diagonalt. En 55-tommers TV har en diagonal på 55 tommer. Dersom bredden er 48 tommer, kan vi finne høyden: $h = \sqrt{55^2 - 48^2} = \sqrt{3025 - 2304} = \sqrt{721} \approx 26{,}9$ tommer.

Romdiagonaler. Du kan til og med utvide Pytagoras til tre dimensjoner. Diagonalen i et rom med lengde $l$, bredde $b$ og høyde $h$ er $d = \sqrt{l^2 + b^2 + h^2}$. Dersom rommet er 4 m langt, 3 m bredt og 2,5 m høyt, er romdiagonalen $\sqrt{16 + 9 + 6{,}25} = \sqrt{31{,}25} \approx 5{,}59$ m. Dette er nyttig for å sjekke om et langt møbel passer gjennom rommet diagonalt.

Oppsummering

Pytagoras' setning sier at i en rettvinklet trekant med kateter $a$ og $b$ og hypotenus $c$ gjelder $a^2 + b^2 = c^2$. Hypotenusen er alltid den lengste siden og ligger overfor den rette vinkelen.

Setningen brukes i tre situasjoner: finne hypotenusen ($c = \sqrt{a^2 + b^2}$), finne en katet ($a = \sqrt{c^2 - b^2}$), eller sjekke om en trekant er rettvinklet (den omvendte setningen).

Pytagoreiske tripler som $(3, 4, 5)$, $(5, 12, 13)$ og $(8, 15, 17)$ er heltallskombinasjoner som oppfyller setningen. Alle multipler av et trippel er også et trippel.

I praksis finner du Pytagoras overalt: stiger mot vegger, diagonaler i rektangler, høyder i likesidede trekanter, TV-skjermstørrelser og til og med romdiagonaler i tre dimensjoner. Nøkkelen er alltid å identifisere den rettvinklede trekanten i situasjonen.