2.3 Omvendt og implisitt funksjonsteorem via Jacobi

Et punkt $a$ der Jacobi-matrisen er inverterbar, altså $\det F'(a)\ne0$. I et regulært punkt «kollapser» ikke avbildningen rommet lokalt — den strekker og vrir, men beholder dimensjonen. Regulære punkter er nettopp de hvor omvendt funksjonsteorem kan brukes.

$$G'\big(F(a)\big)=F'(a)^{-1}.$$

Altså: den deriverte til den omvendte er den inverse matrisen av $F'(a)$. Teoremet gir eksistens — det sier ikke hvordan inversen ser ut i lukket form, bare at den finnes og hva dens Jacobi er i punktet.

$$G'\big(F(a)\big)=F'(a)^{-1}.$$

Du regner altså én invers matrise (med metoden fra kap. 1.3) og er ferdig. Merk evalueringspunktet: $G'$ tas i bildepunktet $F(a)$, ikke i $a$.

En funksjon $G$ definert på en liten omegn om $F(a)$ som «angrer» $F$ der: $G(F(x))=x$ for $x$ nær $a$. Den er lokal fordi den bare virker i nærheten — $F$ kan godt treffe samme verdi to steder globalt (jf. polaravbildningen i kap. 2.2). Omvendt funksjonsteorem garanterer at $G$ finnes og er like glatt som $F$.

Mengden av punkter som løser én likning: $\{(x,y):f(x,y)=c\}$. Nær et punkt der betingelsene under holder, er denne kurven grafen til en funksjon $y=g(x)$ — likningen «definerer $y$ implisitt som funksjon av $x$», selv om vi ikke kan løse den ut algebraisk.

$$f(a,b)=0\qquad\text{og}\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\ne0.$$

Da finnes nær $x=a$ en entydig glatt funksjon $y=g(x)$ med $g(a)=b$ og $f(x,g(x))=0$. Teoremet gir eksistensen av $g$; derivasjonsformelen (under) gir $g'$. Rekkefølgen på sjekken er obligatorisk: $f(a,b)=0$ først, så $\partial f/\partial y\ne0$.

De to betingelsene som må kontrolleres før du deriverer, i denne rekkefølgen: (1) at punktet faktisk ligger på kurven, $f(a,b)=0$; (2) at derivasjonsvariabelen har ikke-null partiellderivert, $\partial f/\partial y(a,b)\ne0$ (ellers er tangenten loddrett og $y$ er ikke en funksjon av $x$ der). Sensor gir egne poeng for denne sjekken — den er «halve oppgaven», ikke en formalitet.

$$g'(a)=-\frac{\partial f/\partial x\,(a,b)}{\partial f/\partial y\,(a,b)}.$$

Minustegnet er en fast fellekilde — det kommer fra kjerneregelen (utledningen under). Legg merke til at nevneren er nettopp den partiellderiverte du sjekket var ulik null.

$$\frac{\partial g}{\partial x}=-\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial z},\qquad \frac{\partial g}{\partial y}=-\frac{\partial F/\partial y}{\partial F/\partial z}.$$

Samme mønster som i én variabel — deriver mhp. hver «fri» variabel, del på $\partial F/\partial z$, sett minus foran. Dette er 2024-eksamenens O5-variant.

Når variablene deles i «parametere» $x$ og «ukjente» $y$, er $\partial F/\partial y$ den delen av Jacobi-matrisen som bare deriverer mhp. de ukjente. For et system $F(x,y)=0$ med $y\in\mathbb{R}^m$ er dette en $m\times m$-blokk — den som må være inverterbar for at systemet skal kunne løses for $y$.

Generaliseringen til flere likninger. For et system $F(x,y)=0$ ($F:\mathbb{R}^{n+m}\to\mathbb{R}^m$, $y\in\mathbb{R}^m$ ukjent) som er $C^1$ med $F(a,b)=0$: hvis den partielle Jacobi-blokken $\dfrac{\partial F}{\partial y}(a,b)$ er inverterbar ($\det\ne0$), finnes en glatt $y=g(x)$ med $g(a)=b$ og $F(x,g(x))=0$ nær $a$. Betingelsen «$\partial f/\partial y\ne0$» fra én likning blir her «Jacobi-blokken inverterbar».

Fellesnevneren i alle versjonene av teoremet: du kan løse for de ukjente nettopp når determinanten til den tilhørende Jacobi-blokken er ulik null. Én likning: $\partial f/\partial y\ne0$. Én likning, flate: $\partial F/\partial z\ne0$. System: $\det(\partial F/\partial y)\ne0$. Omvendt: $\det F'\ne0$. Alt er samme idé — den lineære tilnærmingen må være inverterbar.

Funksjonsteoremene er eksistensteoremer: de garanterer at en invers eller implisitt funksjon finnes og er glatt, og gir dens deriverte i punktet — men de gir sjelden funksjonen i lukket form. På eksamen er nettopp dette poenget: du kan svare på «finnes $g$?» og «hva er $g'$?» selv når du ikke kan løse likningen ut.

Omvendt funksjonsteorem reduserer et flervariabel-problem til én matriseinvertering: $G'(F(a))=F'(a)^{-1}$. Hele regnejobben er å invertere $2\times2$- (eller $3\times3$-)matrisen $F'(a)$ med metoden fra kap. 1.3. Derfor er delpunktene kjedet: inversen fra ett punkt er svaret i det neste.

I $g'=-\dfrac{\partial_x f}{\partial_y f}$ er minustegnet ikke valgfritt. Det følger av at $f(x,g(x))=0$ deriveres til $\partial_x f+\partial_y f\cdot g'=0$, så $g'$ må ha motsatt fortegn av forholdet $\partial_x f/\partial_y f$. Glemt minus er den hyppigste enkeltfeilen i sjanger D.

Et punkt der $\det F'(a)=0$ — det motsatte av regulært. Der svikter omvendt funksjonsteorem: avbildningen kan folde eller kollapse rommet, og en lokal invers er ikke garantert. Å identifisere de kritiske punktene (løse $\det F'=0$) er ofte første steg når man spør hvor $F$ er lokalt inverterbar.

Er $F$ av klasse $C^1$ (eller $C^k$), er den lokale inversen $G$ det også — teoremet leverer ikke bare en invers, men en like glatt invers. Det er derfor vi trygt kan derivere $G$ og snakke om $G'$: glattheten er en del av konklusjonen, ikke en antakelse vi må sjekke i etterkant.

Nær et punkt der implisitt funksjonsteorem gjelder, har løsningskurven $f=c$ tangentlinjen $\nabla f(a,b)\cdot(x-a,y-b)=0$ (gradienten er normal til nivåkurven, kap. 2.1). Stigningstallet til denne tangenten er nettopp $g'(a)=-\dfrac{\partial_x f}{\partial_y f}$ — de to bildene stemmer overens.

En glatt avbildning med glatt invers kalles en diffeomorfi. Omvendt funksjonsteorem sier presist at en $C^1$-avbildning med $\det F'(a)\ne0$ er en lokal diffeomorfi nær $a$. Begrepet dukker opp igjen ved variabelskifte i integraler (kap. 4.2), der Jacobideterminanten er skaleringsfaktoren. Nevnes for kjennskap.