4.2 Polarkoordinater og variabelskifte med Jacobideterminant

$$x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta, \qquad x^2 + y^2 = r^2.$$

Sirkler om origo blir $r = \text{konstant}$, og stråler ut fra origo blir $\theta = \text{konstant}$ — derfor blir sirkelsymmetriske områder enkle.

$$dA = r\,dr\,d\theta.$$

Geometrisk: en liten «rute» mellom radiene $r$ og $r+dr$ og vinklene $\theta$ og $\theta+d\theta$ har sidene $dr$ og $r\,d\theta$ (buelengde), så arealet er $r\,dr\,d\theta$. Faktoren $r$ er det som oftest glemmes i hele emnet — den er selve Jacobideterminanten for polarskiftet.

Å oversette området til grenser for $r$ og $\theta$. En hel skive med radius $a$ er $\{0 \le r \le a,\ 0 \le \theta \le 2\pi\}$; en øvre halvskive er $\{0 \le r \le a,\ 0 \le \theta \le \pi\}$; en ring (annulus) $b \le r \le a$ er $\{b \le r \le a,\ 0 \le \theta \le 2\pi\}$. Som ellers: skriv grensene som eksplisitte ulikheter før oppsett.

$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \det\begin{pmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v\end{pmatrix} = x_u y_v - x_v y_u.$$

For polarskiftet $x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta$ blir den nettopp $r$ — som forklarer $dA = r\,dr\,d\theta$. I integralet brukes alltid tallverdien $\left|\tfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|$.

Regelen som sikrer at arealfaktoren aldri blir negativ. Et areal er positivt, så variabelskifteformelen bruker $\left|\tfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|$, ikke determinanten med fortegn. Glemmer du absoluttverdien kan du få et negativt (altså galt) svar på et areal eller volum — en dokumentert fortegnsfelle.

$$x = a r\cos\theta, \qquad y = b r\sin\theta, \qquad 0 \le r \le 1,\ 0 \le \theta \le 2\pi.$$

Da blir $\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2} = r^2 \le 1$, og Jacobideterminanten blir $\left|\tfrac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\right| = a b\,r$. Arealet av ellipsen faller da rett ut som $\pi a b$.

Den kjente substitusjonen $\int f(g(t))g'(t)\,dt = \int f(u)\,du$ er variabelskiftet i én variabel: $g'(t)$ er «Jacobien» som strekker lengden $dt$ til $du$. Dobbeltintegralets variabelskifte er den todimensjonale versjonen, der Jacobideterminanten spiller rollen til $g'(t)$ — men nå må vi ta absoluttverdi fordi areal, ulikt fortegnsbestemte lengder, alltid er positivt.

Egenskapen som gjør at polar lønner seg: integranden avhenger bare av avstanden $x^2+y^2$ fra origo, og/eller området er en skive, ring eller sektor. Da forenkler polarskiftet både integrand ($x^2+y^2 = r^2$) og grenser (rette $r$- og $\theta$-intervaller). Ser du $x^2+y^2$ i integranden eller en sirkelrand, tenk polar.

Den ekstra faktoren i $dA = r\,dr\,d\theta$ — Jacobideterminanten for polarskiftet. Den er der fordi buelengden av en vinkelbit vokser med radien: ytre ringer er «bredere» enn indre. Å glemme $r$ er den mest dokumenterte enkeltfeilen i multiple integraler; skriv den alltid inn med én gang du bytter til polar.

Området mellom to konsentriske sirkler, $b \le x^2+y^2 \le a^2$, som i polar blir $\{b \le r \le a,\ 0 \le \theta \le 2\pi\}$ (med $b$ som ytre radius-grense skrevet riktig). Ringen er det reneste polar-området: begge grensepar er tall, og integralet faktoriserer i en $r$-del og en $\theta$-del.

Deler av en skive avgrenset av vinkelen. En øvre halvskive ($y \ge 0$) har $\theta \in [0,\pi]$; en nedre $\theta \in [\pi, 2\pi]$; første kvadrant $\theta \in [0, \tfrac{\pi}{2}]$. Feil $\theta$-grenser er en klassisk tabbe — tegn sektoren og les av start- og sluttvinkelen.

$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{pmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v\end{pmatrix}.$$

Dette er $F'$ fra kap. 2.2 for avbildningen $F(u,v) = (x,y)$. Jacobideterminanten er determinanten av denne matrisen.

Den klassiske sirkelsymmetriske integranden. I polar blir den $e^{-r^2}$, og $\int r\,e^{-r^2}\,dr$ løses med $u = r^2$. Over hele planet konvergerer $\iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}\,dA = \pi$ (regnes i kap. 4.4) — et resultat som ligger bak normalfordelingen i statistikk.

Den geometriske tolkningen av $\left|\tfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|$: hvor mange ganger større et lite areal blir når skiftet fører $(u,v)$-planet over på $(x,y)$-planet. Er faktoren $2$, dobles arealene; ved polar er den $r$, så biter langt fra origo teller mer. Det er derfor faktoren må inn i integralet.

Prinsippet for å velge riktig koordinater: la området eller integrandens geometri bestemme. Sirkel/ring/sektor eller $x^2+y^2$ i integranden ⇒ polar; ellipse ⇒ ellipsekoordinater; et rektangel eller polynom-integrand ⇒ bli i kartesiske koordinater. Et godt skifte gjør både grenser og integrand enklere samtidig.