4.3 Trippelintegral i sylinder- og kulekoordinater

$$\iiint_V f(x,y,z)\,dV.$$

Med integranden $1$ er $\iiint_V 1\,dV$ volumet av $V$. Det regnes som tre enkeltintegraler etter hverandre, innerst først — nøyaktig samme idé som dobbeltintegralet, bare med en variabel til.

$$x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,\qquad dV = r\,dz\,dr\,d\theta.$$

Brukes for kropper med rotasjonssymmetri om $z$-aksen: sylindre, kjegler ($z = r$) og paraboloider ($z = r^2$). Faktoren $r$ i $dV$ er den samme som i polar — og glemmes like ofte.

Den lille rombiten trippelintegralet summerer over. I kartesiske koordinater er $dV = dx\,dy\,dz$; i sylinder $dV = r\,dz\,dr\,d\theta$; i kule $dV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$. Den ekstra faktoren ($r$ eller $\rho^2\sin\varphi$) er Jacobideterminanten til skiftet og må alltid være med.

$$x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi,\qquad dV = \rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.$$

Brukes for kuleformede kropper: kuler ($\rho = a$), kuleskall og kjegler ($\varphi = \text{konstant}$). Volumelementets faktor $\rho^2\sin\varphi$ må alltid være med.

Den rette avstanden fra origo til punktet, $\rho = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \ge 0$. En kule med radius $a$ om origo er rett og slett $\rho \le a$, og et kuleskall er $b \le \rho \le a$. Ikke forveksle $\rho$ (avstand fra origo, i rommet) med $r$ (avstand fra $z$-aksen, i sylinder): $r = \rho\sin\varphi$.

Vinkelen mellom den positive $z$-aksen og linjen ut til punktet, $0 \le \varphi \le \pi$. Toppen ($z$-aksen oppover) er $\varphi = 0$, $xy$-planet er $\varphi = \tfrac{\pi}{2}$, og bunnen er $\varphi = \pi$. En kjegle om $z$-aksen er $\varphi = \text{konstant}$: for eksempel er $z = \sqrt{x^2+y^2}$ kjeglen $\varphi = \tfrac{\pi}{4}$. Det er $\varphi$-grensene folk oftest bommer på i kule.

Kurven (eller sirkelen) der to grenseflater møtes — det du finner ved å sette flatene lik hverandre. Møter paraboloiden $z = r^2$ planet $z = 4$, gir $r^2 = 4 \Rightarrow r = 2$ den ytre $r$-grensen. Møter to buede flater hverandre, løs likningen deres for å finne $r$ (eller $\rho$). Grensene skal regnes, aldri gjettes — det er et uttrykt sensorkrav.

$$\iiint g(r)h(\theta)k(z)\,dV = \Big(\int g(r)r\,dr\Big)\Big(\int h(\theta)\,d\theta\Big)\Big(\int k(z)\,dz\Big).$$

Dette sparer mye arbeid (særlig $\theta$-delen, som ofte bare gir $2\pi$). Betingelsen er at grensene er konstante i den variabelen som skilles ut — sjekk det før du faktoriserer.

Å skrive kroppen som eksplisitte ulikheter for de tre koordinatene før oppsett — for eksempel $\{0\le\theta\le 2\pi,\ 0\le r\le 2,\ r^2\le z\le 4\}$. Innerste variabel har grenser som kan avhenge av de ytre (her $z$ mellom flater), mens den ytterste har tallgrenser. Skriv dem ned først; sett opp integralet etterpå.

Egenskapen at kroppen er uendret når den dreies om $z$-aksen — den avhenger bare av avstanden $r$ fra aksen og høyden $z$, ikke av vinkelen $\theta$. Sylindre, kjegler og paraboloider har den. Da er $\theta$-grensene alltid $0$ til $2\pi$, integranden ofte uavhengig av $\theta$, og $\theta$-delen faktoriseres rett ut som $2\pi$ — et sikkert tegn på at sylinderkoordinater er riktig valg.

Trippelintegralet i vanlige koordinater, $\iiint_V f\,dx\,dy\,dz$, brukt når kroppen er en boks eller et prisme med plane, aksekvadrat-parallelle sider. Da er alle grenser enkle tall eller lineære uttrykk, og ingen ekstra volumfaktor trengs ($dV = dx\,dy\,dz$). For buede kropper lønner sylinder eller kule seg.

$$\text{Volum}(V) = \iiint_V 1\,dV.$$

Det er den direkte generaliseringen av «areal $= \iint_A 1\,dA$» til tre dimensjoner. All jobben ligger i å beskrive $V$ riktig (koordinatvalg, skjæring, grenser); integrasjonen av $1$ er ren rutine når volumelementet er på plass.

Avstanden fra $z$-aksen til punktet, $r = \sqrt{x^2+y^2} \ge 0$ — den samme $r$ som i polarkoordinater. En sylinder om $z$-aksen med radius $a$ er $r \le a$. Ikke forveksle med kulekoordinatenes $\rho$ (avstand fra origo): de henger sammen ved $r = \rho\sin\varphi$.

Vinkelen rundt $z$-aksen, målt i $xy$-planet fra den positive $x$-aksen, $0 \le \theta \le 2\pi$ — felles for både sylinder- og kulekoordinater. En hel omdreining er $\theta$ fra $0$ til $2\pi$; en halv fra $0$ til $\pi$. I rotasjonssymmetriske integraler faktoriseres $\theta$-delen ofte rett ut som $2\pi$.

Flaten $z = x^2 + y^2$ (som i sylinder blir $z = r^2$) — en «skål» med rotasjonssymmetri om $z$-aksen. Den er en gjenganger som øvre eller nedre grenseflate i volumoppgaver. Skjæringen med et vannrett plan $z = c$ er sirkelen $r = \sqrt{c}$.

Flaten $z = \sqrt{x^2+y^2}$ (i sylinder $z = r$, i kule $\varphi = \tfrac{\pi}{4}$) — en spiss «trakt» om $z$-aksen. I sylinderkoordinater er den enklest som $z = r$; i kulekoordinater er den en konstant polvinkel, som gjør den ideell som $\varphi$-grense for iskrem-formede kropper.

En kule med radius $a$ om origo er $\rho \le a$; et kuleskall mellom to radier er $b \le \rho \le a$. Begge er reneste kulekoordinat-områder: $\varphi$ løper $0$ til $\pi$, $\theta$ løper $0$ til $2\pi$, og bare $\rho$-grensene skiller kule fra skall. Volumet av kula er $\tfrac43\pi a^3$.

Den delen av kulevolumelementet $\rho^2\sin\varphi$ som knytter seg til polvinkelen. Den er der fordi «breddesirklene» blir mindre nær polene ($\varphi = 0$ og $\pi$) og størst ved ekvator ($\varphi = \tfrac{\pi}{2}$). En vanlig tabbe er å regne $\int_0^\pi\sin\varphi\,d\varphi$ som $0$ — det riktige er $2$.

Å regne trippelintegralet som tre enkeltintegraler innerst-først, med den variabelen hvis grenser avhenger av de andre plassert innerst. I sylinder er det typisk $z$ (mellom flater) innerst, så $r$, så $\theta$. Velg rekkefølgen som gjør de innerste grensene enklest — ofte er $z$ mellom to flater og $r,\theta$ konstante.

Er $f(x,y,z)$ en tetthet, gir $\iiint_V f\,dV$ den totale massen av kroppen, og $\tfrac{1}{\text{masse}}\iiint_V (x,y,z)f\,dV$ gir massesenteret. Dette er den fysiske tolkningen av trippelintegralet (kjennskap — dukker sjelden opp i dette emnet, men forklarer hvorfor integranden ikke alltid er $1$).