4.1 Dobbeltintegral over kurveavgrenset område

Finn skjæringspunktene, beskriv området med eksplisitte ulikheter, integrer innerst først — 95 %-sjangeren med fasitens føringsstandard.

55 min

15 oppgaver

Dobbeltintegral over kurveavgrenset område

Din fremgang i kapitlet

0 / 15 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

2.1Partiellderiverte, gradient og tangentplan

Brukes videre i

4.2Polarkoordinater og variabelskifte med Jacobideterminant 5.2Linjeintegral og Greens teorem

Dobbeltintegral over et kurveavgrenset område er pensumets aller stabileste tema — praktisk talt garantert på hvert eneste sett.

- Sjanger G — analysens kode for «dobbeltintegral over kurveavgrenset område» — forekommer i 19 av 20 arkiverte sett (95 %). Ingen annen oppgavetype er så trygg å regne med. Offisiell fasit finnes (V2025 ordinær O5a lander på $\tfrac{32}{3}$ ).
- Tre grep avgjør uttellingen, og alle er føringspoeng sensor teller: (1) løs skjæringspunktene ved å sette kurvene lik hverandre (aldri gjett grensene), (2) skriv områdebeskrivelsen som eksplisitte ulikheter før du setter opp integralet, og (3) regn det indre integralet ferdig og forenkle før det ytre.
- «Begrunn alle svar»: et bart tallsvar uten synlig områdebeskrivelse og mellomregning gir ikke full uttelling. Svaret oppgis eksakt ( $\tfrac{32}{3}$ ), aldri som desimaltilnærming.

Prioritet: høyeste. Målet er at du trygt finner grensene, fører området som ulikheter og regner det itererte integralet uten å nøle.

Forkunnskaper. Dette kapitlet bygger på det å regne med to variable fra kap. 2.1. Selve regnemaskineriet er det vanlige bestemte integralet fra Bestemt integral: et dobbeltintegral regnes ett vanlig integral av gangen. Ideen om areal mellom to kurver fra Areal mellom kurver er den direkte forløperen — et dobbeltintegral av integranden

1

er nettopp et areal, og teknikken for å finne skjæringspunkter er den samme.

Du trenger ingen ny integrasjonsteknikk her: alle indre og ytre integraler løses med substitusjon og standard antideriverte du kan fra før.

Et enkeltintegral $\int_a^b f(x)\,dx$ summerer en funksjon langs en linje og gir arealet under en kurve. Et dobbeltintegral $\iint_A f(x,y)\,dA$ summerer en funksjon over et helt flatestykke $A$ i planet og gir — når $f \ge 0$ — volumet under flaten $z = f(x,y)$ . Den store nyheten er ikke integrasjonen (den gjør vi som før, én variabel av gangen), men å beskrive området $A$ riktig: hvilke $x$ - og $y$ -verdier hører med, og hvordan grensene avhenger av hverandre.

Vi bygger teknikken i fire løkker: (1) dobbeltintegralet som iterert integral over et enkelt område, (2) å finne skjæringspunktene og føre kurveavgrensede områder som ulikheter, (3) å bytte integrasjonsrekkefølge (Fubini) når den ene veien er lettere, og (4) volum mellom flater. Hver løkke går teori → gjennomregnet eksempel → øvingsoppgaver.

Løkke 1 — Dobbeltintegralet som iterert integral (~14 min)

Dobbeltintegral

f(x,y)

Iterert integral

y

Type I-område (loddrette snitt)

x

Områdebeskrivelse med ulikheter

x

✏️Eksempel 1: Iterert integral over et trekantområde

Regn ut $\iint_A (2x+1)\,dA$ , der $A$ er trekanten $\{0 \le x \le 2,\ 0 \le y \le x\}$ .

Områdebeskrivelse (ulikheter først):

A = \{0 \le x \le 2,\ 0 \le y \le x\}

— type I, så vi integrerer

y

innerst.

$\iint_A (2x+1)\,dA = \int_0^2\!\int_0^x (2x+1)\,dy\,dx.$

Indre integral (hold $x$ fast; integranden er konstant i $y$ ):
$\int_0^x (2x+1)\,dy = (2x+1)\,[y]_0^x = (2x+1)x = 2x^2 + x.$

Ytre integral:
$\int_0^2 (2x^2 + x)\,dx = \left[\tfrac{2x^3}{3} + \tfrac{x^2}{2}\right]_0^2 = \tfrac{16}{3} + 2 = \tfrac{22}{3}.$

Konklusjon: $\iint_A (2x+1)\,dA = \dfrac{22}{3}$ (eksakt).

📝Oppgave 1

Regn ut $\displaystyle\iint_A (x+y)\,dA$ over rektangelet $A = \{0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 2\}$ .

📝Oppgave 2

Regn ut $\displaystyle\iint_A 6xy\,dA$ , der $A$ er trekanten $\{0 \le x \le 2,\ 0 \le y \le x\}$ .

Løkke 2 — Finn skjæringspunktene, før området som ulikheter (~16 min)

Skjæringspunkt mellom to kurver

y = u(x)

Kurveavgrenset område

y

Indre og ytre integral

De to leddene i et iterert integral. Det indre integralet integrerer over variabelen innerst, med den andre variabelen holdt fast, og har ofte grenser som er funksjoner. Det ytre integralet integrerer resultatet over den siste variabelen, alltid med tallgrenser. Regel: variabelen hvis grenser er funksjoner skal stå innerst; den med tallgrenser ytterst.

✏️Eksempel 2: Løs skjæringen først

La $A$ være området avgrenset av parabelen $y = x^2$ og linjen $y = x + 2$ . Regn ut $\iint_A y\,dA$ .

Skjæringspunkter (løs kurvene mot hverandre):

x^2 = x + 2 \;\Longrightarrow\; x^2 - x - 2 = 0 \;\Longrightarrow\; (x-2)(x+1) = 0 \;\Longrightarrow\; x = -1,\ x = 2.

Mellom disse er linjen øverst (test $x=0$ : $x+2 = 2 > 0 = x^2$ ), så områdebeskrivelsen er
$A = \{-1 \le x \le 2,\ x^2 \le y \le x+2\}.$

Indre integral over $y$ :
$\int_{x^2}^{x+2} y\,dy = \Big[\tfrac{y^2}{2}\Big]_{x^2}^{x+2} = \tfrac12\big((x+2)^2 - x^4\big).$

Ytre integral:
$\tfrac12\int_{-1}^{2}\big((x+2)^2 - x^4\big)\,dx = \tfrac12\left[\tfrac{(x+2)^3}{3} - \tfrac{x^5}{5}\right]_{-1}^{2}.$
I $x=2$ : $\tfrac{64}{3} - \tfrac{32}{5}$ . I $x=-1$ : $\tfrac{1}{3} - (-\tfrac{1}{5}) = \tfrac13 + \tfrac15$ . Differansen: $\tfrac{63}{3} - \tfrac{33}{5} = 21 - \tfrac{33}{5} = \tfrac{72}{5}$ . Ganget med $\tfrac12$ :
$\iint_A y\,dA = \tfrac12\cdot\tfrac{72}{5} = \tfrac{36}{5}.$

Konklusjon: $\iint_A y\,dA = \dfrac{36}{5}$ (eksakt).

📝Oppgave 3

Finn arealet av området $A$ avgrenset av $y = x^2$ og $y = x + 2$ ved å regne $\iint_A 1\,dA$ .

📝Oppgave 4

La $A$ være området i første kvadrant avgrenset av $y = x$ (øverst) og $y = x^2$ (nederst). Regn ut $\iint_A x\,dA$ .

Løkke 3 — Bytte integrasjonsrekkefølge (Fubini) (~13 min)

Type II-område (vannrette snitt)

y

📜Fubinis setning (bytte rekkefølge)

For en kontinuerlig integrand kan de to itererte integralene regnes i hvilken som helst rekkefølge med samme resultat:

$\iint_A f\,dA = \int_a^b\!\int_{u(x)}^{v(x)} f\,dy\,dx = \int_c^d\!\int_{p(y)}^{q(y)} f\,dx\,dy.$

Dette er verktøyet når den ene rekkefølgen gir et integral du ikke kan løse i lukket form (typisk $e^{y^2}$ , $\sin(y^2)$ ), mens den andre går fint. Merk: når du snur rekkefølgen, må du beskrive området på nytt og lese av de nye grensene — de gamle tallene kan ikke bare flyttes.

✏️Eksempel 3: Snu rekkefølgen for å kunne integrere

Regn ut $\displaystyle\int_0^1\!\int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx$ .

Integranden

e^{y^2}

har ingen elementær antiderivert i $y$ , så den oppgitte rekkefølgen stopper med én gang. Vi snur.

Les av området: grensene sier $0 \le x \le 1$ og $x \le y \le 1$ , altså trekanten under $y = 1$ og over $y = x$ . Beskrevet som type II (for hver $y$ løper $x$ fra $0$ til $y$ ):
$A = \{0 \le y \le 1,\ 0 \le x \le y\}.$

Snudd integral (nå er $e^{y^2}$ konstant i $x$ ):
$\int_0^1\!\int_0^y e^{y^2}\,dx\,dy = \int_0^1 e^{y^2}\,[x]_0^y\,dy = \int_0^1 y\,e^{y^2}\,dy.$

Substitusjon $u = y^2$ , $du = 2y\,dy$ (nye grenser $u: 0 \to 1$ ):
$\int_0^1 y\,e^{y^2}\,dy = \tfrac12\int_0^1 e^{u}\,du = \tfrac12(e - 1).$

Konklusjon: $\displaystyle\int_0^1\!\int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx = \dfrac{e-1}{2}$ .

📝Oppgave 5

Regn ut $\displaystyle\int_0^1\!\int_{3y}^{3} e^{x^2}\,dx\,dy$ ved å bytte integrasjonsrekkefølge.

Løkke 4 — Volum mellom flater (~12 min)

Volum som dobbeltintegral

z = g(x,y)

✏️Eksempel 4: Volum under en flate over et kurveavgrenset område

Finn volumet av kroppen som ligger under flaten $z = x$ , over $xy$ -planet, og innenfor området i første kvadrant avgrenset av parabelen $y = 4 - x^2$ og de to aksene.

Området $A$ : i første kvadrant (

x \ge 0,\ y \ge 0

) under parabelen. Parabelen treffer

x

-aksen der

4 - x^2 = 0 \Rightarrow x = 2

. Altså

A = \{0 \le x \le 2,\ 0 \le y \le 4 - x^2\}.

Volum (bunn $z=0$ , topp $z=x$ ):
$V = \iint_A x\,dA = \int_0^2\!\int_0^{4-x^2} x\,dy\,dx = \int_0^2 x\,(4 - x^2)\,dx.$

$= \int_0^2 (4x - x^3)\,dx = \Big[2x^2 - \tfrac{x^4}{4}\Big]_0^2 = 8 - 4 = 4.$

Konklusjon: volumet er $4$ (eksakt).

📝Oppgave 6

Finn volumet av kroppen under planet $z = x + 2y$ over rektangelet $A = \{0 \le x \le 2,\ 0 \le y \le 1\}$ .

Typiske feil

- Gjette grensene i stedet for å løse skjæringen. Sett alltid kurvene lik hverandre ( $x^2 = x+2$ ) og regn ut skjæringspunktene — de er integrasjonsgrensene. En gjettet grense er en byggefeil hos sensor.
- Ikke skrive områdebeskrivelsen som ulikheter før oppsett. $A = \{-1\le x\le 2,\ x^2\le y\le x+2\}$ skal stå før integralet. «Begrunn alle svar.»
- Feil rekkefølge som tvinger fram oppdeling. Variabelen med kurvegrenser skal innerst; velg den rekkefølgen som slipper å dele området i biter.
- Glemme å forenkle det indre integralet før det ytre — rot i mellomregningen forplanter seg.
- Blande $dx\,dy$ -rekkefølgen med grensene. Skriver du $dy\,dx$ , hører $y$ -grensene (kurvene) til det indre og $x$ -grensene (tallene) til det ytre.
- Desimaltilnærming. Behold $\tfrac{36}{5}$ , ikke $7{,}2$ .

Eksamensrettet oppgavepulje

Stigende vanskegrad. Løs alltid skjæringen først, skriv området som ulikheter, og oppgi eksakt svar — slik sensor krever på sjanger G.

📝Oppgave 7

Regn ut $\displaystyle\iint_A (2x + 3y)\,dA$ over rektangelet $A = \{0 \le x \le 1,\ 1 \le y \le 3\}$ .

📝Oppgave 8

La $A$ være trekanten med hjørner $(0,0)$ , $(1,0)$ og $(1,2)$ , beskrevet ved $\{0 \le x \le 1,\ 0 \le y \le 2x\}$ . Regn ut $\iint_A y\,dA$ .

📝Oppgave 9

La $A$ være området avgrenset av $y = x^2$ og $y = 2x$ . Regn ut $\iint_A (x + 1)\,dA$ .

📝Oppgave 10

La $A$ være området avgrenset av $x = y^2$ og $x = 2 - y^2$ . Finn arealet $\iint_A 1\,dA$ ved å beskrive $A$ som et type II-område.

📝Oppgave 11

Eksamensnivå, sjanger G

La $A$ være området i første kvadrant avgrenset av hyperbelen $xy = 2$ og linjen $x + y = 3$ . Regn ut $\iint_A y\,dA$ .

📝Oppgave 12

Eksamensnivå

Regn ut $\displaystyle\int_0^2\!\int_{y/2}^{1} \cos(x^2)\,dx\,dy$ ved å bytte integrasjonsrekkefølge, og gi svaret eksakt.

Begrepsbank

Kjernebegrepene fra kapitlet samlet som oppslag og flashcards.

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Arealelement

dA

dA = dx\,dy = dy\,dx

Areal som dobbeltintegral

A

Normalområde

Fellesnavnet på type I- og type II-områder: områder der den ene variabelen løper mellom to tall og den andre mellom to kurver. Alle de kurveavgrensede områdene i dette kapitlet er normalområder — og de fleste eksamensområder kan deles opp i endelig mange slike.

Integrasjonsområde

A

Projeksjon på en akse

x

Fortegn på dobbeltintegralet

f < 0

Additivitet over område

A = A_1 \cup A_2

Konstant integrand

f(x,y) = c

Grenser: tall vs. funksjoner

Den bærende føringsregelen: i et iterert integral har det indre integralet grenser som kan være funksjoner av den ytre variabelen, mens det ytre integralet alltid har tall som grenser. Ser du en funksjon i de ytre grensene, har du satt rekkefølgen feil.

Middelverdi over et område

f

Symmetri som snarvei

0

Repetisjon

Din fremgang

0 / 3 oppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.