Tilbake
5.2
Alle fag for Høyskole

5.2 Linjeintegral og Greens teorem

Linjeintegral av skalar- og vektorfelt, konservative felt, og Greens teorem for lukkede kurver i planet — fast delpunkt i alle regimer, ofte koblet til et alt utregnet dobbeltintegral.

55 min
12 oppgaver
LinjeintegralGreens teorem
Din fremgang i kapitlet
0 / 12 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper. Bygger på kap. 5.1 (parametrisering av kurver, r′(t)\mathbf r'(t)) og kap. 4.1 (dobbeltintegral over kurveavgrenset område — Green er et dobbeltintegral). Partiellderivasjon fra kap. 2.1 brukes til ∂Q/∂x\partial Q/\partial x og ∂P/∂y\partial P/\partial y.

Sist du var her (dobbeltintegral). Et område beskrives med eksplisitte ulikheter før oppsett, f.eks. A={0≤x≤1, x2≤y≤x}A=\{0\le x\le1,\ x^2\le y\le x\}, og indre integral regnes først. Formelsamlingen gir linjeintegral av skalar- og vektorfelt, integralet av en gradient, betingelsen for konservativt felt og Greens teorem.

Et linjeintegral summerer en størrelse langs en kurve — massen av en bøyd tråd (skalarfelt) eller arbeidet et kraftfelt gjør på en partikkel som følger kurven (vektorfelt). Ofte er kurven lukket, og da knytter Greens teorem linjeintegralet rundt randen til et dobbeltintegral over området innenfor. Det er ofte mye lettere å regne dobbeltintegralet — og enda bedre: det er gjerne alt regnet ut i en tidligere deloppgave.

Vi går i tre løkker: (1) linjeintegral av skalar- og vektorfelt, (2) konservative felt der integralet bare avhenger av endepunktene, (3) Greens teorem og areal via Green.

Løkke 1 — Linjeintegral av skalar- og vektorfelt (~18 min)

Linjeelement dsds og drd\mathbf r

Langs en parametrisert kurve r(t)\mathbf r(t), a≤t≤ba\le t\le b, er buelengdeelementet ds=∣r′(t)∣ dtds=|\mathbf r'(t)|\,dt (en positiv lengde), mens det vektorielle linjeelementet er dr=r′(t) dtd\mathbf r=\mathbf r'(t)\,dt (har retning). Det første brukes i skalarintegral, det andre i vektorintegral.

Linjeintegral av et skalarfelt
Integralet av en funksjon ff langs kurven CC — «massen» av en tråd med tetthet ff:
∫Cf ds=∫abf(r(t)) ∣r′(t)∣ dt.\int_C f\,ds=\int_a^b f(\mathbf r(t))\,|\mathbf r'(t)|\,dt.
Sett inn parametriseringen i ff, gang med farten, og integrer over tt. Verdien er uavhengig av retningen kurven gjennomløpes.
✏️Eksempel 1: Linjeintegral av et skalarfelt

Regn ∫Cxy ds\displaystyle\int_C xy\,ds der CC er kvartsirkelen r(t)=(3cos⁡t, 3sin⁡t)\mathbf r(t)=(3\cos t,\,3\sin t), 0≤t≤π20\le t\le\tfrac{\pi}{2}.

Fart: r′(t)=(−3sin⁡t, 3cos⁡t)\mathbf r'(t)=(-3\sin t,\,3\cos t), ∣r′(t)∣=9sin⁡2t+9cos⁡2t=3|\mathbf r'(t)|=\sqrt{9\sin^2t+9\cos^2t}=3.

Integrand langs kurven: xy=(3cos⁡t)(3sin⁡t)=9cos⁡tsin⁡txy=(3\cos t)(3\sin t)=9\cos t\sin t.

Sett opp og regn:
∫Cxy ds=∫0π/29cos⁡tsin⁡t⋅3 dt=27∫0π/2cos⁡tsin⁡t dt=27⋅[12sin⁡2t]0π/2=27⋅12=272.\int_C xy\,ds=\int_0^{\pi/2}9\cos t\sin t\cdot 3\,dt=27\int_0^{\pi/2}\cos t\sin t\,dt=27\cdot\Big[\tfrac12\sin^2t\Big]_0^{\pi/2}=27\cdot\tfrac12=\tfrac{27}{2}.
Svar: 272\dfrac{27}{2}.

📝Oppgave 1

(Innsteg — skalar linjeintegral over rett linje.) Regn ∫C(x+y) ds\displaystyle\int_C (x+y)\,ds der CC er linjestykket r(t)=(t, 2t)\mathbf r(t)=(t,\,2t), 0≤t≤10\le t\le1.

Linjeintegral av et vektorfelt (arbeid)
Integralet av et vektorfelt F\mathbf F langs CC — arbeidet feltet gjør langs kurven:
∫CF⋅dr=∫abF(r(t))⋅r′(t) dt.\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_a^b \mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt.
Her teller retningen: snur du gjennomløpsretningen, skifter integralet fortegn. I planet skrives det ofte ∫CP dx+Q dy\displaystyle\int_C P\,dx+Q\,dy med F=(P,Q)\mathbf F=(P,Q).
Notasjonen P dx+Q dyP\,dx+Q\,dy

For et plant felt F=(P,Q)\mathbf F=(P,Q) er F⋅dr=P dx+Q dy\mathbf F\cdot d\mathbf r=P\,dx+Q\,dy, fordi dr=(dx,dy)d\mathbf r=(dx,dy). Skrivemåten ∫CP dx+Q dy\displaystyle\int_C P\,dx+Q\,dy betyr altså nøyaktig linjeintegralet av vektorfeltet (P,Q)(P,Q) langs CC. Dette er formen Greens teorem uttrykkes i.

✏️Eksempel 2: Arbeid langs en parabelbue

Regn ∫CF⋅dr\displaystyle\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r der F=(y, 0)\mathbf F=(y,\,0) og CC er parabelbuen r(t)=(t, t2)\mathbf r(t)=(t,\,t^2), 0≤t≤10\le t\le1.

r′(t)=(1, 2t)\mathbf r'(t)=(1,\,2t) og F(r(t))=(y,0)=(t2, 0)\mathbf F(\mathbf r(t))=(y,0)=(t^2,\,0).

Prikkprodukt: F⋅r′=(t2)(1)+(0)(2t)=t2\mathbf F\cdot\mathbf r'=(t^2)(1)+(0)(2t)=t^2.

Integrer:
∫CF⋅dr=∫01t2 dt=13.\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int_0^1 t^2\,dt=\tfrac13.
Svar: 13\tfrac13. (Feltet er ikke konservativt — sjekk: ∂P/∂y=1≠0=∂Q/∂x\partial P/\partial y=1\ne0=\partial Q/\partial x — så her må vi parametrisere direkte.)

📝Oppgave 2

(Vektorlinjeintegral, direkte.) Regn ∫CF⋅dr\displaystyle\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r der F=(x, xy)\mathbf F=(x,\,xy) og CC er linjestykket fra (0,0)(0,0) til (2,1)(2,1), parametrisert ved r(t)=(2t, t)\mathbf r(t)=(2t,\,t), 0≤t≤10\le t\le1.

Løkke 2 — Konservative felt og potensial (~15 min)

Konservativt felt

Et vektorfelt F\mathbf F er konservativt dersom det er gradienten til en skalarfunksjon: F=∇φ\mathbf F=\nabla\varphi for en potensialfunksjon φ\varphi. For slike felt avhenger linjeintegralet bare av endepunktene, ikke av veien mellom dem.

📜Fundamentalteoremet for linjeintegral
Er F=∇φ\mathbf F=\nabla\varphi, så gjelder
∫CF⋅dr=φ(sluttpunkt)−φ(startpunkt).\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\varphi(\text{sluttpunkt})-\varphi(\text{startpunkt}).
Spesielt: langs en lukket kurve er ∮CF⋅dr=0\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=0. Dette er linjeintegralets versjon av analysens fundamentalteorem — potensialet spiller rollen som «antiderivert».
Nødvendig betingelse: ∂P/∂y=∂Q/∂x\partial P/\partial y=\partial Q/\partial x
For et C1C^1-felt F=(P,Q)\mathbf F=(P,Q) i planet er en nødvendig betingelse for at feltet er konservativt at de kryssede partiellderiverte er like:
∂P∂y=∂Q∂x(formelsamlingen).\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\quad(\text{formelsamlingen}).
På et enkeltsammenhengende område (uten hull) er betingelsen også tilstrekkelig. Sjekk den før du påstår at et lukket linjeintegral er null.
✏️Eksempel 3: Konservativt felt via potensial

Vis at F=(2xy+y, x2+x)\mathbf F=(2xy+y,\ x^2+x) er konservativt, finn en potensialfunksjon, og regn ∫CF⋅dr\displaystyle\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r fra (0,0)(0,0) til (1,2)(1,2) langs en vilkårlig vei.

Sjekk betingelsen: P=2xy+y⇒∂P/∂y=2x+1P=2xy+y\Rightarrow \partial P/\partial y=2x+1; Q=x2+x⇒∂Q/∂x=2x+1Q=x^2+x\Rightarrow\partial Q/\partial x=2x+1. Like, og planet er enkeltsammenhengende, så feltet er konservativt.

Finn potensial φ\varphi: Vi trenger φx=2xy+y\varphi_x=2xy+y. Integrer i xx: φ=x2y+xy+h(y)\varphi=x^2y+xy+h(y). Deriver i yy: φy=x2+x+h′(y)\varphi_y=x^2+x+h'(y), som skal være Q=x2+xQ=x^2+x, altså h′(y)=0h'(y)=0, h=h= konstant. Ta φ=x2y+xy\varphi=x^2y+xy.

Bruk fundamentalteoremet:
∫CF⋅dr=φ(1,2)−φ(0,0)=(1⋅2+1⋅2)−0=4.\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\varphi(1,2)-\varphi(0,0)=(1\cdot2+1\cdot2)-0=4.
Svar: 44 — uavhengig av veien fordi feltet er konservativt.

📝Oppgave 3

(Ren gjengivelse.) Avgjør om feltet F=(3x2y, x3)\mathbf F=(3x^2y,\ x^3) er konservativt ved å sjekke betingelsen ∂P/∂y=∂Q/∂x\partial P/\partial y=\partial Q/\partial x.

📝Oppgave 4

(Konservativt felt langs lukket kurve.) La F=(2x+y, x−2y)\mathbf F=(2x+y,\ x-2y). a) Vis at feltet er konservativt. b) Hva er ∮CF⋅dr\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r rundt en vilkårlig lukket kurve CC?

Løkke 3 — Greens teorem og areal (~20 min)

Positiv orientering av randkurven

En lukket kurve som avgrenser et område er positivt orientert når den gjennomløpes mot klokka — slik at området ligger på venstre hånd. Greens teorem forutsetter denne orienteringen; gjennomløper du randen med klokka, får linjeintegralet motsatt fortegn.

📜Greens teorem
For et område AA i planet med positivt orientert (mot klokka), stykkevis glatt randkurve CC, og et C1C^1-felt (P,Q)(P,Q):
∮CP dx+Q dy=∬A(∂Q∂x−∂P∂y)dA.\oint_C P\,dx+Q\,dy=\iint_A\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA.
Rekkefølgen er ∂Q/∂x\partial Q/\partial x minus ∂P/∂y\partial P/\partial y — bytt dem ikke om. Teoremet gjør et linjeintegral rundt randen om til et dobbeltintegral over det innelukkede området (og omvendt).
✏️Eksempel 4: Greens teorem

La CC være randkurven til området AA mellom y=x2y=x^2 og y=xy=x (for 0≤x≤10\le x\le1), orientert mot klokka. Regn ∮Cxy dx+x2 dy\displaystyle\oint_C xy\,dx+x^2\,dy med Greens teorem.

Identifiser: P=xyP=xy, Q=x2Q=x^2.

Integrand: ∂Q∂x−∂P∂y=2x−x=x.\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=2x-x=x.

Områdebeskrivelse (ulikheter først): For 0≤x≤10\le x\le1 er x2≤xx^2\le x, så A={0≤x≤1, x2≤y≤x}A=\{0\le x\le1,\ x^2\le y\le x\}.

Dobbeltintegral:
∮Cxy dx+x2 dy=∬Ax dA=∫01 ⁣ ⁣∫x2xx dy dx=∫01x(x−x2) dx=∫01(x2−x3) dx=13−14=112.\oint_C xy\,dx+x^2\,dy=\iint_A x\,dA=\int_0^1\!\!\int_{x^2}^{x} x\,dy\,dx=\int_0^1 x(x-x^2)\,dx=\int_0^1(x^2-x^3)\,dx=\tfrac13-\tfrac14=\tfrac{1}{12}.
Svar: 112\dfrac{1}{12}.

📝Oppgave 5

(Green over rektangel.) Regn ∮Cy2 dx+xy dy\displaystyle\oint_C y^2\,dx+xy\,dy der CC er randen (mot klokka) av rektangelet 0≤x≤10\le x\le1, 0≤y≤20\le y\le2.

Areal via Green
Velger vi felt slik at ∂Q/∂x−∂P/∂y=1\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y=1, gir Greens teorem arealet av området som et linjeintegral:
A=∬A1 dA=∮Cx dy=−∮Cy dx=12∮C(x dy−y dx).A=\iint_A 1\,dA=\oint_C x\,dy=-\oint_C y\,dx=\tfrac12\oint_C(x\,dy-y\,dx).
Nyttig når randen er lett å parametrisere (f.eks. en ellipse) mens området er tungvint å integrere direkte.
✏️Eksempel 5: Arealet av en ellipse via Green

Bruk areal-formelen A=12∮C(x dy−y dx)A=\tfrac12\oint_C(x\,dy-y\,dx) til å finne arealet innenfor ellipsen x24+y29=1\tfrac{x^2}{4}+\tfrac{y^2}{9}=1.

Parametriser randen mot klokka: r(t)=(2cos⁡t, 3sin⁡t)\mathbf r(t)=(2\cos t,\,3\sin t), 0≤t≤2π0\le t\le2\pi, så dx=−2sin⁡t dtdx=-2\sin t\,dt, dy=3cos⁡t dtdy=3\cos t\,dt.

x dy−y dx=(2cos⁡t)(3cos⁡t) dt−(3sin⁡t)(−2sin⁡t) dt=(6cos⁡2t+6sin⁡2t) dt=6 dt.x\,dy-y\,dx=(2\cos t)(3\cos t)\,dt-(3\sin t)(-2\sin t)\,dt=(6\cos^2t+6\sin^2t)\,dt=6\,dt.
A=12∫02π6 dt=12⋅12π=6π.A=\tfrac12\int_0^{2\pi}6\,dt=\tfrac12\cdot12\pi=6\pi.
Svar: 6π6\pi — som stemmer med πab=π⋅2⋅3=6π\pi ab=\pi\cdot2\cdot3=6\pi for en ellipse med halvakser 22 og 33.

📝Oppgave 6

(Areal via Green.) Bruk A=∮Cx dyA=\oint_C x\,dy (mot klokka) til å finne arealet innenfor sirkelen x2+y2=a2x^2+y^2=a^2.

Blandede eksamensoppgaver

📝Oppgave 7

(Gjengivelse.) Skriv opp Greens teorem, og forklar med én setning hva orienteringen «mot klokka» sikrer.

📝Oppgave 8

(Green — eksamensklone.) La CC være randkurven (mot klokka) til området AA mellom y=x2y=x^2 og y=xy=x for 0≤x≤10\le x\le1. Regn ∮C(x3+y2) dx−xy dy\displaystyle\oint_C (x^3+y^2)\,dx-xy\,dy.

📝Oppgave 9

(Green under en parabel — delpunkt-kjeding.) La AA være området {0≤x≤1, 0≤y≤1−x2}\{0\le x\le1,\ 0\le y\le1-x^2\} med rand CC mot klokka. a) Regn ∬A(1−x) dA\displaystyle\iint_A(1-x)\,dA. b) Bruk (a) til å finne ∮Cxy dx+(x−y) dy\displaystyle\oint_C xy\,dx+(x-y)\,dy.

Begrepsbank til eksamen

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — det gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Vektorfelt i planet

Et vektorfelt F=(P(x,y), Q(x,y))\mathbf F=(P(x,y),\,Q(x,y)) knytter en vektor til hvert punkt — f.eks. et kraft- eller strømningsfelt. Linjeintegralet ∫CF⋅dr\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r måler komponenten av F\mathbf F langs kurven, summert opp.

Sirkulasjon
Sirkulasjonen til F\mathbf F langs en lukket kurve er ∮CF⋅dr\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r — netto «medstrøm» rundt kurven. Ved Green er den lik ∬A(∂Q/∂x−∂P/∂y) dA\iint_A(\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y)\,dA. For konservative felt er sirkulasjonen null.
Potensialfunksjon

En skalarfunksjon φ\varphi med ∇φ=F\nabla\varphi=\mathbf F. Finnes den, er feltet konservativt og ∫CF⋅dr=φ(slutt)−φ(start)\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r=\varphi(\text{slutt})-\varphi(\text{start}). Den finnes ved å integrere φx=P\varphi_x=P i xx og bestemme den ukjente yy-funksjonen via φy=Q\varphi_y=Q.

Lukket og stykkevis glatt kurve

En lukket kurve har sammenfallende start- og sluttpunkt. En stykkevis glatt kurve er satt sammen av endelig mange glatte biter (f.eks. sidene i et rektangel). Greens teorem gjelder for lukkede, stykkevis glatte randkurver.

Enkeltsammenhengende område

Et område er enkeltsammenhengende hvis det ikke har hull — enhver lukket kurve i det kan trekkes sammen til et punkt. På slike områder er ∂P/∂y=∂Q/∂x\partial P/\partial y=\partial Q/\partial x tilstrekkelig for at feltet er konservativt; med hull kan betingelsen holde uten at feltet er konservativt.

Greens teorem på normalform (kjennskap)

Ved siden av sirkulasjonsformen finnes en fluksform: ∮CF⋅n ds=∬A(∂P/∂x+∂Q/∂y) dA\oint_C\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds=\iint_A\big(\partial P/\partial x+\partial Q/\partial y\big)\,dA, der n\mathbf n er den utadrettede normalen til randkurven. Dette er 2D-varianten av divergensteoremet (kap. 5.4).

Skalarfelt

Et skalarfelt f(x,y)f(x,y) (eller f(x,y,z)f(x,y,z)) knytter et tall til hvert punkt — f.eks. tetthet eller temperatur. Linjeintegralet ∫Cf ds\int_C f\,ds summerer ff vektet med buelengde langs kurven, og er uavhengig av gjennomløpsretningen.

Arbeid

Fysisk tolkning av vektorlinjeintegralet: ∫CF⋅dr\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r er arbeidet kraftfeltet F\mathbf F gjør på en partikkel som beveger seg langs CC. Bare komponenten av F\mathbf F langs kurven bidrar; en kraft vinkelrett på bevegelsen gjør ikke arbeid.

Veiuavhengighet

For et konservativt felt er ∫CF⋅dr\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r veiuavhengig — den avhenger bare av start- og sluttpunkt, ikke av hvilken kurve mellom dem. Dette er ekvivalent med at feltet har et potensial og at sirkulasjonen rundt enhver lukket kurve er null.

Felt med hull (advarsel)

Virvelfeltet F=(−yx2+y2,xx2+y2)\mathbf F=\big(\tfrac{-y}{x^2+y^2},\tfrac{x}{x^2+y^2}\big) oppfyller ∂P/∂y=∂Q/∂x\partial P/\partial y=\partial Q/\partial x overalt unntatt origo, men er ikke konservativt: ∮\oint rundt en sirkel om origo er 2π2\pi, ikke 00. Betingelsen er bare tilstrekkelig når området er enkeltsammenhengende (uten hull).

Reduksjon til dobbeltintegral (delpunkt-kjeding)

Greens hovednytte på eksamen: et lukket linjeintegral gjøres om til et dobbeltintegral ∬A(∂Q/∂x−∂P/∂y) dA\iint_A(\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y)\,dA — som ofte er nettopp integralet fra en tidligere deloppgave. Gjenkjenn koblingen og gjenbruk svaret i stedet for å regne på nytt.

Orientering av en flerdelt rand

Har området hull, orienteres den ytre randen mot klokka og de indre randkurvene (rundt hullene) med klokka — alltid slik at området ligger på venstre hånd. Da gjelder Green med området mellom kurvene.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 3 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.