Tilbake
5.3
Alle fag for Høyskole

5.3 Flateintegral: skalar ∫f dS og fluks ∫F·n dS

Flateareal og fluks gjennom en flate med ϕ_u × ϕ_v — inkludert den geometriske snarveien for plane flater og fortegnskontrollen fasiten gjør hver gang.

60 min
12 oppgaver
Flateintegralskalar ∫f dSfluks ∫F·n dS
Din fremgang i kapitlet
0 / 12 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper. Bygger direkte på kap. 5.1 — parametrisering av flater, det fundamentale vektorproduktet ϕu×ϕv\boldsymbol{\phi}_u\times\boldsymbol{\phi}_v, flateelement og fortegnsvalg på normalen. Dobbeltintegral i polarkoordinater fra kap. 4.1 brukes til å regne ut integralet til slutt.

Sist du var her (fra 5.1). For en graf z=g(x,y)z=g(x,y): ϕx×ϕy=(−gx,−gy,1)\boldsymbol{\phi}_x\times\boldsymbol{\phi}_y=(-g_x,-g_y,1) og dS=1+gx2+gy2 dx dydS=\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,dx\,dy; for en plan disk z=cz=c: ϕr×ϕθ=(0,0,r)\boldsymbol{\phi}_r\times\boldsymbol{\phi}_\theta=(0,0,r), normal k\mathbf k. Formelsamlingen gir flateintegral generelt og for z=g(x,y)z=g(x,y).

To spørsmål driver dette kapitlet. Det første er skalart: hvor stor er en krum flate, eller hvor mye masse ligger på den? Det svarer det skalare flateintegralet på. Det andre er retningsbestemt: hvor mye av et strømningsfelt passerer gjennom flaten, og hvilken vei? Det er fluksen — hjørnesteinen i hele det nye eksamensregimet.

Begge bygger på det fundamentale vektorproduktet fra 5.1: dets lengde gir flateelementet i skalarintegral, dets retning gir fluksretningen i vektorintegral. Vi går i to løkker: (1) skalart flateintegral og flateareal, (2) fluks med fortegnskontroll og den geometriske snarveien.

Løkke 1 — Skalart flateintegral og flateareal (~22 min)

Skalart flateintegral
Integralet av en funksjon ff over en flate SS parametrisert av ϕ(u,v)\boldsymbol{\phi}(u,v), (u,v)∈R(u,v)\in R:
∫Sf dS=∬Rf(ϕ(u,v)) ∣ϕu×ϕv∣ du dv.\int_S f\,dS=\iint_R f(\boldsymbol{\phi}(u,v))\,|\boldsymbol{\phi}_u\times\boldsymbol{\phi}_v|\,du\,dv.
Sett inn parametriseringen i ff, gang med lengden av det fundamentale vektorproduktet, og integrer over parameterområdet. Med f=1f=1 får vi flatens areal. Absoluttverdien er med fordi retningen er irrelevant her.
Flateareal
Arealet av en parametrisert flate er det skalare flateintegralet av 11:
Areal(S)=∫S1 dS=∬R∣ϕu×ϕv∣ du dv.\text{Areal}(S)=\int_S 1\,dS=\iint_R |\boldsymbol{\phi}_u\times\boldsymbol{\phi}_v|\,du\,dv.
For en graf z=g(x,y)z=g(x,y) over et område DD: Areal=∬D1+gx2+gy2 dx dy\text{Areal}=\displaystyle\iint_D\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,dx\,dy.
✏️Eksempel 1: Areal av en paraboloide-hette

Finn arealet av flaten z=x2+y2z=x^2+y^2 over disken x2+y2≤1x^2+y^2\le1.

Graf-flateelement: med g=x2+y2g=x^2+y^2 er gx=2xg_x=2x, gy=2yg_y=2y, så
dS=1+gx2+gy2 dx dy=1+4x2+4y2 dx dy.dS=\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,dx\,dy=\sqrt{1+4x^2+4y^2}\,dx\,dy.

Gå til polar (området er en disk): x2+y2=r2x^2+y^2=r^2, dx dy=r dr dθdx\,dy=r\,dr\,d\theta, med 0≤r≤10\le r\le1, 0≤θ≤2π0\le\theta\le2\pi:
Areal=∫02π ⁣ ⁣∫011+4r2  r dr dθ.\text{Areal}=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1\sqrt{1+4r^2}\;r\,dr\,d\theta.

Substitusjon u=1+4r2u=1+4r^2, du=8r drdu=8r\,dr, så r dr=18 dur\,dr=\tfrac18\,du; grenser r=0→u=1r=0\to u=1, r=1→u=5r=1\to u=5:
∫011+4r2 r dr=18∫15u du=18⋅23[u3/2]15=112(53/2−1)=112(55−1).\int_0^1\sqrt{1+4r^2}\,r\,dr=\tfrac18\int_1^5\sqrt u\,du=\tfrac18\cdot\tfrac23\big[u^{3/2}\big]_1^5=\tfrac{1}{12}\big(5^{3/2}-1\big)=\tfrac{1}{12}(5\sqrt5-1).

Multipliser med θ\theta-integralet (2π2\pi):
Areal=2π⋅112(55−1)=π6 (55−1).\text{Areal}=2\pi\cdot\tfrac{1}{12}(5\sqrt5-1)=\frac{\pi}{6}\,(5\sqrt5-1).
Svar (eksakt): π6(55−1)\dfrac{\pi}{6}(5\sqrt5-1).

📝Oppgave 1

(Innsteg — flateelement.) Skriv opp det skalare flateintegralet ∫Sf dS\int_S f\,dS for en flate parametrisert av ϕ(u,v)\boldsymbol{\phi}(u,v), og forklar hvorfor absoluttverdien er med.

📝Oppgave 2

(Areal av kjegleflate.) Finn arealet av kjeglen z=x2+y2z=\sqrt{x^2+y^2} for 0≤z≤20\le z\le2. (Bruk parametriseringen ϕ(r,θ)=(rcos⁡θ,rsin⁡θ,r)\boldsymbol{\phi}(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta,r) med dS=2 r dr dθdS=\sqrt2\,r\,dr\,d\theta fra kap. 5.1.)

📝Oppgave 3

(Masse på en sylinderflate.) En sylinderflate x2+y2=1x^2+y^2=1, 0≤z≤30\le z\le3, har flatetetthet f=y2f=y^2. Finn den totale massen ∫Sy2 dS\int_S y^2\,dS. (Bruk dS=dθ dzdS=d\theta\,dz fra sylinderparametriseringen med radius 11.)

Løkke 2 — Fluks med fortegnskontroll og den geometriske snarveien (~28 min)

Fluks gjennom en flate
Fluksen av et vektorfelt F\mathbf F gjennom en orientert flate SS med enhetsnormal n\mathbf n måler hvor mye av feltet som passerer gjennom flaten i normalretningen:
∫SF⋅n dS=∬RF(ϕ)⋅(ϕu×ϕv) du dv.\int_S \mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=\iint_R \mathbf F(\boldsymbol{\phi})\cdot(\boldsymbol{\phi}_u\times\boldsymbol{\phi}_v)\,du\,dv.
Merk: her står det fundamentale vektorproduktet uten absoluttverdi — fortegnet (retningen) er hele poenget. Enhetsnormalen og ∣ϕu×ϕv∣|\boldsymbol{\phi}_u\times\boldsymbol{\phi}_v|-faktorene forkortes.
Fortegnskontrollen (sensorkrav)

Før du regner fluks: sjekk at ϕu×ϕv\boldsymbol{\phi}_u\times\boldsymbol{\phi}_v peker samme vei som den oppgitte normalen n\mathbf n (utadrettet, oppadrettet …). Peker den motsatt, bytt fortegn på integralet. Gjør denne kontrollen synlig i besvarelsen — en glemt fortegnskorreksjon gir feil svar, og forplanter seg videre til divergensteoremet i kap. 5.4.

Den geometriske snarveien for plane flater
Er flaten plan med konstant normal n\mathbf n, og F⋅n\mathbf F\cdot\mathbf n er konstant på flaten, så er fluksen bare konstanten ganger arealet:
∫SF⋅n dS=(F⋅n)⋅Areal(S).\int_S \mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=(\mathbf F\cdot\mathbf n)\cdot\text{Areal}(S).
Eksempel: gjennom disken z=2z=2 med oppadrettet normal n=k\mathbf n=\mathbf k er F⋅n=F3\mathbf F\cdot\mathbf n=F_3; er F3F_3 konstant på disken, blir fluksen F3⋅arealF_3\cdot\text{areal}. Sensor honorerer denne snarveien — men du bør kunne den fulle parametriseringen òg.
✏️Eksempel 2: Fluks gjennom en plan disk — to metoder

Regn fluksen av F=(x, y, 3z)\mathbf F=(x,\,y,\,3z) ut gjennom disken z=1z=1, x2+y2≤9x^2+y^2\le9, med oppadrettet normal. Vis både den geometriske snarveien og full parametrisering.

Metode 1 — geometrisk snarvei. Disken er plan med konstant oppadrettet normal n=k=(0,0,1)\mathbf n=\mathbf k=(0,0,1). På disken er z=1z=1, så
F⋅n=F3=3z=3⋅1=3(konstant).\mathbf F\cdot\mathbf n=F_3=3z=3\cdot1=3\quad(\text{konstant}).
Arealet av disken er π⋅32=9π\pi\cdot3^2=9\pi. Dermed
∫SF⋅n dS=3⋅9π=27π.\int_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=3\cdot9\pi=27\pi.

Metode 2 — full parametrisering. ϕ(r,θ)=(rcos⁡θ, rsin⁡θ, 1)\boldsymbol{\phi}(r,\theta)=(r\cos\theta,\,r\sin\theta,\,1), 0≤r≤30\le r\le3, 0≤θ≤2π0\le\theta\le2\pi. Da ϕr×ϕθ=(0,0,r)\boldsymbol{\phi}_r\times\boldsymbol{\phi}_\theta=(0,0,r) — fortegnskontroll: zz-komponent r≥0r\ge0, peker oppover, som oppgitt. Ingen fortegnsbytte.
F(ϕ)⋅(ϕr×ϕθ)=(rcos⁡θ, rsin⁡θ, 3)⋅(0,0,r)=3r.\mathbf F(\boldsymbol{\phi})\cdot(\boldsymbol{\phi}_r\times\boldsymbol{\phi}_\theta)=(r\cos\theta,\,r\sin\theta,\,3)\cdot(0,0,r)=3r.
∫SF⋅n dS=∫02π ⁣ ⁣∫033r dr dθ=2π⋅[3r22]03=2π⋅272=27π.\int_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^3 3r\,dr\,d\theta=2\pi\cdot\Big[\tfrac{3r^2}{2}\Big]_0^3=2\pi\cdot\tfrac{27}{2}=27\pi.

Begge gir 27π27\pi.

📝Oppgave 4

(Snarvei.) Regn fluksen av F=(x,y,z)\mathbf F=(x,y,z) ut gjennom disken z=2z=2, x2+y2≤4x^2+y^2\le4, med oppadrettet normal — bruk den geometriske snarveien.

📝Oppgave 5

(Fluks gjennom sylinderflate.) Regn fluksen av F=(x,y,z)\mathbf F=(x,y,z) ut gjennom sideflaten av sylinderen x2+y2=1x^2+y^2=1, 0≤z≤20\le z\le2, med utadrettet normal.

📝Oppgave 6

(Fluks gjennom graf-flate — fortegnskontroll.) Regn fluksen av F=(x,y,z)\mathbf F=(x,y,z) gjennom paraboloiden z=x2+y2z=x^2+y^2, 0≤z≤10\le z\le1, med oppadrettet normal (positiv zz-komponent).

Blandede eksamensoppgaver

📝Oppgave 7

(Gjengivelse.) Skriv opp fluksintegralet ∫SF⋅n dS\int_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS ved en parametrisering, og forklar hvorfor det fundamentale vektorproduktet står uten absoluttverdi her.

📝Oppgave 8

(Areal av en graf — eksamensklone.) Finn arealet av flaten z=9−x2−y2z=9-x^2-y^2 over disken x2+y2≤4x^2+y^2\le4. La svaret stå med et integral du forenkler så langt som mulig eksakt.

📝Oppgave 9

(Fluks gjennom halvkule — kulekoordinater.) Regn fluksen av F=(0,0,z)\mathbf F=(0,0,z) ut gjennom øvre halvkuleflate x2+y2+z2=4x^2+y^2+z^2=4, z≥0z\ge0, med utadrettet normal.

Begrepsbank til eksamen

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — det gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Orientert flate og fluksretning

Fluks krever en orientert flate: et fast valg av hvilken vei n\mathbf n peker. Positiv fluks betyr netto strøm i normalretningen; snur du normalen, snur fluksen fortegn. Oppgaven sier alltid retningen («utadrettet», «oppadrettet»).

Fluks gjennom en graf-flate

For z=g(x,y)z=g(x,y) med oppadrettet normal: ∫SF⋅n dS=∬DF(x,y,g)⋅(−gx,−gy,1) dx dy\int_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=\iint_D\mathbf F(x,y,g)\cdot(-g_x,-g_y,1)\,dx\,dy. Husk å sette z=gz=g inn i F\mathbf F, og korriger fortegnet hvis nedadrettet normal er oppgitt.

Utadrettet normal

Normalen som peker bort fra det innelukkede volumet. På en origosentrert kule er den radiell (x/∣x∣\mathbf x/|\mathbf x|); på en sylinder radiell i xyxy-planet; på et topplokk oppover, på et bunnlokk nedover. Divergensteoremet (kap. 5.4) krever utadrettet normal overalt.

Masse og tetthet på en flate

Ligger en flatetetthet ff (masse per areal) på SS, er total masse ∫Sf dS\int_S f\,dS. Med f=1f=1 får vi arealet; med ff = massetetthet får vi massen; tyngdepunkt fås ved å vekte koordinatene.

Å snu orienteringen

Bytter du orientering på flaten (velger motsatt normal), skifter fluksen fortegn: ∫−SF⋅n dS=−∫SF⋅n dS\int_{-S}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=-\int_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS. Det skalare flateintegralet er derimot uendret — det avhenger ikke av orientering.

Sammensatt flate

En lukket flate (f.eks. randen av et solid) settes ofte sammen av flere biter — et topplokk, en bunn og en krum sideflate. Total fluks er summen av fluksen gjennom hver bit, hver med utadrettet normal. Dette er inngangen til divergensteoremet i kap. 5.4.

Flateelement for graf z=gz=g

For skalarintegral over en graf: dS=1+gx2+gy2 dx dydS=\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}\,dx\,dy. For fluks brukes i stedet vektoren (−gx,−gy,1) dx dy(-g_x,-g_y,1)\,dx\,dy (oppadrettet). De henger sammen: vektorens lengde er nettopp 1+gx2+gy2\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}.

Plan flate: konstant normal

En plan flate har konstant enhetsnormal overalt. Er i tillegg F⋅n\mathbf F\cdot\mathbf n konstant på flaten, gir det den geometriske snarveien: fluks =(F⋅n)⋅areal=(\mathbf F\cdot\mathbf n)\cdot\text{areal}. Sjekk alltid om en flate er plan før du parametriserer fullt.

Fysisk tolkning av fluks

Tenk på F\mathbf F som strømningshastigheten til en væske. Da er ∫SF⋅n dS\int_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS netto volum som passerer gjennom flaten per tidsenhet, i normalretningen. Positiv fluks = netto ut; negativ = netto inn (for utadrettet n\mathbf n).

Hvorfor n dS=ϕu×ϕv du dv\mathbf n\,dS=\boldsymbol{\phi}_u\times\boldsymbol{\phi}_v\,du\,dv

Enhetsnormalen er n=ϕu×ϕv∣ϕu×ϕv∣\mathbf n=\dfrac{\boldsymbol{\phi}_u\times\boldsymbol{\phi}_v}{|\boldsymbol{\phi}_u\times\boldsymbol{\phi}_v|} og dS=∣ϕu×ϕv∣ du dvdS=|\boldsymbol{\phi}_u\times\boldsymbol{\phi}_v|\,du\,dv. Ganger vi sammen, forkortes lengden bort: n dS=±(ϕu×ϕv) du dv\mathbf n\,dS=\pm(\boldsymbol{\phi}_u\times\boldsymbol{\phi}_v)\,du\,dv. Det er grunnen til at fluks bruker vektoren direkte, uten absoluttverdi.

Topplokk og bunn

På et vannrett topplokk peker utadrettet normal oppover (n=k\mathbf n=\mathbf k); på en vannrett bunn peker den nedover (n=−k\mathbf n=-\mathbf k). Vær nøye med fortegnet: en bunnflate med utadrettet normal gir F⋅n=−F3\mathbf F\cdot\mathbf n=-F_3.

Skalarintegral kontra fluks

To ulike integraler over samme flate: det skalare ∫Sf dS\int_S f\,dS (positiv lengde ∣ϕu×ϕv∣|\boldsymbol{\phi}_u\times\boldsymbol{\phi}_v|, ingen orientering) og fluksen ∫SF⋅n dS\int_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS (vektor ϕu×ϕv\boldsymbol{\phi}_u\times\boldsymbol{\phi}_v, orientert). Blanding av de to (absoluttverdi i fluks) er en klassisk feil.

Valg av parametrisering

Velg parametriseringen etter flatens symmetri: graf (x,y)(x,y) for flater gitt som z=gz=g, polar/sylinder for rotasjonssymmetri om zz-aksen, kulekoordinater for kuleflater. Riktig valg gir enkle grenser og et ryddig fundamentalt vektorprodukt.

Arealfaktoren 1+gx2+gy2\sqrt{1+g_x^2+g_y^2}

For en graf-flate strekker faktoren 1+gx2+gy2\sqrt{1+g_x^2+g_y^2} det flate arealet dx dydx\,dy opp til det virkelige, skrå flatearealet dSdS. Der flaten er bratt (store gx,gyg_x,g_y), er faktoren stor; der flaten er vannrett (gx=gy=0g_x=g_y=0), er den 11.

Radiell normal på kule og sylinder

På en origosentrert kule og på en sylinder om zz-aksen peker det fundamentale vektorproduktet radielt — samme retning som posisjonsvektorens projeksjon. Det er nettopp den utadrettede normalen, så på disse flatene slipper du som regel fortegnsbytte når «utadrettet» er oppgitt.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 3 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.