Tilbake
5.4
Alle fag for Høyskole

5.4 Gauss' divergensteorem (3D fluks)

∭ div F dV = ∯ F·n dS — regimeskiftets signaturoppgave: finn fluks gjennom en krum delflate ved å trekke den plane delen fra volumintegralet.

55 min
11 oppgaver
Gauss' divergensteorem (3D fluks)
Din fremgang i kapitlet
0 / 11 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper. Bygger på fluks og fortegnskontroll fra kap. 5.3 og trippelintegral i sylinder-/kulekoordinater fra kap. 4.3 (divergensteoremet gjør fluks om til et trippelintegral). Partiellderivasjon fra kap. 2.1 til div⁡F\operatorname{div}\mathbf F.

Sist du var her. Fluks: ∫SF⋅n dS=∬RF(ϕ)⋅(ϕu×ϕv) du dv\int_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=\iint_R\mathbf F(\boldsymbol{\phi})\cdot(\boldsymbol{\phi}_u\times\boldsymbol{\phi}_v)\,du\,dv, med geometrisk snarvei for plane flater. Trippelintegral: volumelement dV=r dz dr dθdV=r\,dz\,dr\,d\theta (sylinder) / dV=ρ2sin⁡φ dρ dφ dθdV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta (kule); løs skjæringen og beskriv området med ulikheter først.

Å regne fluks gjennom en krum flate direkte er ofte tungt. Gauss' divergensteorem gir en snarvei: for en lukket flate som omslutter et volum VV, er den totale utadrettede fluksen lik trippelintegralet av divergensen over VV. Divergensen div⁡F\operatorname{div}\mathbf F måler hvor mye feltet «sprer seg» (kilder minus sluk) i hvert punkt — summerer vi det over hele volumet, får vi netto utstrømning gjennom randen.

Det virkelig kraftige grepet — og eksamensregimets kjerne — er å bruke dette baklengs: vil du ha fluks gjennom en vanskelig krum delflate, regner du trippelintegralet (lett) og den enkle plane fluksen (snarvei), og trekker fra. Vi går i to løkker: (1) divergens og selve teoremet, (2) krum-delflate-teknikken med delpunkt-kjeding.

Løkke 1 — Divergens og divergensteoremet (~22 min)

Divergens
Divergensen til et vektorfelt F=(F1,F2,F3)\mathbf F=(F_1,F_2,F_3) er skalaren
div⁡F=∂F1∂x+∂F2∂y+∂F3∂z.\operatorname{div}\mathbf F=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.
Den måler feltets lokale «utspredning»: positiv divergens = kilde (feltet strømmer ut), negativ = sluk (feltet strømmer inn). For F=(x,y,z)\mathbf F=(x,y,z) er div⁡F=1+1+1=3\operatorname{div}\mathbf F=1+1+1=3.
📜Gauss' divergensteorem
La VV være et solid med lukket, stykkevis glatt rand ∂V\partial V og utadrettet enhetsnormal n\mathbf n. For et C1C^1-felt F\mathbf F:
∭Vdiv⁡F dV=∯∂VF⋅n dS.\iiint_V \operatorname{div}\mathbf F\,dV=\oiint_{\partial V}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS.
Teoremet knytter trippelintegralet av divergensen til den totale utadrettede fluksen gjennom hele randen. Alle normaler på ∂V\partial V må peke ut av VV. (Formelsamlingens V2022-utgave inneholder ikke dette — kunn det utenat.)
✏️Eksempel 1: Total fluks ut av en ball

Regn den totale fluksen av F=(x, y, z)\mathbf F=(x,\,y,\,z) ut gjennom kuleflaten x2+y2+z2=1x^2+y^2+z^2=1 (utadrettet), ved hjelp av divergensteoremet.

Divergens: div⁡F=∂xx+∂yy+∂zz=1+1+1=3\operatorname{div}\mathbf F=\partial_x x+\partial_y y+\partial_z z=1+1+1=3 (konstant).

Ifølge divergensteoremet er fluksen ut av kuleflaten lik trippelintegralet av divergensen over kula VV:
∯∂VF⋅n dS=∭V3 dV=3⋅Vol(V).\oiint_{\partial V}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=\iiint_V 3\,dV=3\cdot\text{Vol}(V).

Volumet av enhetskula er 43π⋅13=43π\tfrac43\pi\cdot1^3=\tfrac43\pi, så
∯∂VF⋅n dS=3⋅43π=4π.\oiint_{\partial V}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=3\cdot\tfrac43\pi=4\pi.
Svar: 4π4\pi. (Å regne fluksen direkte over kuleflaten gir det samme, men er mer arbeid — teoremet er snarveien.)

📝Oppgave 1

(Innsteg — divergens.) Regn div⁡F\operatorname{div}\mathbf F for a) F=(2x, 3y, z)\mathbf F=(2x,\,3y,\,z) og b) F=(y, z, x)\mathbf F=(y,\,z,\,x).

📝Oppgave 2

(Total fluks via Gauss.) Regn den totale fluksen av F=(x,y,z)\mathbf F=(x,y,z) ut gjennom randen av sylinderen V: x2+y2≤4V:\ x^2+y^2\le4, 0≤z≤50\le z\le5.

📝Oppgave 3

(Ikke-konstant divergens.) Regn den totale fluksen av F=(x2, y2, z2)\mathbf F=(x^2,\,y^2,\,z^2) ut gjennom randen av terningen V=[0,1]3V=[0,1]^3.

Løkke 2 — Fluks gjennom en krum delflate (regimets signaturgrep) (~28 min)

Fluks gjennom en krum delflate
Del randen av VV i en enkel plan del T2T_2 (topplokk, bunn) og en krum del T1T_1 (paraboloide, kjegle, sfære). Divergensteoremet gir den totale fluksen; da er fluksen gjennom den krumme delen:
∫T1F⋅n dS=∭Vdiv⁡F dV−∫T2F⋅n dS.\int_{T_1}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=\iiint_V\operatorname{div}\mathbf F\,dV-\int_{T_2}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS.
Man regner altså det lette trippelintegralet og den enkle plane fluksen, og trekker fra — i stedet for det tunge integralet over den krumme flaten. Alle normaler utadrettet.
Normalretningskontroll på delflatene

På begge delflatene skal n\mathbf n peke ut av VV. På et topplokk peker den oppover (+k+\mathbf k); på en bunn nedover (−k-\mathbf k); på en krum sideflate radielt/utover. En fortegnsfeil på T2T_2 forplanter seg direkte til T1T_1-svaret via minustegnet i formelen — derfor er kontrollen kritisk og skal være synlig.

✏️Eksempel 2: Fluks gjennom en paraboloide via divergensteoremet

La F=(2x, 2y, z)\mathbf F=(2x,\,2y,\,z) og VV være området mellom paraboloiden z=x2+y2z=x^2+y^2 og planet z=9z=9 (altså x2+y2≤z≤9x^2+y^2\le z\le9). a) Regn fluksen ut gjennom topplokket T2T_2 (z=9z=9). b) Regn ∭Vdiv⁡F dV\iiint_V\operatorname{div}\mathbf F\,dV. c) Bruk divergensteoremet til å finne fluksen ut gjennom den krumme paraboloide-delen T1T_1.

a) Topplokket T2T_2: disken z=9z=9, x2+y2≤9x^2+y^2\le9, utadrettet normal n=k\mathbf n=\mathbf k (oppover). På lokket er F⋅n=F3=z=9\mathbf F\cdot\mathbf n=F_3=z=9 (konstant). Geometrisk snarvei — arealet er π⋅32=9π\pi\cdot3^2=9\pi:
∫T2F⋅n dS=9⋅9π=81π.\int_{T_2}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=9\cdot9\pi=81\pi.

b) div⁡F=∂x(2x)+∂y(2y)+∂z(z)=2+2+1=5\operatorname{div}\mathbf F=\partial_x(2x)+\partial_y(2y)+\partial_z(z)=2+2+1=5 (konstant). Området beskrives i sylinderkoordinater: 0≤θ≤2π0\le\theta\le2\pi, 0≤r≤30\le r\le3, r2≤z≤9r^2\le z\le9 (mellom paraboloide og lokk). Volumet:
Vol(V)=∫02π ⁣ ⁣∫03 ⁣ ⁣∫r29r dz dr dθ=∫02π ⁣ ⁣∫03(9−r2) r dr dθ=2π[9r22−r44]03=2π(812−814)=2π⋅814=81π2.\text{Vol}(V)=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^3\!\!\int_{r^2}^{9}r\,dz\,dr\,d\theta=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^3 (9-r^2)\,r\,dr\,d\theta=2\pi\Big[\tfrac{9r^2}{2}-\tfrac{r^4}{4}\Big]_0^3=2\pi\Big(\tfrac{81}{2}-\tfrac{81}{4}\Big)=2\pi\cdot\tfrac{81}{4}=\tfrac{81\pi}{2}.
Dermed
∭Vdiv⁡F dV=5⋅81π2=405π2.\iiint_V\operatorname{div}\mathbf F\,dV=5\cdot\tfrac{81\pi}{2}=\tfrac{405\pi}{2}.

c) Randen er ∂V=T1∪T2\partial V=T_1\cup T_2 (krum paraboloide + topplokk), begge med utadrettet normal. Ifølge divergensteoremet er ∭Vdiv⁡F dV=∫T1F⋅n dS+∫T2F⋅n dS\iiint_V\operatorname{div}\mathbf F\,dV=\int_{T_1}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS+\int_{T_2}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS, så
∫T1F⋅n dS=∭Vdiv⁡F dV−∫T2F⋅n dS=405π2−81π=405π2−162π2=243π2.\int_{T_1}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=\iiint_V\operatorname{div}\mathbf F\,dV-\int_{T_2}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS=\tfrac{405\pi}{2}-81\pi=\tfrac{405\pi}{2}-\tfrac{162\pi}{2}=\tfrac{243\pi}{2}.
Svar: (a) 81π81\pi, (b) 405π2\tfrac{405\pi}{2}, (c) 243π2\tfrac{243\pi}{2}. Delpunktene er kjedet: (c) gjenbruker (a) og (b) direkte.

📝Oppgave 4

(Krum delflate — paraboloide.) La F=(x,y,z)\mathbf F=(x,y,z) og VV være området mellom paraboloiden z=x2+y2z=x^2+y^2 og planet z=4z=4. a) Fluks ut gjennom topplokket z=4z=4. b) ∭Vdiv⁡F dV\iiint_V\operatorname{div}\mathbf F\,dV. c) Fluks ut gjennom paraboloide-delen via divergensteoremet.

📝Oppgave 5

(Krum delflate — halvkule.) La F=(x,y,z)\mathbf F=(x,y,z) og VV være det solide halvkuleområdet x2+y2+z2≤4x^2+y^2+z^2\le4, z≥0z\ge0. a) ∭Vdiv⁡F dV\iiint_V\operatorname{div}\mathbf F\,dV. b) Fluks ut gjennom den flate bunnen z=0z=0, x2+y2≤4x^2+y^2\le4. c) Fluks ut gjennom den krumme halvkuleflaten via divergensteoremet.

Blandede eksamensoppgaver

📝Oppgave 6

(Gjengivelse.) Skriv opp Gauss' divergensteorem og forklar med én setning hvilken retning normalen må peke.

📝Oppgave 7

(Full eksamensklone — kjeglelokk.) La F=(x, y, 2z)\mathbf F=(x,\,y,\,2z) og VV være området inne i sylinderen x2+y2≤1x^2+y^2\le1, 0≤z≤30\le z\le3. a) Fluks ut gjennom topplokket z=3z=3. b) Fluks ut gjennom bunnen z=0z=0. c) ∭Vdiv⁡F dV\iiint_V\operatorname{div}\mathbf F\,dV. d) Fluks ut gjennom den krumme sideflaten via divergensteoremet.

📝Oppgave 8

(Divergensfritt felt.) La F=(y, z, x)\mathbf F=(y,\,z,\,x) og VV et vilkårlig solid. Hva er den totale fluksen ut av ∂V\partial V? Begrunn.

Begrepsbank til eksamen

Begrepsbanken er flashcard-/repetisjonsstoff — det gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Divergens som kilde/sluk
div⁡F\operatorname{div}\mathbf F i et punkt måler netto utstrømning per volum akkurat der: positiv = kilde (feltet oppstår), negativ = sluk (feltet forsvinner), null = divergensfritt (like mye inn som ut). Trippelintegralet summerer disse lokale bidragene til netto fluks gjennom randen.
Lukket flate

Divergensteoremet krever en lukket flate — en som fullstendig omslutter et volum (som en kuleflate eller randen av en sylinder med topp og bunn). En åpen flate (bare en paraboloide-hette) må lukkes med et lokk før teoremet kan brukes.

Utadrettet randnormal

På hele ∂V\partial V skal normalen peke ut av VV: oppover på topplokk, nedover på bunn, radielt ut på krumme sideflater. Teoremet gjelder bare med denne konvensjonen — motsatt normal snur fortegnet.

Deling i T1T_1 og T2T_2

Randen deles ofte i en krum del T1T_1 (den du vil finne) og en enkel plan del T2T_2 (topplokk/bunn, regnet med snarveien). Da: ∫T1=∭Vdiv⁡F dV−∫T2\int_{T_1}=\iiint_V\operatorname{div}\mathbf F\,dV-\int_{T_2}. Dette er regimets signaturgrep.

Konstant divergens

Er div⁡F\operatorname{div}\mathbf F konstant (som for F=(x,y,z)\mathbf F=(x,y,z) med div⁡=3\operatorname{div}=3), forenkles trippelintegralet til div⁡F⋅Vol(V)\operatorname{div}\mathbf F\cdot\text{Vol}(V) — da trenger du bare volumet, ikke et fullt integral.

Delpunkt-kjeding i O6

Den kjedede O6-oppgaven er bygget slik at (c) gjenbruker (a) (den plane fluksen) og (b) (trippelintegralet). Å se og bruke koblingen — ∫T1=(b)−(a)\int_{T_1}=(b)-(a) — premieres av sensor og sparer mye tid.

Navngi teoremet

Sensorregelen «begrunn alle svar» betyr at du skal skrive «ifølge divergensteoremet …» der du bruker det. Ubegrunnet overgang fra fluks til trippelintegral gir ikke full uttelling, selv om tallet er riktig.

Volumelement i trippelintegralet

Trippelintegralet ∭Vdiv⁡F dV\iiint_V\operatorname{div}\mathbf F\,dV regnes med riktig volumelement etter symmetrien: dV=r dz dr dθdV=r\,dz\,dr\,d\theta (sylinder), dV=ρ2sin⁡φ dρ dφ dθdV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta (kule). Løs skjæringen og skriv ulikhetene før oppsett — akkurat som i kap. 4.3.

Divergens som ∇⋅F\nabla\cdot\mathbf F

Divergensen skrives også som prikkproduktet av nabla-operatoren med feltet: div⁡F=∇⋅F\operatorname{div}\mathbf F=\nabla\cdot\mathbf F, der ∇=(∂x,∂y,∂z)\nabla=(\partial_x,\partial_y,\partial_z). Dette er samme sum ∂xF1+∂yF2+∂zF3\partial_x F_1+\partial_y F_2+\partial_z F_3, bare på operatornotasjon.

Fysisk tolkning av teoremet

Divergensteoremet sier: total kildestyrke inne i VV (venstre side) er lik netto utstrømning gjennom randen (høyre side). Alt feltet som «oppstår» inni må komme ut et sted — regnskapet balanserer over den lukkede randen.

Forutsetning: F\mathbf F glatt i hele VV

Teoremet krever at F\mathbf F er C1C^1 (har kontinuerlige partiellderiverte) i hele VV, inkludert eventuelle indre punkter. Har feltet en singularitet inni (f.eks. F=r/∣r∣3\mathbf F=\mathbf r/|\mathbf r|^3 i origo), gjelder ikke teoremet direkte.

Stykkevis glatt rand

Randen ∂V\partial V kan være stykkevis glatt — satt sammen av flere glatte biter (topplokk + bunn + sideflate). Teoremet gjelder så lenge bitene til sammen danner en lukket flate og hver har utadrettet normal.

2D-analogen: Greens fluksform

Divergensteoremet i planet er Greens teorem på normalform: ∮CF⋅n ds=∬A(∂xP+∂yQ) dA\oint_C\mathbf F\cdot\mathbf n\,ds=\iint_A(\partial_x P+\partial_y Q)\,dA. Gauss er den tredimensjonale versjonen — samme idé, ett dimensjon opp.

Når bruke Gauss kontra direkte

Bruk divergensteoremet når (i) flaten er lukket og du vil ha total fluks, eller (ii) du vil ha fluks gjennom en krum delflate (regn trippelintegral minus plan del). Regn direkte bare når flaten er enkel og åpen og teoremet ikke sparer arbeid.

Topplokk med snarvei

Den plane delen T2T_2 (et vannrett topplokk) regnes nesten alltid med den geometriske snarveien fra kap. 5.3: konstant normal k\mathbf k, F⋅n=F3\mathbf F\cdot\mathbf n=F_3 konstant, fluks =F3⋅areal=F_3\cdot\text{areal}. Dette er det raske delsvaret som mates inn i krum-delflate-formelen.

Formelsamlingen mangler teoremet

Den utdelte V2022-formelsamlingen inneholder verken divergensteoremet eller Stokes' teorem. Du må kunne begge utenat til eksamen. Sjekk om en nyere formelsamling er utvidet — men planlegg for at den ikke er det.

Løs skjæringen først

Før trippelintegralet settes opp: finn hvor de to flatene møtes. For paraboloide z=x2+y2z=x^2+y^2 og lokk z=9z=9 gir r2=9⇒r=3r^2=9\Rightarrow r=3 — grensen for rr. Uten skjæringen gjetter du grensene, som er en klassisk feil (jf. kap. 4.3).

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0 / 3 oppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.