2.1 Partiellderiverte, gradient og tangentplan

$$\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h},$$

og tilsvarende for $y$. I praksis regner du den som en helt vanlig derivert: deriver med hensyn på $x$ og behandle $y$ som en konstant. Vi skriver også $f_x$ for $\partial f/\partial x$.

$$\nabla f(a,b)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(a,b),\ \frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\right),$$

og generelt $\nabla f=(f_{x_1},\dots,f_{x_n})$. Gradienten peker i retningen der $f$ vokser raskest, og lengden $|\nabla f|$ er den bratteste stigningen. Symbolet $\nabla$ («nabla») introduseres her — det betyr bare «samle de partiellderiverte i en vektor».

En vektor med lengde $1$ som angir en retning. Har du en vilkårlig retningsvektor $v\ne0$, får du enhetsvektoren ved å dele på lengden: $u=\dfrac{v}{|v|}$. En retningsderivert måles alltid langs en enhetsvektor, ellers blander du inn lengden på $v$.

$$D_uf(a)=\nabla f(a)\cdot u.$$

Dette er MAT1100-formelen, tatt med her fordi den brukes videre. Den er størst når $u$ peker samme vei som $\nabla f$ (bratteste stigning) og $0$ når $u$ står vinkelrett på gradienten (langs en nivåkurve).

$$T_af(x)=f(a)+\nabla f(a)\cdot(x-a).$$

Formelsamlingen skriver dette $T_aF(x)=F'(a)(x-a)+F(a)$ — samme sak, med $F'(a)$ i stedet for gradienten (Jacobi-formen kommer i kap. 2.2). Nær $a$ er $f(x)\approx T_af(x)$; jo lenger unna, desto dårligere anslag.

$$z=g(a,b)+g_x(a,b)\,(x-a)+g_y(a,b)\,(y-b).$$

Dette er nøyaktig grafen til lineariseringen $T_{(a,b)}g$. Tangentplanet er verktøyet vi bruker til å anslå funksjonsverdier og til å definere hva «deriverbar» betyr for flere variable.

$$n=(g_x,\ g_y,\ -1).$$

Pass på: dette er ikke det samme som gradienten $\nabla g=(g_x,g_y)$ til $f$ i planet — normalvektoren til grafflaten har et ekstra $-1$ i $z$-retningen.

$$f_{xx}=\partial_x(f_x),\quad f_{yy}=\partial_y(f_y),\quad f_{xy}=\partial_y(f_x),\quad f_{yx}=\partial_x(f_y).$$

De blandede er $f_{xy}$ og $f_{yx}$ — først derivert på den ene, så på den andre. Notasjonen $f_{xy}$ leses «først $x$, så $y$».

$$f_{xy}=f_{yx}$$

i punktet. Dette er grunnen til at Hesse-matrisen (under) er symmetrisk, og en gratis kontrollregning: får du $f_{xy}\ne f_{yx}$, har du regnet feil et sted.

$$H=\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\ f_{xy}&f_{yy}\end{pmatrix}.$$

Den er symmetrisk (Clairaut) og styrer hvordan flaten krummer. Vi bruker den til å klassifisere stasjonære punkter i kap. 3.1 via annenderiverttesten $D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2$; her introduseres den bare som samlingen av andrederiverte.

Kurven der $f$ har en fast verdi: mengden $\{(x,y):f(x,y)=k\}$ for en konstant $k$. Nivåkurvene er «høydekotene» til flaten. En viktig egenskap: gradienten $\nabla f$ står alltid vinkelrett på nivåkurven gjennom et punkt, fordi $f$ ikke endrer seg langs kurven.

En regel $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ som gir ett tall for hvert punkt. For $n=2$ kan grafen $z=f(x,y)$ ses som en flate over planet; for $n=3$ er $f(x,y,z)$ et skalarfelt (temperatur, tetthet). Flervariabelkalkulusen handler om å derivere og integrere slike funksjoner.

Retningen der $f$ vokser raskest er $\nabla f/|\nabla f|$, og den maksimale stigningsraten er $|\nabla f|$. Motsatt vei, $-\nabla f$, er bratteste fall. Dette følger av $D_uf=\nabla f\cdot u=|\nabla f|\cos\theta$, som er størst når $\theta=0$.

I ethvert punkt er $\nabla f$ ortogonal til nivåkurven $f=k$ gjennom punktet. Grunnen: langs nivåkurven endrer $f$ seg ikke, så den retningsderiverte langs kurven er $0$, altså $\nabla f\cdot(\text{tangent})=0$. Dette gir en rask måte å finne normalen til en nivåkurve.

Tredimensjonal analog til nivåkurven: mengden $\{(x,y,z):F(x,y,z)=k\}$ der $F$ er konstant. Gradienten $\nabla F$ står vinkelrett på nivåflaten, og gir dermed normalvektoren — dette er verktøyet bak tangentplan til implisitt gitte flater (og fluks-normalen senere).

Et punkt der $\nabla f=0$, altså der alle partiellderiverte er null samtidig. Flaten er «flat» der. Slike punkter er kandidatene til lokale maks/min og sadelpunkter, og klassifiseres med Hesse-matrisen i kap. 3.1. Her nevnes de bare som begrep.

Nivåkurven $f(x,y)=k$ har i punktet $(a,b)$ tangentlinjen $\nabla f(a,b)\cdot(x-a,y-b)=0$, siden gradienten er normal til kurven. Dette er $\mathbb{R}^2$-versjonen av tangentplanet, og et nyttig sjekkpunkt for at gradient og normal henger sammen.