3.1 Stasjonære punkter og Hesse-klassifisering

$$\nabla f(a,b) = (f_x(a,b),\, f_y(a,b)) = (0,0).$$

Et lokalt maksimum eller minimum i det indre av definisjonsområdet er alltid et stasjonært punkt — men ikke omvendt: et stasjonært punkt kan også være et sadelpunkt. Derfor må hvert stasjonært punkt klassifiseres etterpå.

Fellesnavnet på punkter som er kandidater til å være ekstremalpunkter: enten et stasjonært punkt ($\nabla f = 0$) eller et punkt der $\nabla f$ ikke finnes. For de glatte funksjonene i dette kapitlet finnes gradienten overalt, så «kritisk punkt» og «stasjonært punkt» er her det samme. Å lete etter ekstremalverdier starter alltid med å finne alle kritiske punkter.

Standardgrepet for å løse likningssystemet $\nabla f = 0$: bruk den ene likningen til å uttrykke den ene variabelen ved den andre, og sett inn i den andre likningen. Da står du igjen med én likning i én ukjent, som ofte blir en potenslikning (typisk $x = x^4 \Rightarrow x(x^3-1)=0$). Den vanligste feilen i hele sjangeren er å miste løsninger her — deler du på en variabel, mister du tilfellet der den er null, så faktoriser i stedet.

De partiellderiverte av de partiellderiverte. For $f(x,y)$ har vi fire: $f_{xx}$ (deriver to ganger mhp. $x$), $f_{yy}$ (to ganger mhp. $y$), og de to blandede $f_{xy}$ og $f_{yx}$. For alle funksjonene her er $f_{xy} = f_{yx}$ (Clairauts setning), så vi trenger bare regne én av dem. Disse fire tallene måler krumningen til $f$.

$$H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy}\end{pmatrix}.$$

Den er symmetrisk fordi $f_{xy} = f_{yx}$. Hesse-matrisen skal settes opp eksplisitt i hvert stasjonært punkt før du klassifiserer — det er et uttrykt sensorkrav, ikke en formalitet.

$$D = \det H = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^{\,2}.$$

I formelsamlingen står den som $D = AC - B^2$ med $A = f_{xx}$, $B = f_{xy}$, $C = f_{yy}$. Fortegnet til $D$ (og til $f_{xx}$) i det stasjonære punktet forteller hvilken type punkt det er.

Et stasjonært punkt som verken er topp eller bunn: funksjonen stiger i én retning og synker i en annen — som en fjellovergang eller en hestesal. Kjennetegnet i annenderiverttesten er $D < 0$. Standardeksempelet er $f(x,y) = x^2 - y^2$ i origo: en dal langs $x$-aksen, en topp langs $y$-aksen.

Et lokalt minimum er et punkt der $f$ er minst i en liten omegn rundt punktet; et lokalt maksimum der $f$ er størst lokalt. «Lokalt» betyr i nærheten — det utelukker ikke at funksjonen tar enda lavere/høyere verdier langt unna. Å avgjøre om et lokalt ekstremum også er globalt krever et eget argument (kap. 3.2).

Når $D = 0$ i et stasjonært punkt, svikter annenderiverttesten — den kan ikke skille mellom minimum, maksimum og sadel. Da må du undersøke funksjonen direkte, for eksempel ved å se på fortegnet til $f(x,y) - f(a,b)$ langs ulike retninger gjennom punktet. Å konkludere «minimum fordi $f_{xx} > 0$» når $D = 0$ er en klassisk feil: testen gjelder rett og slett ikke.

En symmetrisk matrise $H$ er positiv definit når alle egenverdiene er positive, og negativ definit når alle er negative. I et stasjonært punkt gir en positiv definit Hesse et lokalt minimum, en negativ definit Hesse et lokalt maksimum, og en matrise med både positive og negative egenverdier et sadelpunkt. I to variable svarer «positiv definit» nøyaktig til $D > 0,\ f_{xx} > 0$.

Uttrykket $\tfrac12\,(x-a)^T H (x-a)$ som beskriver hvordan $f$ krummer i nærheten av et stasjonært punkt — andreordensleddet i Taylor-utviklingen (kap. 3.3). Er denne kvadratiske formen positiv for alle retninger, ligger grafen som en skål (minimum); er den negativ, som en kuppel (maksimum); skifter den fortegn, er punktet et sadelpunkt. Annenderiverttesten er kortversjonen av denne analysen.

Betingelsen som gir de stasjonære punktene: både $f_x = 0$ og $f_y = 0$ samtidig. Dette er et likningssystem, ofte ikke-lineært, og løses vanligvis ved å uttrykke den ene variabelen ved den andre og substituere. Løsningene er kandidatene til lokale ekstremum og sadelpunkter.

Den aller største eller minste verdien $f$ tar på hele definisjonsområdet — i motsetning til et lokalt ekstremum, som bare er størst/minst i en liten omegn. Annenderiverttesten avgjør bare det lokale; for globale ekstremum trenger du enten en kompaktehtsbetraktning (ekstremalverdisetningen, kap. 3.2) eller en direkte ulikhet.

Resultatet som sier at rekkefølgen på blandet partiellderivasjon ikke betyr noe når de andreordens partiellderiverte er kontinuerlige: $f_{xy} = f_{yx}$. Det er grunnen til at Hesse-matrisen er symmetrisk, og til at du bare trenger å regne den blandede deriverte én gang.

Den geometriske tolkningen av et stasjonært punkt: tangentplanet til grafen $z = f(x,y)$ er horisontalt (parallelt med $xy$-planet). Det skjer nettopp når $\nabla f = 0$, siden tangentplanets helning i $x$- og $y$-retning er $f_x$ og $f_y$.

Tallet $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix} = ad - bc$. For Hesse-matrisen $\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy}\end{pmatrix}$ gir dette nettopp diskriminanten $D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^{\,2}$ (siden de to blandede elementene er like). Det er dette ene tallet annenderiverttesten hviler på.

En kvadratmatrise som er lik sin egen speiling om hoveddiagonalen — element $(i,j)$ er lik element $(j,i)$. Hesse-matrisen er alltid symmetrisk fordi $f_{xy} = f_{yx}$ (Clairaut). En viktig konsekvens er at alle egenverdiene er reelle, slik at definitthetsanalysen i flere variable er meningsfull.

Et punkt som ligger inne i definisjonsområdet, med litt plass til alle kanter — i motsetning til et randpunkt. Annenderiverttesten gjelder bare indre stasjonære punkter: der kan funksjonen bevege seg fritt i alle retninger. På randen av et område brukes i stedet Lagrange eller direkte parametrisering (kap. 3.2).