3.3 Taylor i flere variable

Den lineære delen av Taylor-utviklingen: $f(a) + \nabla f(a)\cdot h$, altså funksjonsverdien pluss gradienten prikket med avviksvektoren. Dette er nettopp lineariseringen / tangentplanet fra kap. 2.1 — den beste lineære tilnærmingen til $f$ nær $a$. Andreordens Taylor legger et krumningsledd til denne.

$$\tfrac12\left(f_{xx}h_1^2 + 2 f_{xy} h_1 h_2 + f_{yy} h_2^2\right).$$

Legg merke til faktoren $\tfrac12$ og at det blandede leddet får en faktor $2$ (fordi $H$ er symmetrisk). Dette leddet er andrederivert-informasjonen — samme matrise som i klassifiseringen.

$$f(a+h) \approx f(a) + \tfrac12\, h^T H(a)\, h.$$

Da er det Hesse-leddet alene som bestemmer om $f$ ligger over eller under $f(a)$ i nærheten — altså om punktet er et minimum, maksimum eller sadel. Dette er den dypere grunnen til at annenderiverttesten (kap. 3.1) virker: den leser av fortegnet til nettopp denne kvadratiske formen.

Uttrykket $h^T H h = f_{xx}h_1^2 + 2 f_{xy}h_1 h_2 + f_{yy}h_2^2$ — en «kvadratisk funksjon» av retningen $h$. Er den positiv for alle $h \ne 0$ (positiv definit Hesse), ligger grafen som en skål over $a$ (minimum). Er den negativ for alle $h$, som en kuppel (maksimum). Skifter den fortegn, er $a$ et sadelpunkt. Fortegnsanalysen av denne formen ER annenderiverttesten.

Utgangspunktet flervariabelformen generaliserer: $P_2(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \tfrac12 f''(a)(x-a)^2$ — funksjonsverdi, tangentledd og krumningsledd. I flere variable blir $f'(a)$ til $\nabla f(a)$ (et prikkprodukt) og $f''(a)$ til Hesse-matrisen $H(a)$ (en kvadratisk form). Selve strukturen «konstant + lineært + kvadratisk» er den samme.

Differansen mellom den virkelige funksjonen og Taylor-polynomet: $R = f(a+h) - P_2(a+h)$. For andreordens Taylor går restleddet mot null raskere enn $|h|^2$ når $h \to 0$ — det er derfor $P_2$ er en god tilnærming nær utviklingspunktet. Restleddet vokser når du fjerner deg fra $a$, så tilnærmingen gjelder lokalt.

Geometrisk er $z = P_2(x,y)$ en paraboloide (eller sadelflate) som klemmer seg inntil grafen $z = f(x,y)$ ved utviklingspunktet — den deler funksjonsverdi, tangentplan og krumning med $f$ der. Førsteordenstilnærmingen er bare tangentplanet (flatt); andreorden bøyer med, og fanger dermed om flaten krummer opp, ned eller som en sal.

Taylor-polynomet er bare en god tilnærming nær utviklingspunktet — jo lengre unna, jo større feil. Et andreordens polynom fanger krumningen, men ikke tredje- og høyereordens variasjon, så for store $h$ kan $P_2$ avvike kraftig fra $f$. Bruk alltid tilnærmingen med et forbehold om avstand til utviklingspunktet.

Taylor-utviklingen kan fortsette forbi andre orden med tredje-, fjerde- osv. ordens ledd, bygget av tredje og høyere partiellderiverte. I flere variable blir bokføringen fort tung (mange blandede deriverte), og til vårt formål — klassifisering av stasjonære punkter og lokal tilnærming — holder det med andre orden. Høyere orden er kjennskapsstoff.

Tallet foran andreordensleddet, arvet direkte fra én-variabel-formen $\tfrac12 f''(a)(x-a)^2$. Grunnen er at når du deriverer et kvadratisk ledd $\tfrac12 c\, h^2$ to ganger, får du tilbake $c$ — så $\tfrac12$ er nettopp det som gjør at $P_2$ og $f$ deler andrederivert i utviklingspunktet. Å glemme denne faktoren er den vanligste regnefeilen i Taylor.

Når den kvadratiske formen $h^T H h$ skrives ut, får det blandede leddet en faktor $2$: $f_{xx}h_1^2 + 2 f_{xy}h_1 h_2 + f_{yy}h_2^2$. Det kommer av at Hesse-matrisen er symmetrisk — elementet $f_{xy}$ opptrer både i posisjon $(1,2)$ og $(2,1)$, så det bidrar to ganger. Sammen med $\tfrac12$ foran gir dette at det blandede leddet i $P_2$ blir $f_{xy}h_1 h_2$.

Er $f$ selv et polynom av grad $\le 2$, er andreordens Taylor-polynom eksakt lik $f$ (ingen tilnærming, ingen restledd) — det finnes rett og slett ingen høyereordens ledd å miste. Det er derfor kvadratiske funksjoner som $x^2 - xy + y^2$ er så gjennomsiktige: deres Hesse-form beskriver dem overalt, ikke bare lokalt.

Førsteordensbidraget, skrevet som prikkproduktet av gradienten og avviksvektoren: $\nabla f(a)\cdot h = f_x(a)h_1 + f_y(a)h_2$. Det er flervariabel-analogen til $f'(a)(x-a)$ og gir tangentplanets helning. I et stasjonært punkt er dette leddet null (siden $\nabla f(a) = 0$), og bare Hesse-leddet blir igjen.

Symbolet som skiller Taylor-polynomet (som er eksakt lik seg selv) fra Taylor-tilnærmingen $f(a+h) \approx P_2(a+h)$. Polynomet $P_2$ er en presis størrelse; tilnærmingen sier at $f$ og $P_2$ er nesten like nær $a$, med en feil (restleddet) som krymper raskere enn $|h|^2$. Bruk $\approx$ når du erstatter $f$ med polynomet, og $=$ når du bare skriver opp $P_2$.