3.2 Lagrange, ∇g = 0-sjekk og ekstremalverdisetningen

Likningen $g(x,y) = c$ som løsningene må ligge på — den «bånd­legger» hvilke punkter som er lov. Å optimere $f$ under bibetingelsen $g = c$ betyr å finne det største og minste $f$ tar når $(x,y)$ bare får bevege seg langs kurven (eller flaten) $g = c$. Bibetingelsen er ofte en sirkel, en ellipse, et plan eller en kuleflate.

$$\nabla f = \lambda \nabla g,$$

sammen med selve bibetingelsen $g = c$. Geometrisk betyr det at nivåkurvene til $f$ og $g$ tangerer hverandre i ekstremalpunktet. Dette gir et likningssystem: én likning per variabel pluss bibetingelsen.

Proporsjonalitetsfaktoren i $\nabla f = \lambda\nabla g$. Den er en hjelpestørrelse vi som regel eliminerer underveis for å finne kandidatpunktene — men den har også en tolkning: $\lambda$ måler hvor mye den optimale $f$-verdien ville endret seg om vi flyttet bibetingelsen litt ($c \to c + \Delta c$). I de fleste eksamensoppgaver er det punktene og $f$-verdiene som etterspørres, ikke $\lambda$ selv.

Den geometriske kjensgjerningen Lagrange hviler på: $\nabla g(a,b)$ står vinkelrett på nivåkurven $g = c$ gjennom punktet. Derfor, hvis $\nabla f$ ikke er parallell med $\nabla g$, har $\nabla f$ en komponent langs kurven, og vi kan bevege oss langs bibetingelsen og øke (eller minke) $f$ — da er vi ikke i et ekstremum. Ekstremum krever altså at $\nabla f \parallel \nabla g$.

Det obligatoriske første steget: Lagranges betingelse forutsetter $\nabla g \ne 0$, så du må sjekke om noen punkter på bibetingelsen har $\nabla g = 0$. To utfall: enten ligger et slikt punkt på bibetingelsen (da er det en ekstra kandidat som må evalueres direkte, siden Lagrange-likningene kan overse det), eller så ligger det ikke på den (da forkastes det, og Lagrange gjelder overalt). Å hoppe over denne sjekken er en typisk feil.

Et punkt på $g = c$ der $\nabla g = 0$ — typisk en spiss (cusp) eller et selvskjæringspunkt på kurven. Der har kurven ingen entydig tangent, så Lagranges «nivåkurvene tangerer»-argument bryter sammen. Slike punkter må testes direkte ved å sette dem inn i $f$, fordi $\nabla f = \lambda\nabla g$ ikke kan oppfylles når $\nabla g = 0$ (med mindre også $\nabla f = 0$).

Teknikken for å finne alle løsninger av Lagrange-likningene: når et produkt må være null (f.eks. $x(y - \lambda) = 0$), deler du i tilfeller — «$x = 0$» og «$y = \lambda$» — og forfølger hver gren for seg. Deler du i stedet på $x$, mister du grenen $x = 0$. Hver gren kan gi egne kandidatpunkter, og du må samle dem alle før du evaluerer $f$.

Et punkt som kan være et betinget ekstremum, funnet enten fra Lagrange-likningene eller fra $\nabla g = 0$-sjekken. Å finne kandidatene er bare halve jobben: du må evaluere $f$ i hver og sammenligne verdiene. Den største verdien blant kandidatene er maksimum, den minste er minimum (forutsatt at eksistens er sikret).

En mengde som inneholder hele sin egen rand — alle randpunkter er med. En sirkel $x^2+y^2 = 8$ er lukket (randen er mengden); en fylt skive $x^2+y^2 \le 4$ er lukket (kanten er med); mens $x^2+y^2 < 4$ (streng ulikhet) ikke er lukket, fordi randsirkelen mangler. Lukkethet er den ene av de to betingelsene for kompakthet.

En mengde som får plass inne i en tilstrekkelig stor sirkel — den strekker seg ikke uendelig langt i noen retning. En sirkel eller en fylt skive er begrenset; et helt plan, en linje eller en hyperbel er ikke begrenset. Begrensethet er den andre betingelsen for kompakthet.

En mengde som er både lukket og begrenset samtidig. Sirkler, ellipser, fylte skiver, kuleflater og lukkede rektangler er kompakte; plan, linjer, hyperbler og åpne områder er det ikke. Kompakthet er nøyaktig det ekstremalverdisetningen krever for å garantere at en kontinuerlig funksjon antar både største og minste verdi.

Noen oppgaver ber bare om å finne kandidatpunktene eller regner eksistensen som opplagt (f.eks. «finn punktet på sirkelen nærmest origo»). Da forventer ikke fasiten et eget kompakthetsargument, og å bruke tid på det gir ikke ekstra poeng. Regelen: begrunn eksistens når oppgaven ber om «vis at maksimum antas» eller når mengden ikke åpenbart er kompakt — ellers les hva teksten faktisk spør om.

Grepet når bibetingelsen selv er ubegrenset (en hel linje eller kurve), men du likevel vil garantere at et minimum finnes: skjær bibetingelsen med en sublevel-mengde, $K = \{g = c,\ f \le M\}$ for en passende $M$. Er $K$ ikke-tom, lukket og begrenset, gir ekstremalverdisetningen at minimum antas i $K$ — og utenfor $K$ er $f > M$, så det globale minimumet ligger i $K$. Dette er standardtrikket når den naturlige bibetingelsen ikke er kompakt.

Å finne største og minste verdi av en funksjon $f$ når variablene er bundet av en bibetingelse $g = c$ — i motsetning til fri optimering (kap. 3.1), der variablene beveger seg fritt. Metoden er Lagrange (eller innsetting av bibetingelsen), og kandidatene ligger alltid på bibetingelsen, ikke der $\nabla f = 0$.

Når bibetingelsen lett kan løses for én variabel, kan du sette den inn i $f$ og optimere den resulterende en-variabel-funksjonen direkte — uten Lagrange. F.eks. gir $y = 4 - x$ på en linje at $f(x,y) = f(x, 4-x)$, en vanlig en-variabel-oppgave. Fasiten honorerer denne veien når den er ryddig; Lagrange er det generelle verktøyet når innsetting blir vrient.

Den geometriske tolkningen av $\nabla f = \lambda\nabla g$: i et betinget ekstremum tangerer en nivåkurve til $f$ bibetingelseskurven $g = c$. Skar de hverandre i stedet, ville $f$ ha ulike verdier på hver side, og vi kunne økt $f$ ved å gå litt langs bibetingelsen. Tangens er derfor ekstremal-signaturen.

Med to bibetingelser $g_1 = c_1$ og $g_2 = c_2$ (f.eks. skjæringen mellom to flater, en kurve i rommet) blir Lagrange-betingelsen $\nabla f = \lambda_1\nabla g_1 + \lambda_2\nabla g_2$ — gradienten til $f$ ligger i planet utspent av de to normalene. Prinsippet er det samme; dette er kjennskapsstoff her.

Kjernen i regnearbeidet: Lagrangemultiplikatoren $\lambda$ er en hjelpevariabel du fjerner for å få rene likninger i $x$ og $y$. Vanlige grep er å dele to av likningene på hverandre (da forsvinner $\lambda$) eller å gange hver likning med en passende variabel og sette uttrykk for $\lambda\,g_i$ lik hverandre. Gjør dette ryddig — slurv her er en hyppig kilde til feil kandidater.

Et vanlig triks i optimeringsoppgaver: for å minimere avstanden $\sqrt{x^2+y^2}$ fra origo holder det å minimere den kvadrerte avstanden $x^2 + y^2$, siden kvadratrot er en voksende funksjon og de to har ekstremum i samme punkt. Kvadrert avstand er polynomisk og gir enklere derivasjon — bruk den, og ta rota til slutt hvis oppgaven ber om selve avstanden.

Fordi bibetingelsen $g = c$ (når den er kompakt) er en avgrenset mengde uten «indre» i vanlig forstand, er alle kandidatene randpunkter, og den største/minste $f$-verdien blant kandidatene er automatisk den globale ekstremverdien på bibetingelsen — så lenge eksistens er sikret av ekstremalverdisetningen. Da trengs ingen ekstra lokal/global-analyse.