3.4 Drill: optimeringspakken — Hesse og Lagrange på eksamensnivå

De to optimeringssjangrene drillet sammen: fri optimering med Hesse og betinget med Lagrange (inkl. ∇g = 0-sjekk og eksistensbegrunnelse) — faste O2–O3-delpunkter i alle regimer.

90 min

11 oppgaver

DrilloptimeringspakkenHesseLagrange på eksamensnivå

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.2Lagrange, ∇g = 0-sjekk og ekstremalverdisetningen

Brukes videre i

3.PPrøver til del 3: Optimering

Dette er treningsleiren for optimering — de to sjangrene E og F drillet sammen til automatikk.

- Sjanger E (stasjonære + Hesse) er i 12 av 20 sett (60 %), og sjanger F (Lagrange) i 12 av 20 (60 %), 3/3 i V2025. De kommer som faste O2–O3-delpunkter i alle regimer, ofte etter hverandre.
- Variantkatalogen du må kjenne igjen: (1) klassifiser stasjonære punkter (fri), (2) Lagrange på kurve/flate med tilfelledeling, (3) eksistens via ekstremalverdisetningen på en kompakt mengde, (4) kombinert — globale ekstremum på et lukket område (indre stasjonære + rand via Lagrange).
- Føringspoengene sensor teller: eksplisitt Hesse-oppsett, $\nabla g = 0$ -sjekk, alle kandidater evaluert, eksistensbegrunnelse der den kreves, og eksakte svar.

Prioritet: høyeste. Ingen ny teori — bare mengdetrening på kap. 3.1–3.2.

Forkunnskaper. Hele Del 3 så langt: stasjonære punkter og Hesse-klassifisering (kap. 3.1) og Lagrange med

\nabla g = 0

-sjekk og ekstremalverdisetningen (kap. 3.2). Alt her forutsettes lært — dette kapitlet trener bruken under tidspress. Gradient og andreordens partiellderiverte kommer fra kap. 2.1.

Løsningsoppskrift — optimeringspakken

Avgjør først hvilken type oppgave du har, og følg riktig algoritme:

A. Fri optimering (ingen bibetingelse, hele planet):
1. Løs $\nabla f = 0$ ; reduser til én variabel ved substitusjon (faktoriser, ikke del).
2. List alle stasjonære punkter.
3. Sett opp Hesse-matrisen eksplisitt i hvert punkt; klassifiser med $D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$ .

B. Betinget optimering (bibetingelse $g = c$ ):
1. $\nabla g = 0$ -sjekk — er det et slikt punkt på bibetingelsen, blir det en ekstra kandidat.
2. Sett opp $\nabla f = \lambda\nabla g$ og $g = c$ .
3. Tilfelledeling → finn alle kandidater.
4. Evaluer $f$ i hver kandidat.
5. Begrunn eksistens med ekstremalverdisetningen når mengden er kompakt (og oppgaven ber om det).

C. Globalt på lukket område (f.eks. en fylt skive $x^2+y^2 \le r^2$ ):
1. Indre stasjonære punkter (bruk A, behold bare de som ligger inne i området).
2. Randen (bruk B: Lagrange eller parametrisering av kanten).
3. Ta med eventuelle hjørner.
4. Sammenlign $f$ i alle kandidatene — største er global maks, minste er global min.

Fri optimering (algoritme)

\nabla f = 0

Betinget optimering (algoritme)

g = c

Globalt ekstremum på et lukket område (algoritme)

f

Randanalyse

x^2 + y^2 \le r^2

Kandidatliste

\nabla g = 0

✏️Gjennomregnet eksamenscase — Lagrange med $\nabla g = 0$-kandidat og eksistensbegrunnelse

Finn den minste avstanden fra origo til kurven $y^2 = (x-2)^3$ . (Det holder å minimere kvadrert avstand $f(x,y) = x^2 + y^2$ .)

Skriv bibetingelsen som $g(x,y) = y^2 - (x-2)^3 = 0$ . Kurven finnes bare for $x \ge 2$ (ellers er $(x-2)^3 < 0$ og $y^2$ kan ikke være det).

Steg 1 — $\nabla g = 0$ -sjekk. $\nabla g = \big(-3(x-2)^2,\ 2y\big)$ . Dette er nullvektoren når $x = 2$ og $y = 0$ . Punktet $(2,0)$ ligger på kurven ( $0 = 0^3$ ✓) — det er en spiss (cusp) der $\nabla g = 0$ , altså en ekstra kandidat vi må teste direkte.
Sensor: at du gjør $\nabla g = 0$ -sjekken og fanger cusp-en er et selvstendig føringspoeng — mange hopper over den og mister kandidatpunktet.

Steg 2 — Lagrange der $\nabla g \ne 0$ . $\nabla f = (2x, 2y) = \lambda\big(-3(x-2)^2,\ 2y\big)$ . Andre komponent: $2y = 2\lambda y \Rightarrow y(1 - \lambda) = 0$ .
- Er $y = 0$ : kurven gir $(x-2)^3 = 0 \Rightarrow x = 2$ — samme punkt $(2,0)$ .
- Er $\lambda = 1$ : første komponent $2x = -3(x-2)^2 \Rightarrow 3(x-2)^2 + 2x = 0 \Rightarrow 3x^2 - 10x + 12 = 0$ , med diskriminant $100 - 144 < 0$ — ingen reell løsning.

Sensor: Lagrange gir altså ingen ny kandidat her; hele svaret hviler på $\nabla g = 0$ -punktet. Vis dette eksplisitt.

Steg 3 — eneste kandidat $(2,0)$ , med eksistensbegrunnelse. Kurven er ubegrenset (går mot $x \to \infty$ ), så vi kan ikke bruke ekstremalverdisetningen direkte. Konstruer en kompakt mengde: på grenen $x \ge 2$ er $f(x) = x^2 + (x-2)^3$ med $f'(x) = 2x + 3(x-2)^2 > 0$ , så $f$ vokser utover. La $K = \{g = 0,\ f \le 4\}$ — denne er ikke-tom (inneholder $(2,0)$ med $f = 4$ ), lukket og begrenset, altså kompakt. Ifølge ekstremalverdisetningen antar $f$ sitt minimum på $K$ , og utenfor $K$ er $f > 4$ , så det globale minimumet ligger i $K$ .

Steg 4 — svar. Minste kvadrerte avstand er $f(2,0) = 4$ , altså minste avstand $= \sqrt{4} = 2$ , antatt i punktet $(2,0)$ .
Sensor: eksakt svar ( $2$ , ikke en desimaltilnærming), verbal konklusjon, og eksistensen ryddig begrunnet — full uttelling.

Typiske feil (hele optimeringspakken under tidspress)

Fellene fra kap. 3.1 og kap. 3.2 slår hardest når klokka går:

- Mister stasjonære punkter i substitusjonssteget ( $\nabla f = 0$ redusert til én variabel) — sjekk alle røtter, også $x=0$ .
- Klassifiserer uten å sette opp Hesse-matrisen eksplisitt. Sensor krever oppsettet, ikke bare fortegnet.
- Glemmer randen i «globalt på lukket område»-oppgaver: indre stasjonære punkter (Hesse) MÅ suppleres med randen (Lagrange/parametrisering) og hjørnene.
- Hopper over $\nabla g = 0$ -sjekken i Lagrange og mister et kandidatpunkt eller en tilfelledeling.
- Hevder min/maks uten kompakthet — ekstremalverdisetningen krever lukket og begrenset mengde; begrunn bare når oppgaven ber om det.
- Sammenligner ikke alle kandidatverdiene til slutt: største $f$ -verdi = maks, minste = min. Regn $f$ i hvert kandidatpunkt før du konkluderer.
- Desimaltilnærming i stedet for eksakt svar (behold $9+6\sqrt5$ , ikke $22{,}4$ ).

Drilloppgaver — hele variantkatalogen

Hver oppgave er merket med hvilken variant den trener. Sett alltid opp Hesse eksplisitt, gjør $\nabla g = 0$ -sjekken, og evaluer $f$ i alle kandidater.

📝Oppgave 1

Variant A

Finn og klassifiser det stasjonære punktet til $f(x,y) = x^2 + y^2 - 6x + 2y$ .

📝Oppgave 2

Variant B

Finn største og minste verdi av $f(x,y) = 2x + y$ på sirkelen $x^2 + y^2 = 5$ .

📝Oppgave 3

Variant A

Finn og klassifiser de stasjonære punktene til $f(x,y) = x^3 + y^3 - 6xy$ .

📝Oppgave 4

Variant B

Finn punktet på sirkelen $x^2 + y^2 = 4$ som ligger nærmest punktet $(3,0)$ . (Eksistens er opplagt — sirkelen er kompakt og avstanden kontinuerlig — så du trenger ikke et eget eksistensargument.)

📝Oppgave 5

Variant B

Finn største og minste verdi av $f(x,y) = x^2 - y^2$ på sirkelen $x^2 + y^2 = 4$ .

📝Oppgave 6

Variant B

Finn største og minste verdi av $f(x,y,z) = x + y + z$ på kuleflaten $x^2 + y^2 + z^2 = 3$ .

📝Oppgave 7

Variant B

Finn den minste verdien av $f(x,y) = x^2 + y^2$ på kurven $y^2 = x^3$ (som finnes for $x \ge 0$ ). Vær nøye med $\nabla g = 0$ -sjekken.

📝Oppgave 8

Variant C

Finn de globale ekstremalverdiene til $f(x,y) = x^2 + 2y^2 - 2x$ på den fylte skiven $x^2 + y^2 \le 4$ .

📝Oppgave 9

Variant C

Finn de globale ekstremalverdiene til $f(x,y) = 2x^2 + y^2 - 4y$ på den fylte skiven $x^2 + y^2 \le 9$ .

📝Oppgave 10

Variant A

Finn og klassifiser de stasjonære punktene til $f(x,y) = x^3 - 3x + y^3 - 3y$ .

📝Oppgave 11

Variant B

For hvilke verdier av konstanten $k > 0$ er den største verdien av $f(x,y) = x + y$ på sirkelen $x^2 + y^2 = k$ lik $6$ ?

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.